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1、2.4曲面域的面积设曲面：给出曲面上一个区域，其面积可由二重积分来表示：这里的区域是曲面域相对应的平面上的区域。由于所以曲面上曲线的弧长、曲面上两方向的交角以及曲面域的面积都可以用第一类基本向量来表示。仅由第一基本形式出发所能建立的几何性质称为曲面的内在性质或内蕴性质。从前面的讲解中知道弧长、夹角、曲面域的面积弧长、夹角、曲面域的面积都与都与第一类基本量有关，这类量非常重要，要知道曲面的第一基本形式，可以不管曲面的形状就曲面的第一基本形式，可以不管曲面的形状就可以计算可以计算定定义义 曲面上仅由第一类基本量表示的量称为曲面的内蕴量内蕴量,曲面上仅由第一类基本量有关的性质称为曲面的内蕴性质内蕴性
2、质一个问题是什么样的曲面具有相同的第一基本形曲面具有相同的第一基本形式，显然不同曲面的表示不同就无法比较其第一式，显然不同曲面的表示不同就无法比较其第一基本形式，为了研制这个基本形式，为了研制这个问题必须使不同的曲面曲面有相同的参数表示。也即下节的有相同的参数表示。也即下节的等距变换。等距变换。2.5等距变换给出两个曲面如果其对应点间的参数之间存在一一对应关系其中函数连续，有连续的偏导，且函数行列式则和之间的一一对应关系称为到的变换。约定:若两个曲面之间有参数变换,则在对应点P和处,把像点的参数选为原像点P的参数.于是上的点对应上的点(对应点有相同的参数).上的曲线对应上的曲线(对应曲线有相同
3、的方程).在下面讨论曲面之间的变换时,若无特别声明,总假定对应点有相同的参数.定理：两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当的参数选择后，他们具有相同的第一基本形式。等距变换等距变换-若两个曲面和之间有双射对应,它保持曲面上的任意曲线段的长度不变,则称为等距变等距变换换(保长变换保长变换)证：设两个曲面证：设两个曲面的第一基本形式为：的第一基本形式为：对应弧长相等，所以等距弧长相等，所以等距所以它们具有相同的第一基本形式。所以它们具有相同的第一基本形式。推论推论推论推论 仅由第一基本形式所确定的曲面的性仅由第一基本形式所确定的曲面的性质在等距变换下是不变的质在等距变换下是不变的.注注
4、曲面上曲线的弧长、夹角、曲面域的面曲面上曲线的弧长、夹角、曲面域的面积等都是等距不变的积等都是等距不变的例：证明平平面和圆柱面等距分析只要找到一个参数变换使第一基本形式相同即可第一基本形式相同即可证：平面和圆柱面的第一基本形式分别为第一基本形式分别为作其雅可比行列式不为零有例证明第一基本量是常数的曲面可与平面建立等距对应证：设曲面的第一基本量曲面的第一基本量E E，F F，GG为常数，第一基本为常数，第一基本形式样为形式样为2.6保角变换定义曲面之间的一个变换，如果使曲面上对应曲线的交角相等，则这个变换称为保角变换(保形变换)与等距变换一样下面假定曲面在对应点有相同参数什么样的两曲面保角呢？有下定理定理：两个曲面之间变换是保角变换的充要条件是第一基本形式成比例。充分性：设两个曲面的第一基本形式为：由此可知即第一基本量成比例：所以保角定理：在局部范围内，任何曲面总可以和平面间建立等角对应。任何曲面总可适当选取参数，使这种参数称为等温参数，相应的参数曲线网称为等温网。推论：任何两个曲面之间总可以建立等角对应。等距一定等角，但等角不一定等距。例球极投影给出球面到平面的一个变换(Mercator投影)。解：设球面球面