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1、第三章一元函数积分学及其应用 积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分积分研究函数的整体性态积分研究函数的整体性态!目录 上页 下页 返回 结束 第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义三、三、定积分的存在条件定积分的存在条件存在条件及性质 第三三章 四、四、定积分的性质定积分的性质定积分的概念、目录 上页 下页 返回 结束 何谓曲边梯形？请看下列的图形：平面封闭图形均可理解成数个曲边梯形的集合。一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积目录 上页 下页 返回 结束 由连续曲线,两直线 所围成的图形称为曲边梯形,求其面积 A.曲线弧称
2、为曲边，线段称为底边。目录 上页 下页 返回 结束 abxyoab（四户村民）（四户村民）（九户村民）（九户村民）xyo目录 上页 下页 返回 结束 显然，村民户数越多，分的越细，测量得到的总面积越接近土地精确面积目录 上页 下页 返回 结束 解决步骤解决步骤:1)分割分割.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;目录 上页 下页 返回 结束 2)常代变常代变.在第i 个小曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积得3)求和求和.目录 上页 下页 返回 结束 4)取极限取极限.令则曲边梯形面积目录 上页 下页 返回
3、 结束 解决问题的思想和方法：解决问题的思想和方法：分割分割化整为零求和求和积零为整取极限取极限精确值求近似以常（直）代变（曲）取极限目录 上页 下页 返回 结束 2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程解决步骤解决步骤:1)分割分割.将它分成在每个小段上物体n 个小段经过的路程为设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.已知速度目录 上页 下页 返回 结束 4)取极限取极限.得2)常代变常代变.3)求和求和.目录 上页 下页 返回 结束 上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“分割，常代变，求和，取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限1 1.曲边梯形的面积
4、2 2.变速直线运动的路程目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分定义二、定积分定义任取在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点把区间 a,b 分成n 个小区间做函数值与小区间长度的乘积1)分割分割.3)求和求和.2)常代变常代变.目录 上页 下页 返回 结束 总趋于确定的极限 I,即如果不论不论对 a,b 怎样划分，也不论不论在小区间上的定积分定积分则称此极限 I 为函数在区间(简称积分积分)，记作即4)取极限取极限.上 怎样选取，,目录 上页 下页 返回 结束 积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和目录 上页 下页 返回 结束 1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程目录 上页
5、 下页 返回 结束 注意：注意：(2)定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即(1)定积分是一个确定的数值.(3)定积分又被称为Riemann 积分,简称 R 积分。目录 上页 下页 返回 结束(4)在定义中，当所有子区间的长度的最大值 d趋近于 0 时，区间的个数 n 趋于无穷大，但不能用(5)定义包含了两个任意性，即对区间的分割与点对区间的分割与点的选取都是任意的的选取都是任意的.如果对区间的两种不同分割或的不同选择，得到的和式的极限不同，或者存在一个和式的极限不存在，则函数 f 在该区间上不可积。例如：Dirichlet 函数 x 为有理数x 为无理数在区间0
6、,1上不可积！目录 上页 下页 返回 结束(6)定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值目录 上页 下页 返回 结束 各部分面积的代数和目录 上页 下页 返回 结束 三、定积分的存在条件三、定积分的存在条件1.1.可积的必要条件可积的必要条件定理1.1 若函数 f 在a,b上可积,则 f 在a,b上有界.注:可积函数必有界,有界不一定可积.如Dirichlet函数.证明:(反证法)若 f 在 a,b 上无界，则对任意分割,必存在子区间，使 f 在该子区间上无界。因此，对任意正数 M，总存在使得可大于任给的常数。故其极限不存在,即 f 在a,b 不可积。证毕！目录 上页
7、下页 返回 结束 定义定义:设 f 为a,b上的有界函数,将区间a,b任意分2、可积的充分条件、可积的充分条件割为 n 个子区间取称为 f 在子区间上的振幅振幅.目录 上页 下页 返回 结束 和式分别称为 f 关于该分割的反之亦然!即有：DarbouxDarboux大和大和大和大和与Darboux小和小和小和小和.2.如果 f 在区间a,b 上可积，则易知：易知：1.对同一分割，唯一确定，且目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 设函数 f 在a,b上有界，则 f 在a,b可即对任意的 0，总存在相应的某一分割,使得当积的充要条件是：当时，分割出的所有子区间的长度的最大值时,（*）（*）式成立
8、。（证明略.）目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3、可积函数类、可积函数类若 则 f 在a,b上可积.解释：对 a,b 的任意分割，当d 充分小时，f 在每个子区间上的振幅都能任意小。定理定理设 f 在区间a,b上有界，若 f 在a,b上只有有限个第一类间断点或者在a,b上单调,则 f 在a,b上可积.解释：当 d 充分小时，虽不能保证 f 在每个子区间上的振幅都任意小，但振幅不能任意小的所有子区间长度之和可以任意小。函数也可积。目录 上页 下页 返回 结束 取例例1.利用定义计算定积分解解:1)分割分割 将 0,1 n 等分,分点为则3)求和求和则2)常代变常代变目录 上页 下页 返回
9、结束 4)取极限取极限目录 上页 下页 返回 结束 例例2.用定积分表示下列极限:解解:目录 上页 下页 返回 结束 四、定积分的性质四、定积分的性质规定规定:性质性质1.2 1.2（线性性质）（线性性质）若则并且性质性质记记在区间a,b 上可积.目录 上页 下页 返回 结束 性质性质 若则证证:推论推论1（单调性）若则目录 上页 下页 返回 结束 推论推论2.若若且则性质性质1.4 若若则且（#）注注:性质的逆命题不一定成立,例如为有理数,为无理数.目录 上页 下页 返回 结束 例例3.试证:证证:设则在上,有即故即目录 上页 下页 返回 结束 证证:由定理知 f 在 I 的所有子区间可积.
10、下证(1)式。所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点，于是性质性质1.5（区间可加性）（区间可加性）设 I 为有限区间,若 f 在 I 上可积,则 f 在 I 的任一子区间上都可积,且上可积,时,因在当（1）目录 上页 下页 返回 结束 当 a,b,c 的相对位置任意时,例如则有令有证毕！目录 上页 下页 返回 结束 性质性质1.6（乘积性质）（乘积性质）设 则性质性质1.7（积分中值定理）（积分中值定理）且 g 在a,b 上不变号.则至少存在一点使证明：设在a,b 上则 从而因此（*）目录 上页 下页 返回 结束 若上式两边同除以则不等式（*）亦若得由连续函数的介值定理可得（*）成立。成立
11、。证毕！则至少存在一点使推论推论3.目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:通常称故它是有限个数的算术平均值概念的推广.因积分中(均)值.当时，推论 3 有如图的几何意义。目录 上页 下页 返回 结束 例例5.计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.解解:已知自由落体速度为故所求平均速度目录 上页 下页 返回 结束 定积分的定义：定积分的思想和方法：分割分割化整为零求和求和积零为整取极限取极限精确值定积分取极限内容小结内容小结求近似以常（直）代变（曲）目录 上页 下页 返回 结束 4.定积分的性质线性性质，单调性，区间及积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式.3.定积分的存在条件必要条件充要条件可积函数类.可加性目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.用定积分表示下述极限:解解:或目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:如何用定积分表示下述极限 提示提示:极限为 0!