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1、微微积分分I I教教师：陈新宏新宏单位：数学与位：数学与计算科学学院算科学学院1第三章第三章导数及其数及其应用用1 1、导数概念数概念2 2、函数的求、函数的求导法法则3 3、复合函数的求、复合函数的求导法法则4 4、隐函数的求函数的求导与与对数求数求导法法5 5、高、高阶导数函数的微分数函数的微分6 6、导数在数在经济函数中的函数中的应用用23.13.1导数的概念数的概念v1 1、导数的定数的定义v2 2、导数的几何意数的几何意义v3 3、左、右、左、右导数数v4 4、导数与数与连续的关系的关系3一、一、导数的概念数的概念4割割线MNMN的极限位置的极限位置MTMT称称为曲曲线LL在点在点M
2、M处的切的切线。割割线 MNMN的斜率的斜率为：切切线 MTMT 的斜率的斜率为：在点在点求曲求曲线L L：处切切线的斜率。的斜率。当当时,1 1、导数概念的引入数概念的引入-切切线问题5设函数函数在点在点某某邻域内有定域内有定义，若极限若极限存在，存在，则称函数称函数在点在点处可可导，并称此极限并称此极限值为函数函数在点在点处的的导数数，记作：作：或（1 1）定定义1 12 2、导数的定数的定义若极限不存在，若极限不存在，在点在点则称函数称函数处不可不可导.说明明6若若记所以所以（2 2）或或（3 3）定定义2 27例例1.1.设存在存在,由由导数定数定义观察下列极限察下列极限,并指出并指出
3、AA表示什么表示什么?解解另解，A(1).令，则A8(2).A另解，另解，A=A=（关（关键是凑定是凑定义）9例2 已知，则练习一下10例例3.3.求函数求函数在在x=2x=2处的的导数数.解解函数函数在在x=3x=3处的的导数数?问题函数函数在在x=xx=x00处的的导数数?2x2x113 3、导函数函数若函数若函数在区在区间II内每一点都可内每一点都可导,则称函数称函数在区在区间II内可内可导.对任一任一都都对应一个确定的一个确定的导数数值.构成了一个新的函数构成了一个新的函数,导函数函数.记作作:（4 4）即即函数函数在在处的的导数数,就是就是导函数在函数在处的的函数函数值.即即这个函数
4、称做原来函数个函数称做原来函数的的12例例4.4.求函数求函数(常数常数)的的导数数.解解常数的常数的导数等于零数等于零例例5 5 求函数求函数处的的导数数.在在解解可得13对于于幂函数函数为常数常数),),有有例如,14例例6.6.设求求解解正弦函数的正弦函数的导数等于余弦函数数等于余弦函数.类似得似得,余弦函数的余弦函数的导数等于数等于负的正弦函数的正弦函数.15例例7.7.设求求解解特特别地地,16解解因因所以所以例例9.9.,求求解解 因因所以所以例例8.8.求函数求函数在在处的的导数数.17二、二、导数的几何意数的几何意义181 1、导数的几何意数的几何意义曲曲线在点在点处切切线方程
5、方程为：曲曲线在点在点处法法线方程方程为：是曲是曲线 在点在点处的切的切线斜率斜率注意:时，切线方程为：19例例10.10.求曲求曲线在点在点(1,1)(1,1)处的切的切线方程和法方程和法线方程方程.解解由由导数的几何意数的几何意义知知,所求切所求切线的斜率的斜率为:所求切所求切线方程方程为:即即所求法所求法线方程方程为:即即20三、左、右三、左、右导数数211.1.左、右左、右导数数左左导数：数：右右导数：数：22结论函数在一点可函数在一点可导的充要条件是函数在的充要条件是函数在该点的左右点的左右导数存在且相等数存在且相等.23例例1111求函数求函数在在处的的导数数.解解所以所以,函数函
6、数在在处不可不可导.x xy yo o（讨论分断点的可分断点的可导性用定性用定义）重要结果24四、函数的可四、函数的可导性与性与连续性的关系性的关系251 1、函数的可、函数的可导性与性与连续性的关系性的关系(可可导的必要条件的必要条件)若函数若函数在在处可可导,则必必连续.反之不真反之不真.事事实上上,因因在在处可可导,即即所以所以,函数函数在在处连续.定理定理26反例反例(1).(1).在在处连续,不可不可导.(2).(2).在在处连续,但但即函数即函数在在处不可不可导,在在处有垂直于有垂直于 x x 轴的切的切线.x xy yo o但是但是x xy yo o1271)1)函数函数在区在区间a,ba,b连续 指在指在(a,b)(a,b)内内连续,且且都存在都存在.说明明2)2)函数函数在区在区间a,ba,b可可导 指在指在(a,b)(a,b)内可内可导,且且都存在都存在.28例例12.12.设函数函数当当取何取何值时,在在处连续且可且可导.解解.由由（讨论分断点的可分断点的可导性用定性用定义）29例例13.13.讨论函数函数在在处连续性与可性与可导性性.30要要 求求(1)(1)掌握掌握导数的定数的定义与几何意与几何意义(2)(2)知道可知道可导与与连续的关系的关系两条两条经验(1).斜率是导数在某点的值（即常数）(2).求分断点的导数用定义3132