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1、复变函数第一章复数与复变函数第1页，本讲稿共44页 复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。第一章 复数与复变函数1.1复数及其表示法 一对有序实数（）构成一个复数，记为 .自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.x,y 分别称为 Z 的实部
2、和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),.称为 Z 的共轭复数。第2页，本讲稿共44页与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.两个复数相等他们的实部和虚部都相等特别地，1.代数形式:复数的表示法1)点表示yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴第3页，本讲稿共44页2)向量表示-复数复数z的辐角的辐角(argument)记作Arg z=q.任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足-p-p q q0 p p 的的q q0 称为称为Arg z的主值的主值,记作q0=arg z.则Arg z=q0+2kp=arg z+2kp (k为任意整数)0 xyxyqz=x+iy|z|=r-复数复数z的
3、模的模第4页，本讲稿共44页当 z=0 时,|z|=0,而幅角不确定.arg z可由下列关系确定:说明：当 z 在第二象限时，第5页，本讲稿共44页2.指数形式与三角形式 利用直角坐标与极坐标的关系:x=r cosq,y=r sinq,可以将z表示成三角表示式:利用欧拉公式 e iq=cosq +i sinq 得指数表示式:例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.解1)z在第三象限,因此因此第6页，本讲稿共44页2)显然,r=|z|=1,又因此练习：练习：写出 的辐角和它的指数形式。解：第7页，本讲稿共44页1.2复数复数的运算设z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1 ;z1+(z2+
4、z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .复数运算满足交换律,结合律和分配律:1.四则运算第8页，本讲稿共44页加减法与平行四边形法则的几何意义:乘、除法的几何意义:,定理定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.第9页，本讲稿共44页 等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,的意思是等式的两 边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边 的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.几何上 z1z2 相当于将 z2 的模扩大|z1|倍并旋转一个角度Arg z1.0
5、1第10页，本讲稿共44页例2：设求：解：若取则若取则第11页，本讲稿共44页;按照乘积的定义,当z10时,有定理定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.第12页，本讲稿共44页2.乘方与开方运算1）乘方De Moivre 公式：第13页，本讲稿共44页2）开方:若满足，则称w为z的n次方根，记为 于是推得第14页，本讲稿共44页从而几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆 的内接正n边形的n个顶点。例2 求解 因为所以第15页，本讲稿共44页即四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w
6、2w3Oxy第16页，本讲稿共44页1.31.3复数形式的代数方程与平面几何图形 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形.例3 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方 程来表示.解 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为 因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-t+)第17页，本讲稿共44页 由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2-z1).(0t1)取得知线段的中点为 例4 求下列方程所表示的曲线:第18页，本讲稿共
7、44页解：设设 z=x+i y,方程变为-iOxy 几何上,该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线,方程为 y=-x,也可用代数的方法求出。第19页，本讲稿共44页Oxy-22iy=-x设设 z=x+i y,那末可得所求曲线的方程为 y=-3.Oyxy=-3第20页，本讲稿共44页1.4 复数域的几何模型-复球面 0N第21页，本讲稿共44页x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P
8、点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.第22页，本讲稿共44页扩充复数域-引进一个“新”的数:扩充复平面-引进一个“理想点”:无穷远点.约定:第23页，本讲稿共44页 1.4 区域1.区域的概念 平面上以 z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|d 内部的点的集合称为z0的邻域邻域,而称由不等式 0|z-z0|M 的所有点的集合,其中实数 M0,称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域.即它是圆|z|=M 的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|z|M 的所有点称为无穷远点的去心邻域无穷远点的去心
9、邻域,也记作 M|z|M第24页，本讲稿共44页 设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点内点.如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集开集 平面点集D称为一个区域区域,如果它满足下列两个条件:1)D是一个开集;2)D是连通连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来.设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.第25页，本讲稿共44页 区域 D与它的边界一起
10、构成闭区域或闭域,记作D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数 M,使区域 D的每个点z都满足|z|M,则称 D为有界的,否则称为无界的.2.单连通域与多连通域平面曲线 在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组x=x(t),y=y(t),(atb)代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表.这就是平面曲线的复数表示式.第26页，本讲稿共44页 设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足 at1
11、b,at2b 的 t1与 t2,当 t1t2而有 z(t1)=z(t2)时,点 z(t1)称为曲线 C的重点.没有重点的连续曲线 C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线 C的起点与终点闭合,即 z(a)=z(b),则曲线 C 称为简单闭曲线简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)第27页，本讲稿共44页 任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去 C 外,一个是有界区域,称为 C 的内部,另一个是无界区域,称为 C 的外部,C 为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性
12、质,其几何直观意义是很清楚的.内部外部C第28页，本讲稿共44页定义 复平面上的一个区域 B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域多连通域.单连通域多连通域第29页，本讲稿共44页1.5 复变函数1.复变函数的定义定义 设 D 是复平面中的一个点集,称为复变函数.其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数 u,v.例如,考察函数 w=z2.令 z=x+iy,w=u+iv,则u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,因而函数 w=z2 对应于两个二元函数:u=x2-y2,v=2xy第30页，本讲稿共44页 在以后
13、的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.2.映射的概念 函数 w=f(z)在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集D(定义集合)变到 w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果 D 中的点 z 被映射 w=f(z)映射成 G中的点 w,则 w 称为 z 的象(映象),而 z 称为 w 的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW第31页，本讲稿共44页设函数w=z=x iy;u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2ABCw1w2第32页，本讲稿共44页设函数 w=z2=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,有 u=x2-y2,v=
14、2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1第33页，本讲稿共44页 函数 w=z2 对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy 把 z 平面上的两族双曲线 x2-y2=c1,2xy=c2 分别映 射成w平面上的两族平行直线 u=c1,v=c2.101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10第34页，本讲稿共44页 如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合D与集合G是一一对应的.举例：曲线在映射下的像 例题1 第35页，本讲稿共
15、44页例题2例题3例题4 第36页，本讲稿共44页1.6 复变函数的极限和连续性1.函数的极限定义 设函数 w=f(z)定义在 z0的去心邻域 0|z-z0|0,相应地必有一正数d(e)(0 d),使得当 0|z-z0|d 时有|f(z)-A|e,则称A为f(z)当 z趋向于z0时的极限,记作或记作当 zz0 时,f(z)A.第37页，本讲稿共44页几何意义几何意义:xyOz0dzOuvAef(z)第38页，本讲稿共44页等价定义：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则运算性质：第39页，本讲稿共44页当 z0 时的极限不存在例1 证明函数证 令
16、z=x+i y,则由此得让 z 沿直线 y=k x 趋于零,我们有故极限不存在.第40页，本讲稿共44页2.函数的连续性定义 则说 f(z)在 z0 处连续.如果 f(z)在区域D内处处连续,我们说 f(z)在D内连续.函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 z0=x0+iy0处连续的充要条件是 u(x,y)和 v(x,y)在(x0,y0)处连续.性质：(1)(1)连续函数的四则运算仍然连续；(2)(2)连续函数的复合函数仍然连续；(3)(3)连续函数的模也连续；第41页，本讲稿共44页(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模在D上取到最大值与最小值;(5)(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.例题1 讨论的连续性。x00第42页，本讲稿共44页例2 讨论 解：的连续性。第43页，本讲稿共44页第44页，本讲稿共44页