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1、高中课程复习专题高中课程复习专题 数学集合与函数专题一、集合相关概念1、集合中元素的特性 元素的确定性：组成集合的元素必须是确定的。元素的互异性：集合中不得有重复的元素。元素的无序性：集合中元素的排列不遵循某种顺序，是随意排列的。2、集合的表示方法 列举法：将集合中元素一一列出。描述法：将集合中元素的公共属性用语言描述出来。解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共属性。图示法：用韦恩图直观的画出集合中的元素。3、集中特殊数集的表示方法自然数集：N 正整数集：N+整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 空集：二、集合间的基本关系 子集与真子集1、自反性 任何一个集合都是它本身的子集：A?A。2、
2、如果 A?B 且 AB，则，A 是 B 的真子集。3、传递性：如果A?B，B?C，则 A?C。4、如果 A?B 且 B?A，则 A=B。5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。6、有 n 个元素的集合，有2n个子集，有2n-1 个真子集。三、集合间的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于集合A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为A 和 B 的交集（AB）。即 A B=x xA 且 xB 由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素组成的集合称为A 和 B 的并集（AB）。即 AB=x xA 或 xB 设 S是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中不属于 A 的元素组成的集合称
3、为 S中 A 的补集（CSA）。即 CSA=x xS且 xA 图示性质A A=AA=AB=B AAB?A AB?B AA=A A=AAB=B A A?AB B?AB CSA CSB=CS（AB）CSACSB=CS（AB）ACSA=S ACSA=高中课程复习专题四、函数的相关概念1、函数：设A、B 为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合 B 的一个函数，写作y=f(x)，xA，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合B=
4、f(x)xA 叫做函数的值域。2、函数定义域的解题思路：若 x 处于分母位置，则分母x 不能为 0。偶次方根的被开方数不小于0。对数式的真数必须大于0。指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。指数为 0 时，底数不得为0。如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x 值组成的集合。实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。3、相同函数 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。定义域一致，对应法则一致。4、函数值域的求法 观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。配方法
5、：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b 的形式。代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。5、函数图像的变换 平移变换：在x 轴上的变换在x 上就行加减，在y 轴上的变换在y 上进行加减。伸缩变换：在x 前加上系数。对称变换：高中阶段不作要求。6、映射：设A、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A 中的任意仪的元素x，在集合B 中都有唯一的确定的y 与之对应，那么就称对应f：AB为从集合 A 到集合 B 的映射。集合 A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的。集合 A 中的不同元素，在集合B 中对应的象可以是同一个。不要求集合B 中的每一个元
6、素在集合A 中都有原象。7、分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。各部分自变量和函数值的取值范围不同。分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。8、复合函数：如果（uM），u=g(x)（xA）,则，y=fg(x)=F(x)（xA），称为f、g的复合函数。高中课程复习专题五、函数的性质1、函数的局部性质单调性设函数 y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I 内的某个区间D 内的任意两个变量x1、x2，当 x1 x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么 y=f(x)在区间 D 上是增函数，D 是函数 y=f(x)的单调递增区间；当x1f(x2)，那么那么y=f(x)
7、在区间 D 上是减函数，D 是函数y=f(x)的单调递减区间。函数区间单调性的判断思路 在给出区间内任取x1、x2，则 x1、x2D，且 x10 时，顶点为最小值，a0 时的最大值或a1，nN+）负数没有偶次方根。0 的任何次方根都是0。当 n 为奇数时=a，当 n 是偶数时=a 分数指数幂=（a0，m、nN+，n1）负指数幂=（a0，m、nN+，n1）0 的正分数指数幂为0,0 的负指数幂没有意义。实数指数幂的运算性质ar?as=ar+s(a0，r、sR)(ar)s=ar?s(a0，r、sR)(ab)r=ar?br(a、b0，rR)2、对数的性质 对数：如果ax=N(a0，a 1)，那么，x
8、 叫做以 a 为底 N 的对数，记住：logaN=x，其中a 为底数，N 为真数。注意底数a的取值范围：a0 且 a1。常数对数：以10 为底的对数lgN；自然对数：以e=2.71828 为底的对数lnN。对数的运算性质：如果a0 且 a1，M0，N0 loga(M?N)=logaM+logaN loga=logaM logaN logaMn=nlogaM(NR)对数的换底公式logab=logcb/logca(a0 且 a1,c0 且 c1，b0)则=logab=1/logba 七、基本初等函数1、指数函数：函数y=ax(a0 且 a1)叫做指数函数高中课程复习专题a 的取值a1 0a1 时，最小值f(a)，最大值f(b)；0a0 且 a1)，都有 f(1)=a。2、对数函数：函数y=logax(a0 且 a 1)，叫做对数函数a 的取值a1 0a0 时，幂函数图像过原点，且在(0，+)区间为增函数，a越大，图像坡度越大。a0 时，幂函数在(0，+)区间为减函数。当 x 从右侧无限接近原点时，图像无限接近y 轴正半轴；当 y 无限接近正无穷时，图像无限接近x 轴正半轴。幂函数总图见下页。4、反函数：将原函数y=f(x)的 x 和 y 互换即得其反函数x=f-1(y)。反函数图像与原函数图像关于直线y=x 对称。高中课程复习专题幂函数总图