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1、设曲面 ：给出曲面 上一个区域 ，其面积 可由二重积分来表示： 这里的区域 是曲面域 相对应的 平面上的区域。( , ),rr u vSSDD,uvDdrr dudv的面积( ,)u v由于所以 曲面上曲线的弧长、曲面上两方向的交角以及曲面域的面积都可以用第一类基本向量 来表示。仅由第一基本形式出发所能建立的几何性质称为曲面的内在性质或内蕴性质。22222()()0,uvuvuvrrr rr rEGFEFG、 、2.EGF dudv的面积从前面的讲解中知道第一类基本量有关，这类量非常重要，要知道定义定义 曲面上仅由第一类基本量表示的量称为曲面的内蕴量内蕴量,曲面上仅由第一类基本量有关的性质称为
2、曲面的内蕴性质内蕴性质一个问题是什么样的问题必须使不同的给出两个曲面如果其对应点间的参数之间存在一一对应关系其中函数 连续，有连续的偏导，且函数行列式则 和 之间的一一对应关系称为 到 的变换。11111:( , ),:(,),S rr u vSrr u v1111( , ),( , ),uu u vvv u v1( , )u u v1( , )v u v11(,)0,( , )u vu v1SSS1S约定: 若两个曲面之间有参数变换, 则在对应点P和 处, 把像点 的参数选为原像点 P 的参数 . 于是 上的点 对应 上的 点 (对应点有相同的参数). 上的曲线对应 上的曲线 (对应曲线有相
3、同的方程). 在下面讨论曲面之间的变换时, 若无特别声明, 总假定对应点有相同的参数. 定理：两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当的参数选择后，他们具有相同的第一基本形式。等距变换等距变换- 若两个曲面和之间有双射对应, 它保持曲面上的任意曲线段的长度不变, 则称为等距变换等距变换(保长变换保长变换) 1和222211.2.2duFdudvGdvduFdudvG dv11IEIE22221100)2)2)ttFGdtFGdt1dudu dvdvdudu dvdvE(E(dtdt dtdtdtdt dtdt222211)2)2)FGFG1dudu dvdvdudu dvdvE(=E(
4、dtdt dtdtdtdt dtdt2222110022221111)2)2).2200,:1:1ttFGdtFGdtduFdudvGdvduFdudvG dvduGGdvdu dvFF111两曲面等距,且对应点有相同参数dudu dvdvdudu dvdvE(E(dtdt dtdtdtdt dtdtEE取,取E=E 取对应2222111,22IIduFdudvGdvduFdudvG dv1EE所以它们具有相同的第一基本形式。所以它们具有相同的第一基本形式。例：证明平平面和圆柱面等距分析只要找到一个参数变换使证：平面和圆柱面的22222,IdudvIR ddz平圆柱Ruzv作 其雅可比行列式不
5、为零有22222IR ddzdudvI平圆柱例 证明第一基本量是常数的曲面可与平面建立等距对应222.duFdudvGdvIE证：设2,0,0,EGEGF02222 , ,0rIddFvEuEEGFEGFvEII 平平平面,作（ ， ），（u，v）代入有定义 曲面之间的一个变换，如果使曲面上对应曲线的交角相等，则这个变换称为保角变换(保形变换)与等距变换一样下面假定曲面在对应点有相同参数什么样的两曲面保角呢？有下定理定理：两个曲面之间变换是保角变换的充要条件是第一基本形式成比例。充分性：设两个曲面的第一基本形式为：由此可知即第一基本量成比例：22112.duFdudvG dv11IE111E
6、: E = F : F = G : G .222.duFdudvGdvIE2( , ) , ( , )0,u vu v1I:du dvuv1对 和上任意两方向和有2222,1112222111111,()cos.22()cos.22coscosEdu uF du vdv uGdv vEduFdudvGdvE uF u vG vE du uF du vdv uG dv vE duFdudvG dvE uF u vG v 所以保角11111111111111111()0,()0()()0,()()0,0,0Edu uF du vdv uGdv vE du uF du vdv uG dv vEduF
7、dvuFduGdvvE duFdvuFduG dvvEduFdvFduGdvuvE duFdvFduG dvFGFEEFGduFGFEEF保角保正交有非零解取取dv1G定理：在局部范围内，任何曲面总可以和平面间建立等角对应。任何曲面总可适当选取参数，使 这种参数称为等温参数，相应的参数曲线网称为等温网。推论：任何两个曲面之间总可以建立等角对应。 等距一定等角，但等角不一定等距。222( , ), ( , ) 0.uv dudvuvI例 球极投影给出球面到平面的一个变换( Mercator投影)。 coscos ,cos sin ,sin rRRR22222cosIRdR d 22222222222222 , ,0,coscos()coscos( , ),02( , )cosrIdddIRdR dRdddddIRI 平平球平面作，积分有=lntan(4代入有保角解：设