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1、第九节第九节 连续函数的运算法则连续函数的运算法则与初等函数的连续性与初等函数的连续性四则运算的连续性四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性小结小结 初等函数的连续性初等函数的连续性第一章第一章 函数与极限函数与极限1定理定理1 1如如,则则由于由于1、四则运算的连续性、四则运算的连续性 也在点也在点 x0连续连续;在其定义域内连续在其定义域内连续.连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性 在点在点 x0连续连续;在点在点 x0连续连续.如如,结论结论:反三角函数在其反三角函数在其定义域定义域内皆连续内皆连续定理定理2 2故故同理同理,2、反函
2、数与复合函数的连续性、反函数与复合函数的连续性单调增加单调增加且连续且连续,单调的连续函数单调的连续函数必有单调的连续反函数必有单调的连续反函数.连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性也是单调增加且连续也是单调增加且连续.单调减少且连续单调减少且连续.单调增加且连续单调增加且连续.单调减少且连续单调减少且连续.定理定理3 3 设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成,而函数而函数连续连续,则则连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性注意注意可交换次序可交换次序;2.变量代换变量代换的理论依据的理论依据.1.在定理的条件下在定理的
3、条件下,即：即：3.把把例例解解连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性Ex.定理定理4 4设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成,连续连续,而函数而函数连续连续,则复合而成则复合而成也连续也连续.连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性若函数若函数例如例如,是由连续函数链因此复合而成,例例.设均在上连续,证明函数也在上连续.证证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角函数及反三角函数三角函数及反三角函数(1)(2)(3)是连续的是连续的;3、初等函数的连续性、初等函数的连续性单调且连续单
4、调且连续;指数函数指数函数对数函数对数函数单调且连续单调且连续;(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)(4)幂函数幂函数连续连续;讨论讨论不同值不同值.在它们的定义域内在它们的定义域内基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间定义区间内内连续连续连续函数的运算与初
5、等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性例例例例解解解解初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法注注代入法代入法.连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性例例.求解解:原式例例.求解解:原式幂指函数幂指函数:形如形如 u(x)v(x)(u(x)0,u(x)1)的函数的函数若若则则注注:这里三个这里三个lim都表示在同一自变量变化都表示在同一自变量变化过程中的极限过程中的极限.例例例例例例例例.设解解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点 x=1 不连续,内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.求极限的又一种方法求极限的又一种方法.思考与练习思考与练习 作业作业P70 3 (5),(6),(7);4(4),(5),(6);61.讨论函数x=2 是第二类无穷间断点.间断点的类型.答案答案:x=1 是第一类可去间断点,