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1、高中数学知识点总结高中数学知识点总结第一章集合与简易逻辑第一章集合与简易逻辑集合知识点归纳集合知识点归纳定义：一组对象的全体形成形成一个集合特征：确定性、互异性、无序性表示法：列举法1,2,3,、描述法x|P韦恩图分类：有限集、无限集数集：自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、正整数集 N*、空集关系：属于、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等运算：交运算 ABx|xA 且 xB；并运算 ABx|xA 或 xB;补运算CUAx|xA 且 xU，U 为全集性质：AA；A；若 AB，BC，则 AC；AAAAA；A；AA；ABAABBAB；ACUA；ACUAI；CU(CUA)A；C
2、U(AB)(CUA)(CUB)方法：韦恩示意图,数轴分析注意注意：区别与、与、a 与a、与、(1,2)与1,2；AB 时，A 有两种情况：A与 A若集合 A 中有 n(n N)个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是2-1,所有非空真子集的个数是2 2nnn区分集合中元素的形式：如A x|y x2 2x 1；B y|y x2 2x 1；C(x,y)|y x2 2x 1；D x|x x2 2x 1；E(x,y)|y x2 2x 1,xZ,yZ；yF(x,y)|y x2 2x 1；G z|y x2 2x 1,z x空集是指不含任何元素的集合0、和的区别；0 与三者间的关系空
3、集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为A B，在讨论的时候不要遗忘了A 的情况1符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系；符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系绝对值不等式知识点归纳绝对值不等式知识点归纳1绝对值不等式x a与x a(a 0)型不等式axb c与axb c(c 0)型不等式的解法与解集：不等式x a(a 0)的解集是xa x a;不等式x a(a 0)的解集是x x a,或x a不等式axb c(c 0)的解集为x|c ax b c(c 0);不等式axb c(c 0)的解集为x|axbc,或a
4、xbc(c0)2解一元一次不等式ax b(a 0)a 0,x x ba 0,x x aba3韦达定理：方程ax bx c 0（a 0）的二实根为x1、x2，2bx x 212a则 b 4ac 0且cx1x2a 0两个正根，则需满足x1 x2 0，x x 012 0两个负根，则需满足x1 x2 0，x x 012 0一正根和一负根，则需满足x x 0124一元二次不等式的解法步骤2对于一元二次不等式ax2bxc 0或ax2bxc 0a 0，设相应的一元二次方程ax2bxc 0a 0的两根为x1、x2且 x1 x2，b2 4ac，则不等式的解的各种情况如下表：0 0 0y ax2bx c二次函数y
5、 ax2bx cyy ax2bx cyyy ax2bx c（a 0）的图象x x1 1ox x2 2xox x1 1=x x2 2xox一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax2bxc 0a 0的根ax2bxc 0(a 0)的解集ax2bxc 0(a 0)的解集x1,x2(x1 x2)bx1 x2 2a无实根x x x 或x x12b x x 2aRx x1 x x2方程的根函数草图观察得解，对于a 0的情况可以化为a 0的情况解决注意注意：含参数的不等式 ax2bxc0 恒成立问题含参不等式 ax2bxc0 的解集是 R；其解答分 a0(验证 bxc0 是否恒成立)、a0（a0 且0 时，值
6、域为y|y 4a2(4ac b)当 a0)9 0 0(1)x1,x2,x2,则b/(2a)af()0af()0 0 0f()0(3)x1,x2,则(4)x1(0(0(0(10a 0,a 1，m 0,m 1,N0)logma8两个常用的推论:logablogba 1，logablogbclogca 1logamb nnlogab（a,b 0 且均不为 1）m9对数函数的性质：11a10a0（转化法）(3)af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)(4)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)函数图象变换知识点归纳函数
7、图象变换知识点归纳1作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象2三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换：（1）水平平移：函数y f(xa)的图像可以把函数y f(x)的图像沿x轴方向向左(a 0)或向右(a 0)平移|a|个单位即可得到；12（2）竖直平移：函数y f(x)a的图像可以把函数y f(x)的图像沿x轴方向向上(a 0)或向下(a 0)平移|a|个单位即可得到 y=f(x)
8、y=f(x+h);y=f(x)y=f(xh);y=f(x)y=f(x)+h;y=f(x)y=f(x)h左移h右移h上移h下移h5对称变换：（1）函数y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于y轴对称即可得到；（2）函数y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于原点对称即可得到；（4）函数y fx轴1(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于直线y x对称得到y轴y=f(x)y=f(x);y=f(x)y=f(x);直线xay=f(x)y=f(2ax);y=f(x)y=f1(x);直线yxy=f(x)y
9、=f(x)原点6翻折变换：（1）函数y|f(x)|的图像可以将函数y f(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y f(x)的x轴上方部分即可得到；（2）函数y f(|x|)的图像可以将函数y f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y f(x)在y轴右边部分即可得到yy=f(x)yy=|f(x)|yy=f(|x|)aobcxaobcxaobcx7伸缩变换：（1）函数y af(x)(a 0)的图像可以将函数y f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a 1)或压缩（0 a 1）为原来的a倍得到；（2）函数y f(ax)(a 0)的图
10、像可以将函数y f(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a 1)或压缩（0 a 1）为原来的1倍得到a13yxy=f(x)y=f();y=f(x)y=f(x)x第三章数列第三章数列数列定义知识点归纳数列定义知识点归纳数列数列（1）一般形式：a1,a2,an(2)通项公式：an f(n)(3)前 n 项和：Sn a1 a2an及数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系：(n 1)S1Sn a1a2an anS S(n 2)n1n等差数列知识点归纳等差数列知识点归纳1等差数列的定义:如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等
11、差数列的公差，公差通常用字母d 表示2等差数列的判定方法:定义法：对于数列an，若an1 an d(常数)，则数列an是等差数列等差中项：对于数列an，若2an1 an an2，则数列an是等差数列3等差数列的通项公式:如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为an a1(n 1)d该公式整理后是关于 n 的一次函数4等差数列的前 n 项和:Snn(a1 an)n(n 1)dSn na122对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数5等差中项:如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项 即：A a b或22A a b在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项
12、（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项5等差数列的性质:am是等差数列的第m项，等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，且m n，公差为d，则有an am(n m)d14 对于等差数列an，若n m p q，则an am ap aq也就是：a1 an a2 an1 a3 an2Sn是其前 n 项的和，S2k Sk，S3k S2k若数列an是等差数列，那么Sk，k N*，成等差数列如下图所示：S3k a1 a2 a3 ak ak1 a2k a2k1 a3k SkS2kSkS3kS2k6奇数项和与偶数项和的关
13、系：设数列an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前 n 项的和，则有如下性质：前 n 项的和Sn S奇 S偶当 n 为偶数时，S偶S奇nd，其中 d 为公差；2当n为 奇 数 时，则S奇S偶 a中，S奇Sn 1n 1n1a中，S偶a中，奇，22S偶n1SS偶Sn奇 n（其中a中是等差数列的中间一项）S奇S偶S奇S偶7前 n 项和与通项的关系：若等差数列an的前2n1项的和为S2n1，等差数列bn的前2n1项的和为S2n1，则anS2n1bnS2n1等比数列知识点归纳等比数列知识点归纳1等比数列的概念：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这
14、个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比公比，公比通常用字母 q 表示（q 0）2等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项也就是，如果是的等比中项，那么3等比数列的判定方法：Gb2，即GaG ab定义法：对于数列an，若an1 q(q 0)，则数列an是等比数列an2等比中项：对于数列an，若anan2 an1，则数列an是等比数列154等比数列的通项公式：如果等比数列an的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为an a1qn1或着an amqnm5等比数列的前 n 项和：a anqa1(1 qn)(q 1)1Sn2Sn1(q 1)
15、1 q1 q3 当q 1时，Sn na1n当q 1时，前 n 项和必须具备形式Sn A(q 1),(A 0)6等比数列的性质：等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m n，公比为q，则有an amqnm 对于等比数列an，若nm u v，则anam auav也就是：a1an a2an1 a3an2a1ana,a2,a3,an2,an1,an如图所示：1 a2an1若数列an是等比数列，Sn是其前 n 项的和，k N*，那么Sk，S2k Sk，S3k S2k成等比数列如下图所示：S3k a1 a2 a3 ak ak1 a2k a2k1 a3k SkS2k
16、SkS3kS2k数列的求和知识点归纳数列的求和知识点归纳1等差数列的前 n 项和公式：Sn=na1n(a1 an)n(n 1)n(n 1)Sn=nandSn=d222当 d0 时，Sn是关于 n 的二次式且常数项为 0；当 d=0 时（a10），Sn=na1是关于 n 的正比例式2等比数列的前 n 项和公式：当 q=1 时，Sn=n a1(是关于 n 的正比例式)；a anqa1(1 qn)当 q1 时，Sn=Sn=11 q1 q163拆项法求数列的和，如 an=2n+3n4错位相减法求和，如 an=(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）5分裂项法求和，如 an=1/n(n
17、+1)11nn1（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）6反序相加法求和，如 an=nC100n7求数列an的最大、最小项的方法：0an+1-an=0如 an=-2n2+29n-3 0an1an19n(n 1)1 (an0)如 an=n101 an=f(n)研究函数 f(n)的增减性 如 an=数列的综合应用知识点归纳数列的综合应用知识点归纳nn21561通项与前 n 项和的关系：Sn ana1,(n 1)S S,(n 2)n1n2迭加累加法：若anan1 f(n),(n 2)，则a2 a1 f(2)，a3 a2 f(3)，an an1 f(n)ana1 f(2)f(3)f(
18、n)3迭乘累乘法：若anaaa g(n)，则2 g(2)，3 g(3)，n g(n)an1a1a2an1an g(2)g(n)a14裂项相消法：an1111()(An B)(An C)C B An BAn C175错位相减法：an bncn,bn是公差 d0 等差数列，cn是公比 q1 等比数列Sn b1c1 b2c2bn1cn1bncn则qSn b1c2bn1cnbncn1所以有(1 q)Sn b1c1(c2 c3cn)d bncn16通项分解法：an bn cn7等差与等比的互变关系：an成等差数列ba(b0,b1)成等比数列nan成等差数列cand(c 0)成等差数列an成等比数列log
19、ban成等差数列an0an成等比数列ank成等比数列 8等比、等差数列和的形式：an成等差数列 an An B Sn An2 Bnan(q 1)成等比数列 Sn A(qn1)(A 0)9无穷递缩等比数列的所有项和：Snan(|q|0时,a与a同向;0时,a与a异向;=0 时,a=0ab a ba b是一个数abx1x2y1y2a b b a(a)ba(b)(ab)a 0或b0时,ab=0a 0且b 0时,ab|a|b|cosa,b(ab)c ac b ca2|a|2,|a|x2y2|a b|a|b|29平面向量的数量积知识点归纳平面向量的数量积知识点归纳1两个向量的数量积：b=a已知两个非零向
20、量a与b，它们的夹角为，则abcos叫做a与b的数量积（或内积）规定0a 02向量的投影：bcos=abR，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射|a|影b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积3数量积的几何意义：a4向量的模与平方的关系：aa a|a|225乘法公式成立：a b a 2ab b22a b a b a2b2 a b；222 a2ab b226平面向量数量积的运算律：交换律成立：ab b a R分配律成立：a bc ac b c ca b特别注意：（1）结合律不成立：ab cabc；对实数的结合律成立：ab ab ab（2）消去律不成立ab ac不能得到b c（3）ab=0
21、不能得到a=0或b=07两个向量的数量积的坐标运算：b=x1x2 y1y2已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a8 向 量的夹角：已知两个非零向 量a与b，作OA=a,OB=b,则AOB=（0 180）叫做向量a与b的夹角0030cos=cos a,b aba b=x1x2 y1y2x1 y1x2 y22222当且仅当两个非零向量a与b同方向时，=00，当且仅当a与b反方向时=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b的夹角为 90 则称a与b垂直，记作ab010两个非零向量垂直的充要条件：ababOx1x2 y1y2 0平面向量数量积的性质线段的定
22、比分点与平移知识点归纳线段的定比分点与平移知识点归纳1线段的定比分点定义：设 P1,P2是直线 L 上的两点，点 P 是 L 上不同于 P1,P2的任意一点，则存在一个实数，使PP1PP2，叫做点 P 分有向线段PP12所成的比当点 P 在线段PP12上时，0；当点 P 在线段PP12或PP12的延长线上时，0标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正判断或比较根的大小绝对值不等式知识点归纳绝对值不等式知识点归纳1解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方2注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题|a|b|a+b|a|+|b|;|a|
23、b|ab|a|+|b|;并指出等号条件3(1)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或 f(x)g(x)（无论 g(x)是否为正）（3）含绝对值的不等式性质（双向不等式）a b a b a b左边在ab 0(0)时取得等号，右边在ab 0(0)时取得等号第七章直线和圆的方程第七章直线和圆的方程直线方程知识点归纳直线方程知识点归纳1数轴上两点间距离公式：AB xB xA2直角坐标平面内的两点间距离公式：P1P2(x1 x2)2(y1 y2)23直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为
24、，那么就叫做直线的倾斜角37当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0可见，直线倾斜角的取值范围是01804直线的斜率：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即 k=tan（90）倾斜角是 90的直线没有斜率；倾斜角不是90的直线都有斜率，其取值范围是（，+）5直线的方向向量：设 F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量F1F2=（x2x1，y2y1）称为直线的方向向量向量y y11F1F2=（1，2）=（1，k）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率x2 x1x2 x1特别地，垂直于x轴的直线的一个方向向量为a(0,1)6
25、求直线斜率的方法定义法：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率 k=tan公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且 x1x2，则斜率 k=y2 y1x2 x1方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=nm平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率对于直线上任意两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当 x1=x2时，直线斜率 k 不存在，倾斜角=90；当 x1x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k0 时，=arctank；k0 时，=+arctank7直线方程的五种形式点斜式：y y0 k(x x0)，斜截式：y kx b两点
26、式：y y1x x1xy，截距式：1y2 y1x2 x1ab一般式：Ax By C 0两直线的位置关系知识点归纳两直线的位置关系知识点归纳1 1特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：38(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90，另一条直线的倾斜角为 0，两直线互相垂直2斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1/l2k1=k2且b1 b2已知直线l1、l2的方程为l1：A1x B1y C1 0
27、，l2：A2x B2y C2 0(A1B1C1 0,A2B2C2 0)l1l2的充要条件是A1B1C1A2B2C2两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是k1k2 1已知直线l1和l2的一般式方程为l1：A1x B1y C1 0，l2：A2x B2y C2 0，则l1l2A1A2 B1B2 03直线l1到l2的角的定义及公式：直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角l1到l2的角：0 180 ，如 果1 k1k2 0,即k1k2 1,则k2 k11 k2k12.如 果1 k1k2 0，tan4直线l1与l2的夹角定义及公式:
28、l1到l2的角是1,l2到l1的角是-1,当l1与l2相交但不垂直时,1和-1仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角当直线l1l2时,直线l1与l2的夹角是夹角：0902如果1 k1k2 0,即k1k2 1,则2.如果1 k1k2 0，tank2 k11 k2k1395两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：A1x B1y C1 0是否有惟一解A x B y C 02226点到直线距离公式：点P(x0,y0)到直线l:Ax By C 0的距离为：d Ax0 By0CA B227两平行线间的距离公式已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：
29、Ax By C1 0，l2：Ax By C2 0，则l1与l2的距离为d C1C2A2 B28 直线系方程:若两条直线l1：A1x B1y C1 0，l2：A2x B2y C2 0有交点，则过l1与l2交 点 的 直 线 系 方 程 为(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0或(A2x B2y C2)+(A1x B1y C1)0(为常数)简单的线性规划及实际应用知识点归纳简单的线性规划及实际应用知识点归纳1二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点 P（x0，y0）B0 时，Ax0+By0+C0，则点P（x0，y0）在直线的上方；Ax0
30、+By0+C0，则点P（x0，y0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式Ax+By+C0（或0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数当 B0 时，Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域；Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域2线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多40问题都可以归结为线性规划问题线性规划问题一般用图解法，其步骤如下
31、：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数 z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案曲线和方程知识点归纳曲线和方程知识点归纳1平面解析几何研究的主要问题：根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质2“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点
32、的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线3定义的理解：设 P=具有某种性质(或适合某种条件)的点，Q=(x，y)|f(x，y)=0，若设点 M 的坐标为(x，y)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：00(1)MP (x0，y0)Q，即P Q；(2)(x0，y0)Q MP，即Q P以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：(1)(x0，y0)Q M P；(2)M P (x0，y0)Q显然，当且仅当P Q且Q P，即P=Q时，才能称方程f(x，y)=0为曲线 C 的方程；曲线 C 为
33、方程 f(x，y)=0 的曲线(图形)41在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法4求简单的曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件 P 的点 M 的集合；（3）用坐标表示条件 P（M），列出方程f(x,y)0;（4）化方程f(x,y)0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解
34、为坐标的点都是曲线上的点上述方法简称“五步法”，在步骤中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程5由方程画曲线(图形)的步骤：讨论曲线的对称性(关于 x 轴、y 轴和原点)；求截距：f(x，y)0方程组的解是曲线与x轴交点的坐标；y 0f(x，y)0方程组的解是曲线与y轴交点的坐标；x 0讨论曲线的范围；列表、描点、画线6交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组7曲线系方程：过两曲线 f(x，y)=0 和 f(x，y)=0 的交点的曲线系方程是 f(x，y)121f(x，y)=0(R)2求轨迹有直
35、接法、定义法和参数法，最常使用的就是参数法一个点的运动是受某些因素影响的 所以求轨迹问题时，我们经常要分析作图过程，顺藤摸瓜，从中找出影响动点的因素 最后确定一个或几个因素作为基本量，找出它们和动点坐标的关系，列出方程这就是参数法42圆的方程知识点归纳圆的方程知识点归纳1圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆2圆的标准方程圆心为（a，b），半径为 r 的圆的标准方程为(x a)(y b)r222方程中有三个参量 a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆3圆的一般方程二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）配方得D2E2D2 E2 4F（x+）+（y+）=422把方程x
36、y Dx Ey F 0(D E 4F 0)2222其中，半径是r D2 E2 4FE D叫做圆的一般方程，圆心坐标是，222（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2项系数相等且不为零 没有 xy 项（2）当 D2+E24F=0 时，方程（*）表示点（DE，）；22当 D2+E24F0 时，方程（*）不表示任何图形（3）根据条件列出关于D、E、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程4圆的参数方程圆心在 O（0，0），半径为 r 的圆的参数方程是：x rcosy rsin(是参数)圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程是：x a rcos(是参数)y b rsin在中消去得 x
37、2+y2=r2，在中消去得（xa）2+（yb）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程5二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件若二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆，则有A=C0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分43在 A=C0，B=0 时，二元二次方程化为 x2+y2+仅当 D2+E24AF0 时表示圆DEFx+y+=0，AAA故 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是：A=C0，B=0，D2+E24AF06 线段 AB 为直径的圆的方程：若A(x1,y1)，B(x2
38、,y2)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)07经过两个圆交点的圆系方程：经过x y D1x E1y F1 0，22x2 y2 D2x E2y F2 0的交点的圆系方程是：x2 y2 D1x E1y F1(x2 y2 D2x E2y F2)0在过两圆公共点的图象方程中，若=1，可得两圆公共弦所在的直线方程 8经 过 直 线 与 圆 交 点 的 圆 系 方 程：经 过 直 线l：Ax By C 0与 圆x2 y2 Dx Ey F 0的交点的圆系方程是：x2 y2 Dx Ey F(Ax By C)09确定圆需三个独立的条件（1）标准方程：(x a)(
39、y b)r，(a,b)圆心，r 半径222（2）一般方程：x y Dx Ey F 0，（D E 4F 0)2222DE(,)圆心,r 22对称问题知识点归纳对称问题知识点归纳D2 E2 4F21点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题设 P（x0，y0），对称中心为 A（a，b），则 P 关于 A 的对称点为 P（2ax0，2by0）2点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：44设点 P（x0，y0）关于直线 y=kx+
40、b 的对称点为 P（x，y），则有y y0k 1x x0，可求出x、yy y0 kx0 xb22特殊地，点 P（x0，y0）关于直线 x=a 的对称点为 P（2ax0，y0）；点 P（x0，y0）关于直线 y=b 的对称点为 P（x0，2by0）3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）一般结论如下：（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2ax，2by）=0（2）曲线 f（x，y）=0 关于直线 y=kx+b 的对称曲线的求法：设曲线 f（x，y）=0 上任意一点为 P（x0，y0），
41、P 点关于直线 y=kx+b 的对称点为 P（y，x），则由（2）知，P 与 P的坐标满足y y0k 1 x x0从中解出 x0、y0，y y0 kx0 xb22代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0利用坐标代换法就可求出曲线 f（x，y）=0关于直线y=kx+b 的对称曲线方程4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x，y）关于 x 轴的对称点为（x，y）；（2）点（x，y）关于 y 轴的对称点为（x，y）；（3）点（x，y）关于原点的对称点为（x，y）；（4）点（x，y）关于直线 xy=0 的对称点为（y，x）；（5）点（x，y）关于直线 x+y=0 的对称
42、点为（y，x）直线与圆、圆与圆的位置关系知识点归纳直线与圆、圆与圆的位置关系知识点归纳1研究圆与直线的位置关系最常用的方法：判别式法；考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。直 线Ax By C 0与 圆(x a)(y b)r的 位 置 关 系 有 三 种，若222d Aa BbCA B22，则d r 相离 0;45d r 相切 0;d r 相交 02两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，O1O2 dd r1 r2 外离 4条公切线d r1 r2 外切 3条公切线r1r2 d r1r2 相交 2条公切线d r1r2内切 1条公切线0 d r1r2内含 无公切
43、线O1O2OOO1O2O1O2O1O2内含0r1-r2内切相交r1+r2外切相离d3直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程 求圆的切线方程主要可分为已知斜率 k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况222过圆上一点的切线方程：圆x y r 的以P(x0,y0)为切点的切线方程是x0 x y0y r2。2当点P(x0,y0)在圆外时，x0 x y0y r表示切点弦的方程。22一般地，曲线Ax Cy Dx Ey F 0的以点P(x0，y0)为切点的切线方程是：Ax0 x Cy0y Dx x0y y0 E F 0。22当点P(x0,y0)在圆外时，Ax
44、0 xCy0yDx x0y y0EF 0表示切点弦的方2246程。这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。过圆外一点的切线方程：4直线和圆相交：这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题5经过两个圆交点的圆系方程：经过x y D1x E1y F1 0，22x2 y2 D2x E2y F2 0的交点的圆系方程是：x2 y2 D1x E1y F1(x2 y2 D2x E2y F2)0。在过两圆公共点的图象方程中，若=1，可得两圆公共弦所在的直线方程6经 过 直 线 与 圆 交 点 的 圆 系 方 程：经 过 直 线l：Ax By C 0与 圆x2 y2 Dx
45、Ey F 0的交点的圆系方程是：x2 y2 Dx Ey F(Ax By C)07几何法:比较圆心到直线的距离与圆半径的大小8代数法:讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数第八章圆锥曲线第八章圆锥曲线椭圆知识点归纳椭圆知识点归纳1.定义：平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即PF1 PF2 2a F1F2)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0e0 时开口向右焦点准线定义特征到焦点(k/4,0)的距离等于y2=kxk0 时开口向上x2=kyk0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是增
46、函数；若f（x）0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f（x）f(x1)（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4判别 f(x0)是极大、极小值的方法:若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值5 求函数 f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)
47、(2)求方程 f(x)=0 的根(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则 f(x)在这个根处无极值6函数的最大值和最小值:在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7 利用导数求函数的最值步骤:求f(x)在(a,b)内的极值；将f(x)的各极值与79f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值80