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1、高中数学必修高中数学必修 2 2 知识点总结知识点总结第一章第一章空间几何体空间几何体1.11.1 柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征（1 1）棱柱：定义）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE A B C D E或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2 2）棱锥）棱
2、锥定义定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示表示：用各顶点字母，如五棱锥P A B C D E几何特征几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3 3）棱台：定义）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示表示：用各顶点字母，如五棱台P A B C D E几何特征几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于
3、原棱锥的顶点（4 4）圆柱：定义）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5 5）圆锥：定义）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6 6）圆台：定义：）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7 7）球体：定义：）球体：定义：以半圆
4、的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.21.2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图(1)(1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。(2)画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第1页人教版
5、高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第1页（3）直观图：斜二测画法（4）斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。（5）用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.31.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积（1 1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2 2）特殊几何体表面积公式（）特殊几何体表面积公式（c c 为底面周长，为底面周长，h h 为高，为高，h为斜高，为斜高，l
6、l 为母线）为母线）S直棱柱侧面积 chS圆柱侧 2rhS正棱锥侧面积1chS圆锥侧面积rl2S正棱台侧面积1(c1c2)hS圆台侧面积(r R)l2 2rr lS圆锥表rr lS圆台表r2 rl Rl R2S圆柱表（3 3）柱体、锥体、台体的体积公式）柱体、锥体、台体的体积公式V柱 ShV圆柱 Sh r2hV锥1ShV圆锥1r2h3311122V台(SSS S)hV圆台(S S S S)h(r rR R)h3332（4 4）球体的表面积和体积公式：）球体的表面积和体积公式：V球=4R3；S球面=4R3第二章第二章 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系2.12.1 空间点、直线、平面之间的
7、位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系（1 1）平面）平面 平面的概念：平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；平面的表示：平面的表示：通常用希腊字母、表示，如平面（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。DABC 点与平面的关系：点与平面的关系：点 A 在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A点与直线的关系：点与直线的关系：点 A 的直线 l 上，记作：Al；点 A 在直线 l 外，记作 Al；直线与平面的关系直线与平面的关系：直线 l 在平面内，记作 l；直线 l 不在平面内，记作l。（2 2）公理）公理 1 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么
8、这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理用符号语言表示公理 1 1：Al,Bl,A,Bl（3 3）公理）公理 2 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第2页人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第2页推论：推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理公理 2 2 及其推论作用：及其推论作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据（4 4）公理）公理 3 3：如果
9、两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：符号：平面和相交，交线是a，记作a。符号语言：符号语言：PAB AB l,Pl公理公理 3 3 的作用：的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。2.1.22.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线
10、的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线abcb强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为简便，点 O 一般取在两直线中的一条上；两条异面直线所成的角(0，)；=ac 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab；2 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所
11、成的角。2.1.32.1.3 2.1.42.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a来表示a a=A a2 2.2.2.直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质2.2.12.2.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线
12、面平行。人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第3页人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第3页符号表示：ab =aab2.2.22.2.2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：abab=Pab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.32.2.3 2.2.42.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与
13、此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：=a ab=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面互相垂直，记作L，直线L 叫做平面的垂线，平面叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。L p2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都
14、垂直，则该直线与此平面垂直。一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第4页人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第4页注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.22.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 lB2、二面角的记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。一
15、个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.32.3.3 2.3.42.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理 3、公理 4）空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第三章第三章直线与方程直线与方程3.13.1 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率3.13.1 倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与 x 轴相交时,取
16、 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定=0.2、倾斜角的取值范围：0180.当直线 l 与 x 轴垂直时,=90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k=tan当直线 l 与 x 轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时,=90,k 不存在.人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第5页人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第5页由此可知,一条直线 l 的倾斜角一定存在,
17、但是斜率 k 不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率：斜率公式斜率公式:k=y2-y1/x2-x1:k=y2-y1/x2-x13.1.23.1.2 两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意:上面的等价是前提，结论并不成PP12x2 x2y2 y122在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个立即如果 k1=k2,那么一定有 L1L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的
18、斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.13.2.1直线的点斜式方程直线的点斜式方程(x0,y0)，且斜率为k1、直线的点斜式点斜式方程：直线l经过点P02、直线的斜截式斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y y0 k(x x0)y轴的交点为(0,b)y kx b x2,y1 y2)y-y1/y-y2=x-x1/x-x2y-y1/y-y2=x-x1/x-x23.2.23.2.2直线的两点式方程直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x12、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为 A(a,0)，与y轴的交
19、点为 B(0,b)，其中a 0,b 0Ax By C 0（A，B 不同时为 0）3.2.33.2.3直线的一般式方程直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程2、各种直线方程之间的互化。3.33.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式3.3.13.3.1 两直线的交点坐标两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解：解方程组所以 L1 与 L2 的交点坐标为3x4y2 0得 x=-2，y=22x2y2 0M（-2，2）3.3.23.3.23.3.33.3.3两点间距离两点间距离点到直线的距离公式点到直线的距离公式
20、两点间的距离公式1点到直线距离公式：点P(x0,y0)到直线l:Ax By C 0的距离为：d Ax0 By0CA B222 2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax By C1 0，人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第6页人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第6页l2：Ax By C20，则l1与l2的距离为d C1C2A B22第四章第四章4.1.14.1.1 圆的标准方程圆的标准方程1、圆的标准方程：(xa)2圆与方程圆与方程(y b)2 r2圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程2、点M(x0,y
21、0)与圆(xa)（1）(x0（3）(x02(y b)2 r2的关系的判断方法：a)2(y0b)2r2，点在圆外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上a)2(y0b)2r2，点在圆内4.1.24.1.2圆的一般方程圆的一般方程1、圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 02、圆的一般方程的特点：(1)x2 和 y2 的系数相同，不等于 0没有 xy 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1
22、4.2.1 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线l：ax by c 0，圆C：x y Dx Ey F 0，圆的半径为r，圆心(离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当d r时，直线l与圆C相离；（2）当d r时，直线l与圆C相切；（3）当d r时，直线l与圆C相交；22DE,)到直线的距224.2.24.2.2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系两圆的位置关系设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当l r1 r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当l r1 r2时，圆C1与圆C2外切；（3）当|r1 r2|l
23、 r1 r2时，圆C1与圆C2相交；人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第7页人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第7页（4）当l|r1 r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l|r1 r2|时，圆C1与圆C2内含；4.2.34.2.3直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线l:Ax By C 0，圆C:x a2y b2 r2，圆心Ca,b到l的距离为d Aa Bb C，A2 B2则有d r l与C相离；d r l与C相切；d r l与C相交22（2）设直线l:Ax
24、By C 0，圆C:x ay b r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有 0 l与C相离；0 l与C相切；0 l与C相交2注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0 yy0 r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标，r 表示半径。1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论(3)(3)过圆上一点的切线方程：过圆上一点的切线方程：2圆
25、x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0 yy0 r(课本命题)圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)4.3.14.3.1 空间直角坐标系空间直角坐标系1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是 P、Q、R 在x、RMOPQMyy、z轴上的坐标2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M(x,y,z)，x叫做点 M 的横坐标，y叫做点 M 的纵坐标，z叫做点 M 的竖坐标。xz4.3.24.3.2 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式P1OM1N1xMP2P1P2(x1 x2)2(y1 y2)2(z1 z2)2M2HN2yN人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第8页人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学知识点总结-第8页