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1、1差差分方程简介分方程简介2市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型3减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动4商业贷款商业贷款5差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型6汽车租赁公司的运营汽车租赁公司的运营 差分方程模型差分方程模型以以t 表示时间，规表示时间，规 定定t只取非负整数。只取非负整数。t=0表示第一周期表示第一周期初，初，t=1表示第二周期初等。表示第二周期初等。记记yt 为变量为变量y在时刻在时刻t 时的时的取值，则称取值，则称 为为yt 的的一阶差分一阶差分，称，称 为的为的二阶差分二阶差分。类似地，可以定义。类似地，可以定义yt的的n阶差分。阶差分。由由t、yt及及yt的
2、差分给出的方程称的差分给出的方程称 为为yt差分方程，其中含差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶阶。差分方程也。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 也可改写成也可改写成 1差分方程简介差分方程简介满足一差分方程的序满足一差分方程的序 列列yt称为此差分方程的解，若解称为此差分方程的解，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程此解为该差分方程 的的通解通解。若解中不含任意常数，。若解中不含任意常数，则称此解为满足
3、某些初值条件的则称此解为满足某些初值条件的 特解特解，例如，考察，例如，考察两阶差分方程两阶差分方程 两个任两个任意常数。意常数。则为则为它的通解，其它的通解，其中中c1，c2为为则为则为它的通解，其它的通解，其中中c1，c2为为均是它的特解，而均是它的特解，而与与易易见见满足一差分方程的序满足一差分方程的序 列列yt称为此差分方程的解，若解称为此差分方程的解，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程此解为该差分方程 的的通解通解。若解中不含任意常数，。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的则称此解为满足某些初值
4、条件的 特解特解，例如，考察，例如，考察两阶差分方程两阶差分方程 容易容易证证明，若序列明，若序列与与均均为为方程（方程（2）的解，）的解，则则也是方程（也是方程（2）的解，其）的解，其中中c1、c2为为任意常数，任意常数，这说这说明，明，齐齐次方程的解构成一个次方程的解构成一个线线性空性空间间（解空（解空间间）。）。此规律对于（此规律对于（1）也成立。）也成立。当当0时，时，则称其为则称其为 n阶常系数非线性差分方阶常系数非线性差分方程。程。（1）（2）容易容易证证明，若序列明，若序列与与容易容易证证明，若序列明，若序列与与容易容易证证明，若序列明，若序列均均为为方程（方程（2）的解，）的解
5、，则则与与容易容易证证明，若序列明，若序列当当0时，时，则称其为则称其为 n阶常系数非线性差分方阶常系数非线性差分方程。程。称其为对应的齐次方程。称其为对应的齐次方程。当当0时，时，则称其为则称其为 n阶常系数非线性差分方阶常系数非线性差分方程。程。均均为为方程（方程（2）的解，）的解，则则与与容易容易证证明，若序列明，若序列当当0时，时，则称其为则称其为 n阶常系数非线性差分方阶常系数非线性差分方程。程。方程（方程（1）可用如下的代数方法求其通解：）可用如下的代数方法求其通解：（步一步一）先求解）先求解对应对应的特征方程的特征方程 （3）（步二步二）根据特征根的不同情况，求）根据特征根的不同
6、情况，求齐齐次方次方程程(2)的通解的通解情况情况1若特征方程（若特征方程（3）有）有n个互不相同的个互不相同的实实根根,，则齐则齐次方程（次方程（2）的通解）的通解为为(C1,Cn为为任意常数任意常数)，情况情况2若若是特征方程（是特征方程（3）的）的k重根，通解中重根，通解中对应对应于于的的项为项为为为任意常数，任意常数，i=1,k。情况情况3 若特征方程（若特征方程（3）有单重复根）有单重复根 通解中对应它们的项为通解中对应它们的项为 为为的模，的模，为为的幅角。的幅角。情况情况4若若为为特征方程（特征方程（4.17）的）的k重复根，重复根，则则通通解解对应对应于它于它们们的的项为项为为
7、为任意常数，任意常数，i=1,2k。.若若yt为为方程方程(4.16)的通解的通解,则则非非齐齐次方程次方程(4.15)的通解的通解为为（步三步三）求非求非齐齐次方程次方程(4.15)的一个特解的一个特解求非齐次方程（求非齐次方程（1）的特解一般）的特解一般要用到要用到 常数变易法常数变易法，计算较繁。，计算较繁。对特殊形式对特殊形式 的的b(t)也可使用也可使用 待定待定系数法系数法。差分方程反映的是关于离散变量的变化规律。差分方程反映的是关于离散变量的变化规律。差分方程模型有着非常广泛的实际应用背景，差分方程模型有着非常广泛的实际应用背景，在经济、金融和病虫害的控制与防治、遗传规律在经济、
8、金融和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许多方面都有非常重要的应用。的研究等许多方面都有非常重要的应用。2市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡蛛蛛网网模模型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段
9、商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0 xy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点xy0y0 x0P0fg 曲线斜率曲线斜率的绝对值的绝对值蛛蛛网网模模型型 曲线斜率曲线斜率的绝对值的绝对值曲线斜率曲线斜率的绝对值的绝对值在在P0点附近
10、用直线近似曲线点附近用直线近似曲线P0稳定稳定P0不稳定不稳定方方程程模模型型方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 ,的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格经济稳定经济稳定结果解释结果解释经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时
11、政府的干预办法1.使使 尽量小，如尽量小，如=0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直模型的推广模型的推广生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k,
12、xkx0的条的条件件方程通解方程通解(c1,c2由初始条件确定由初始条件确定)1,2特征根，即方程特征根，即方程的根的根平衡点稳定，即平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件:平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件放宽了放宽了模型的推广模型的推广3减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起
13、饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25超重超重;BMI30肥胖肥胖.模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比
14、于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过千）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过千克，每周吸收热量不要小于克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下
15、限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000
16、千卡千卡w=100千克不变千克不变第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1千克千克,c(k)减至下限减至下限10000千千卡卡第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型基本模型第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,
17、体重按体重按减少至减少至75千克。千克。运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量(千卡千卡):跑步跑步跳舞跳舞乒乓乒乓自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.03.04.42.57.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)基本基本模型模型3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变不不运动运
18、动运动运动(内容同前内容同前)设有一笔P万元的商贷，若贷款期是n年，年利率是r1,今采用月还款的方式逐月偿还，建模求每月的还款金额。模型建立设贷款后第k个月后的欠款数是 元，设贷款后第k个月后的欠款数是 元，月还款为m元r，月贷款利息为 ,则即模型求解4商业贷款商业贷款月还款为m元r，月贷款利息为 ,则令则递推可得（）即即令令模型求解令模型建立设贷款后第k个月后的欠款数是 元，所以这就是差分方程（）的解结果分析将已知数据A0,r代人A12n=0中，可以求出月还款额m。例如，当A0=10000，r=0.0052125,n=2时可以求出元。所以r=0.0052125;A0=10000;n=2;m=
19、r*A0*(1+r)(12*n)/(1+r)(12*n)-1)5差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型(Logistic模模型型)t,xN,x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t)某种群某种群t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N,则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N 是平衡点是平衡点离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶一阶(非线性非线性)差分方差
20、分方程程(1)的平衡点的平衡点y*=N变量变量代换代换(2)的平衡的平衡点点以种群繁殖的周期划分时段，记时段以种群繁殖的周期划分时段，记时段k(或第或第k代代)的种群数量为的种群数量为xk,增长率是增长率是r，种群最大容量为，种群最大容量为N，阻滞增长模型的离散形式可表为阻滞增长模型的离散形式可表为模型分析模型分析（1）该差分方程有两个平衡点：）该差分方程有两个平衡点：x=N,x=0.模型及其求解模型及其求解（2）x=0不稳定不稳定.x=N稳定的条件：稳定的条件：r2,虽然虽然这时这时xk不收敛，但是似乎它的变化仍有某种规律不收敛，但是似乎它的变化仍有某种规律.MATLAB演示计算：不妨设N=
21、1，初值x0=0.1,取程序如下：r=1.8;x=0.1;n=40;for i=1:nx(i+1)=x(i)+r*x(i)*(1-x(i);endk=(0:40);k,xPlot(k,x)6汽车租赁公司的运营汽车租赁公司的运营 汽车租赁公司在三个相邻的城市运营，设租赁的汽车可在任意一个城市归还。B0.3C0.1A0.6AB0.7C0.1A0.2BB0.3C0.6A0.1C若公司将N辆汽车按一定方式分配到三个城市，建立运营中汽车数量在三城市间的转移模型，讨论时间充分长以后的变化趋势。建模与求解建模与求解 记k个租期末公司在A,B,C市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k),得第k+1
22、期末公司在A,B,C市的汽车数量为（k=0,1,2）记向量矩阵则给定初始值x(0),可以计算各个租赁期三个城市汽车数量的变化。用矩阵表示用matlab编程，计算x(k),观察n年以后的3个城市的汽车数量变化情况czqz1Matlab实现：初始分配实现：初始分配A:200，B:200，C:200A=0.6,0.2,0.2;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;x=200,200,200;n=10;for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);endround(x),k=0:10;plot(k,x)作图观察数量变化趋势 k=0:10;plot(k,x)，gridgtext(x1(k),gtext(x2(k),gtext(x3(k)可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120可以考察这个结果与初始条件是否有关若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关直接输入x（:,1）的值即可x(:,1)=600,0,0;round(x);plot(k,x),gridMATLAB演示