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1、第一节复数第一章 复变函数&1.1.复数的概念复数的概念复数的概念复数的概念&2.2.代数运算代数运算代数运算代数运算&3.3.共轭共轭共轭共轭复数复数复数复数复数及其代数运算复数及其代数运算A 一般一般,随意两个复数不能比较大小。随意两个复数不能比较大小。1.复数的概念复数的概念 定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y,称称 z=x+iy或或z=x+yi为为复数。复数。复数复数z 的实部的实部 Re(z)=x;虚部虚部 Im(z)=y.(real part)(imaginary part)复数的模复数的模 推断复数相等推断复数相等定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、
2、积和商为：的和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算代数运算四则运算四则运算四则运算四则运算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律运算规律复数的运算满足交换律、结合律、支配律。复数的运算满足交换律、结合律、支配律。（与实数相同）即，（与实数相同）即，共轭复数的性质共轭复数的性质3.共轭复数共轭复数定义定义 若若z=x+iy,称称 z=x-iy
3、为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)&1.1.点的表示点的表示点的表示点的表示&2.2.向量表示法向量表示法向量表示法向量表示法&3.3.三角表示法三角表示法三角表示法三角表示法&4.4.指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法1.1.2 复数的表示方法复数的表示方法1.点的表示点的表示点的表示：点的表示：A 数数z z与点与点z z同义同义.2.向量表示法向量表示法A oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴 为始边为始边,以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的
4、的辐角辐角.(z0时时)辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，把其中满足把其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz。A z=0z=0时，辐角不确定。时，辐角不确定。计算计算argz(z0)的公式的公式A 当当z z落于一落于一,四象限时，不变。四象限时，不变。A 当当z落于其次象限时，加落于其次象限时，加 。A 当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 。oxy(z)z1z2 z1+z2z2-z1由向量表示法知由向量表示法知3.三角表示法三角表示法4.指数表示法指数表示法引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程引进复数的几何表示，可将平
5、面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例例1 用复数方程表示用复数方程表示:（1）过两点）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0,-1),半径为半径为2的圆。的圆。oxy(z)Lz1z2z解解（1）z=z1+t(z2-z1)（-t 0为半径的为半径的圆圆|z-z 0|(或或 0|z z 0|0,对任意对任意 z D,均有均有zG=z|z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界。；否则无界。闭区域闭区域
6、区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,2.简洁曲线（或简洁曲线（或Jardan曲线曲线)令令z(t)=x(t)+iy(t)atb;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)，atb有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b),t2 a,b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。定义定义 称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C
7、 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线。z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线3.单连通域与多连通域单连通域与多连通域简洁闭曲线的性质简洁闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)，ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)
8、Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在B内内，就称，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域。域；非单连通域称为多连通域。例如例如|z|0）是单连通的；）是单连通的；0r|z|R是多连通的。是多连通的。单连通域单连通域多连通域多连通域多连通域多连通域单连通域单连通域&1.复变函数的定义复变函数的定义&2.映射的概念映射的概念&3.反函数或逆映射反函数或逆映射1.2.2 复变函数的概念复变函数的概念1.复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义
9、相类似定义定义A 例例1例例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上，w=f(z)可以看作：可以看作：定义域定义域函数值集合函数值集合 2.映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)wA 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的A 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y A 之间的对应关系，以便在探讨和理解复变之间的对应关系，以便在探讨和理解复变A 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的
10、几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）3.反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射为多值函数为多值函数,2支支.定义定义 设设 w=f(z)的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.例例 已知映射已知映射w=z3，求区域，求区域 0argz 在平面在平面w上的象。上的象。例例&1.函数的极限函数的极限&2.运算性质运算性质&3.函数的连续性函数的连续性1.2.3 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性1.函数的极限函数
11、的极限定义定义1.6uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义:当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中A (1)(1)意义中意义中 的方式是任意的的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数是复数.2.运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理定理(3)若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的.定理定理A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证!例例1例例2例例33.函数的连续性函数的连续性定义定义1.7定理定理1.1例例4 证明证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。证明证明xy(z)ozz 定理定理1.2 (1)连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商(分母不为分母不为 0),仍为仍为 连续函数连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。(2)有界性：有界性：