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1、7-1统计学统计学STATISTICS警惕过多地假设检验。你对数据越苛求，数据会越多地向你供认，但在威逼下得到的供词，在科学询查的法庭上是不容许的。Stephen 统计名言统计名言August 1,2010第第 7 章章 方差分析与实验设计方差分析与实验设计 方差分析的基本原理方差分析的基本原理7.2 单因子方差分析单因子方差分析7.3 双因子方差分析双因子方差分析7.4 实验设计初步实验设计初步August 1,20107-3统计学统计学STATISTICS不同运动队的平均成绩之间是否有显著差异？不同运动队的平均成绩之间是否有显著差异？不同运动队的平均成绩之间是否有显著差异？不同运动队的平均
2、成绩之间是否有显著差异？n n奥奥运运会会女女子子团团体体射射箭箭比比赛赛，每每个个对对有有3 3名名运运动动员员。进进入入最最后后决决赛赛的的运运动动队队需需要要进进行行4 4组组射射击击，每每个个队队员员进进行行两两次次射射击击。这这样样，每每个个组组共共射射出出6 6箭箭，4 4组共射出组共射出2424箭箭n n在在20082008年年8 8月月1010日日进进行行的的第第2929届届北北京京奥奥运运会会女女子子团团体体射射箭箭比比赛赛中中，获获得得前前3 3名名的的运运动动队队最最后后决决赛赛的的成成绩如下表所示绩如下表所示August 1,20107-4统计学统计学STATISTIC
3、S不同运动队的平均成绩之间是否有显著差异？不同运动队的平均成绩之间是否有显著差异？不同运动队的平均成绩之间是否有显著差异？不同运动队的平均成绩之间是否有显著差异？n n每每个个队队伍伍的的2424箭箭成成绩绩可可以以看看作作是是该该队队伍伍射射箭箭成成绩绩的的一一个个随随机机样样本本。获获得得金金牌牌、银银牌牌和和铜铜牌牌的的队队伍伍之之间间的的射射箭箭成成绩绩是否有显著差异呢？是否有显著差异呢？n n如如果果采采用用第第6 6章章介介绍绍的的假假设设检检验验方方法法，用用分分布布做做两两两两的的比比较较，则则需需要要做做次次比比较较。这这样样做做不不仅仅繁繁琐琐，而而且且每每次次检检验验犯犯
4、第第 类类错错误误的的概概率率都都是是，作作多多次次检检验验会会使使犯犯第第 类类错错误误的的概概率率相相应应地地增增加加，检检验验完完成成时时，犯犯第第 类类错错误误的的概概率率会会大大于于。同同时时，随随着着检检验验的的次次数数的的增增加加，偶偶然然因因素素导导致致差差别别的的可可能能性也会增加性也会增加n n采采用用方方差差分分析析方方法法很很容容易易解解决决这这样样的的问问题题，它它是是同同时时考考虑虑所所有有的的样样本本数数据据，一一次次检检验验即即可可判判断断多多个个总总体体的的均均值值是是否否相相同同，这这不不仅仅排排除除了了犯犯错错误误的的累累积积概概率率，也也提提高高了了检检
5、验验的的效效率率方方差差分分析析方方法法就就很很容容易易解解决决这这样样的的问问题题，它它是是同同时时考考虑虑所所有有的的样样本本数数据据，一一次次检检验验即即可可判判断断多多个个总总体体的的均均值值是是否否相相同同，这这不不仅排除了犯错误的累积概率，也提高了检验的效率仅排除了犯错误的累积概率，也提高了检验的效率 August 1,20107.1 方差分析的基本原理方差分析的基本原理 7.1.1 什么是方差分析？什么是方差分析？7.1.2 从误差分析入手从误差分析入手 7.1.3 在什么样的前提下分析？在什么样的前提下分析？第第 7 章章 方差分析与实验设计方差分析与实验设计August 1,
6、20107.1.1 什么是方差分析？什么是方差分析？7.1 方差分析的基本原理方差分析的基本原理August 1,20107-7统计学统计学STATISTICS什么是方差分析什么是方差分析(ANOVA)?(analysis of variance)1.1.方方差差分分析析的的基基本本原原理理是是在在2020世世纪纪2020年年代代由由英英国国统统计计学学家家Ronald Ronald 在在进进行行实实验验设设计计时时为为解解释释实实验验数数据据而而首首先引入的先引入的 2.2.检验多个总体均值是否相等检验多个总体均值是否相等 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等通过分析数据的误差判断各总体
7、均值是否相等3.3.研究分类型自变量对数值型因变量的影响研究分类型自变量对数值型因变量的影响 一个或多个分类型自变量一个或多个分类型自变量l l两个或多个两个或多个 (k(k 个个)处理水平或分类处理水平或分类 一个数值型因变量一个数值型因变量4.4.有单因子方差分析和双因子方差分析有单因子方差分析和双因子方差分析n n单因子方差分析：涉及一个分类的自变量单因子方差分析：涉及一个分类的自变量n n双因子方差分析：涉及两个分类的自变量双因子方差分析：涉及两个分类的自变量August 1,20107-8统计学统计学STATISTICS什么是方差分析什么是方差分析?(例题分析例题分析)【例例例例 】
8、确定超市的位置和竞争者的数量对销售额是否有确定超市的位置和竞争者的数量对销售额是否有显著影响，获得的年销售额数据显著影响，获得的年销售额数据(单位：万元单位：万元)如下表如下表因子因子因子因子水平或处理水平或处理水平或处理水平或处理样本数据样本数据样本数据样本数据August 1,20107-9统计学统计学STATISTICS什么是方差分析什么是方差分析?(例题分析例题分析)1.1.如如果果只只考考虑虑“超超市市位位置置”对对销销售售额额是是否否有有显显著著影影响响，实实际上也就是要判断不同位置超市的销售额均值是否相同际上也就是要判断不同位置超市的销售额均值是否相同n n若若它它们们的的均均值
9、值相相同同，意意味味着着“超超市市位位置置”对对销销售售额额没没有有显显著著影影响响；若若均均值值不不全全相相同同，则则意意味味着着“超超市市位位置置”对对销销售售额额有有显显著著影响影响n n“超超市市位位置置”就就是是分分类类自自变变量量，“销销售售额额”则则是是数数值值因因变变量量。“超超市市位位置置”是是要要检检验验的的对对象象，称称为为因因因因子子子子(factor)(factor)，商商业业区区、居居民民小小区区、写写字字楼楼是是因因子子的的3 3个个取取值值，称称为为水水水水平平平平(level)(level)或或处处处处理理理理(treatment)treatment)。每个因
10、子水平下得到的销售额为样本。每个因子水平下得到的销售额为样本观测值观测值观测值观测值2.2.方方差差分分析析要要解解决决的的问问题题就就是是判判断断超超市市的的位位置置对对销销售售额额是是否否有有显显著著影影响响。设设商商业业区区、居居民民小小区区和和写写字字楼楼3 3个个位位置置超超市的销售额均值是否相同市的销售额均值是否相同 August 1,20107.1.2 从误差分析入手从误差分析入手7.1 方差分析的基本原理方差分析的基本原理August 1,20107-11统计学统计学STATISTICS方差分析的基本原理方差分析的基本原理(误差分解误差分解)1.总误总误总误总误差差差差(tot
11、al error)(total error)反映全部观测数据的误差称反映全部观测数据的误差称所抽取的全部所抽取的全部3636家超市的销售额之间差异家超市的销售额之间差异 2.随机随机随机随机误误误误差差差差(random error)(random error)组内误差组内误差(within-group error)(within-group error)由于抽样的随机性造成的误差由于抽样的随机性造成的误差反映样本内部数据之间的随机误差反映样本内部数据之间的随机误差3.处处处处理理理理误误误误差差差差(treatment(treatment error)error)组组间间误误差差(betwe
12、en-group(between-group error)error)不同的处理影响所造成的误差不同的处理影响所造成的误差 反映样本之间数据的差异反映样本之间数据的差异 August 1,20107-12统计学统计学STATISTICS方差分析的基本原理方差分析的基本原理(误差分解误差分解)1.1.数据的误差用数据的误差用平方和平方和平方和平方和(sum of squaressum of squares)表示，记为表示，记为SSSS2.2.总总总总平方和平方和平方和平方和(sum of squares for total)sum of squares for total)记为记为SSTSSTn
13、 n反映全部数据总误差大小的平方和反映全部数据总误差大小的平方和n n抽取的全部抽取的全部3636家超市销售额之间的误差平方和家超市销售额之间的误差平方和3.3.组组组组内平方和内平方和内平方和内平方和(within-group sum of squares(within-group sum of squares)记为记为SSSS组内组内 反映组内误差大小的平方和反映组内误差大小的平方和 比如，每个位置超市销售额的误差平方和比如，每个位置超市销售额的误差平方和 只包含只包含随机误差随机误差随机误差随机误差4.4.组间平方和组间平方和组间平方和组间平方和(between-group sum of
14、 squares)(between-group sum of squares)记为记为SSSS组间组间 反映组间误差大小的平方和反映组间误差大小的平方和 比如，同位置超市销售额之间的误差平方和比如，同位置超市销售额之间的误差平方和 既包括既包括随机误差随机误差随机误差随机误差，也包括，也包括处理误差处理误差处理误差处理误差August 1,20107-13统计学统计学STATISTICS方差分析的基本原理方差分析的基本原理(误差分解误差分解)误差平方和的分解及其关系误差平方和的分解及其关系总误差总误差总平方和总平方和(SST)随机误差随机误差处理误差处理误差组内平方和组内平方和(SS组内组内)
15、组间平方和组间平方和(SS组间组间)=+August 1,20107-14统计学统计学STATISTICS方差分析的基本原理方差分析的基本原理(误差分析误差分析)1.误误差差的的大大小小用用均均方方(mean(mean square)square)来来表表示示，也也称称为为方差方差(variance)(variance)n n平方和除以相应的自由度平方和除以相应的自由度n n总总平平方方和和(SST)(SST)的的自自由由度度为为n-1n-1；组组内内平平方方和和(SS(SS组组内内)的自由度为的自由度为n-kn-k ；组间平方和；组间平方和(SS(SS组间组间)的自由度为的自由度为k-1k-
16、12.组组内内平平方方和和除除以以相相应应的的自自由由度度结结果果称称为为组组组组内内内内方方方方差差差差(within-group(within-group variance)variance)；组组间间平平方方和和除除以以相相应应的的 自自 由由 度度 结结 果果 称称 为为 组组组组 间间间间 方方方方 差差差差(between-group(between-group variance)variance)August 1,20107-15统计学统计学STATISTICS方差分析的基本原理方差分析的基本原理(误差分析误差分析)1.判断原假设是否成立，就是判断组间方差与组内方差是否有显著差异
17、2.若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就应该很接近，它们的比值就会接近13.若原假设不成立，组间均方会大于组内均方，它们之间的比值就会大于14.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，即自变量对因变量有影响August 1,20107.1.3 在什么样的前提下分析？在什么样的前提下分析？7.1 方差分析的基本原理方差分析的基本原理August 1,20107-17统计学统计学STATISTICS方差分析的基本假定方差分析的基本假定1.1.正正态态性性(normality)(normality)。每每个个总总体体都都应应服服从从正正态态分分布布，即即对对于于因因子子的的
18、每每一一个个水水平平，其其观观测测值值是是来来自自正正态态分分布布总总体体的的简简单随机样本单随机样本n n在例在例中，要求每个位置超市的销售额必须服从正态分布中，要求每个位置超市的销售额必须服从正态分布n n检检验验总总体体是是否否服服从从正正态态分分布布的的方方法法有有很很多多，包包括括对对样样本本数数据据作作直直方方图图、茎茎叶叶图图、箱箱线线图图、正正态态概概率率图图做做描描述述性性判判断断，也也可可以以进行非参数检验等进行非参数检验等 2.2.方方差差齐齐性性(homogeneity(homogeneity variance)variance)。各各个个总总体体的的方方差差必必须须相
19、同，对于分类变量的相同，对于分类变量的k k个水平，有个水平，有 1 12 2=2 22 2=k k2 2n n在例在例中，要求不同位置超市的销售额的方差都相同中，要求不同位置超市的销售额的方差都相同3.3.独独立立性性(independence)(independence)。每每个个样样本本数数据据是是来来自自因因子子各各水水平平的独立样本的独立样本(该假定不满足对结果影响较大该假定不满足对结果影响较大)n n在例在例中，中，3 3个样本数据是来自不同位置超市的个样本数据是来自不同位置超市的3 3个独立样本个独立样本August 1,20107-18统计学统计学STATISTICS方差分析中
20、基本假定方差分析中基本假定 如果原假设成立，即如果原假设成立，即H H0 0：1 1=2 2=3 3n n不同位置超市的平均销售额相等不同位置超市的平均销售额相等 n n意味着意味着每个样本都来自均值为每个样本都来自均值为、方差为、方差为 2 2的同一的同一正态总体正态总体 X X Xf(X)f(X)f(X)1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 August 1,20107-19统计学统计学STATISTICS方差分析中基本假定方差分析中基本假定若备择假设成立，即若备择假设成立，即H H1 1：i i(i i=1,2,3=1,2,3)不全相等不全相等n n至少有一个总
21、体的均值是不同的至少有一个总体的均值是不同的n n3 3个样本分别来自均值不同的个样本分别来自均值不同的3 3个正态总体个正态总体 X X Xf(X)f(X)f(X)1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 August 1,20107.2 单因子方差分析因子方差分析 7.2.1 检验步骤检验步骤 7.2.2 关系有多强？关系有多强？7.2.3 哪些均值之间有显著差异？哪些均值之间有显著差异？第第 7 章章 方差分析与实验设计方差分析与实验设计August 1,20107.2.1 检验步骤检验步骤7.2 单因子因子方差分析方差分析August 1,20107-22统计学统计学STATIS
22、TICS单因子方差分析单因子方差分析(one-way analysis of variance)1.只考虑一个分类型自变量影响的方差分析n n比比如如，在在例例中中，只只考考虑虑超超市市位位置置一一个个因因子子对对销销售售额额度度影影响响，或或者者只只考考虑虑竞竞争争者者数数量量对对销销售售额额的影响，都属于单因子方差分析的影响，都属于单因子方差分析2.分析步骤包括n n提出假设提出假设n n构造检验统计量构造检验统计量n n做出决策做出决策 August 1,20107-23统计学统计学STATISTICS提出假设提出假设1.一般提法H H0 0 ：1 1=2 2=k k 自变量对因变量没有
23、显著影响自变量对因变量没有显著影响 H H1 1：1 1 ，2 2 ，k k不不全相等全相等自变量对因变量有显著影响自变量对因变量有显著影响 2.注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等 August 1,20107-24统计学统计学STATISTICS构造检验的统计量构造检验的统计量F1.将将组组间间方方差差MSMS组组间间除除以以组组内内方方差差MSMS组组内内即即得得到到所所需要的检验统计量需要的检验统计量F F2.当当H H0 0为为真真时时，二二者者的的比比值值服服从从分分子子自自由由度度为为k k-1 1、分母自由度为分母自由度为 n n-k
24、 k 的的 F F 分布，即分布，即 组间平方和组间平方和组间平方和组间平方和组内平方和组内平方和组内平方和组内平方和August 1,20107-25统计学统计学STATISTICS做出决策做出决策 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较(或计算出统计量的P值)，做出决策若若P P FFF ，不不拒拒绝绝原原假假设设H H0 0 ，无无证证据据表表明明所所检验的因子对观察值有显著影响检验的因子对观察值有显著影响 August 1,20107-26统计学统计学STATISTICS作出决策作出决策(F分布与拒绝域分布与拒绝域)如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，如
25、果均值相等，如果均值相等，F F F=MS=MS=MS组间组间组间组间组间组间/MS/MS/MS组内组内组内组内组内组内1 1 1 F 分布分布F(k-1,n-k)0 0拒绝拒绝拒绝拒绝HH0 0不拒绝不拒绝不拒绝不拒绝H H H H0 0 0 0F FAugust 1,20107-27统计学统计学STATISTICS单因子方差分析单因子方差分析(例题分析例题分析)【例】【例】【例】【例】检验检验超市位超市位置对销置对销售额是售额是否有显否有显著影响著影响()()August 1,20107-28统计学统计学STATISTICS单因子方差分析单因子方差分析(例题分析例题分析)1.提出假设。设不
26、同位置超市销售额的均值分别为 1(商业区)、2(居民小区)和 3(写字楼)，提出的假设为H H0 0：1 1 2 2 3 3 H H1 1：1 1,2 2,3 3 不全相等不全相等不全相等不全相等2.检验方差分析的前提3.进行分析并做出决策August 1,20107-29统计学统计学STATISTICS单因子方差分析单因子方差分析(方差分析假定的判断方差分析假定的判断)箱线图分析好像不一样？好像不一样？August 1,20107-30统计学统计学STATISTICS单因子方差分析单因子方差分析(方差分析假定的判断方差分析假定的判断)概率图分析August 1,20107-31统计学统计学S
27、TATISTICS用用Excel进行方差分析进行方差分析第第第第1 1步：步：步：步：选择选择“工具工具工具工具 ”下拉菜单下拉菜单第第第第2 2步：步：步：步：选择【选择【数据分析数据分析数据分析数据分析】选项】选项第第第第3 3步：步：步：步：在分析工具中选择【在分析工具中选择【单因子方差分析单因子方差分析单因子方差分析单因子方差分析】，然后选择【然后选择【确定确定确定确定】第第第第4 4步：步：步：步：当对话框出现时当对话框出现时 在【在【输入区域输入区域输入区域输入区域 】方框内键入数据单元格区域】方框内键入数据单元格区域 在【在【】方框内键入方框内键入(可根据需要确定可根据需要确定)
28、在【在【输出选项输出选项输出选项输出选项 】中选择输出区域】中选择输出区域 用用Excel进行方差分析进行方差分析August 1,20107-32统计学统计学STATISTICS单因子方差分析单因子方差分析(例题分析例题分析)拒绝拒绝H0August 1,20107-33统计学统计学STATISTICS方差方差来源来源平方和平方和SSSS自由度自由度dfdf均方均方MSMSF F值值组间组间组内组内SSTRSSTRSSESSESSTSSTr-1r-1n nT T-r-rn nT T-1-1MSTRMSTRMSEMSEMSTTR/MSTTR/MSEMSE方差分析表单因子方差分析单因子方差分析A
29、ugust 1,20107.2.2 关系有多强？关系有多强？7.2 单因子因子方差分析方差分析August 1,20107-35统计学统计学STATISTICS关系强度的测量关系强度的测量 1.拒拒绝绝原原假假设设表表明明因因子子(自自变变量量)与与观观测测值值之之间间有有显显著关系著关系2.组组间间平平方方和和(SS(SS组组间间)度度量量了了自自变变量量(超超市市位位置置)对对因因变量变量(销售额销售额)的影响效应的影响效应当当组组间间平平方方和和比比组组内内平平方方和和(SSESSE)大大，而而且且大大到到一一定定程程度度时时，就就意意味味着着两两个个变变量量之之间间的的关关系系显显著著
30、，大大得得越越多多，表表明明它它们们之之间间的的关关系系就就越越强强。反反之之，就就意意味味着着两两个个变变量量之之间间的的关关系系不不显显著著，小小得得越越多多，表表明明它它们们之之间间的关系就越弱的关系就越弱August 1,20107-36统计学统计学STATISTICS关系强度的测量关系强度的测量 1.1.变变量量间间关关系系的的强强度度用用自自变变量量平平方方和和(SSSS组组间间)占占总总平平方和方和(SSTSST)的比例大小来反映的比例大小来反映2.2.自变量平方和占总平方和的比例记为自变量平方和占总平方和的比例记为R R2 2,即即3.3.其平方根其平方根R R可以用来测量两个
31、变量之间的关系强度可以用来测量两个变量之间的关系强度 例例题题分分析析：R2=44.74%，。表表明明超超市市位位置置(自自变变量量)对对销销售售额额(因因变变量量)的的影影响响效效应应占占总总效效应应的的44.74%。尽尽管管并并不不高高，但但超超市市位位置置对对销销售售额额的的影影响响都都已已经经达达到到了了统统计计上上显显著著的的程程度度。R表表明明超超市市位位置置与与销销售售额额之之间间已已达达到到中中等以上的相关等以上的相关August 1,20107.2.2 哪些均值之间有显著差异？哪些均值之间有显著差异？7.2 单因子因子方差分析方差分析August 1,20107-38统计学统
32、计学STATISTICS多重比较的意义多重比较的意义1.在拒绝原假设的条件下，通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异2.比较方法有多种，若Fisher提出的最最小小显显著著差异差异方法，简写为LSDAugust 1,20107-39统计学统计学STATISTICS多重比较的多重比较的LSD方法方法1.提出假设提出假设H H0 0:m mi i=m mj j(第第i i个总体的均值等于第个总体的均值等于第j j个总体的均值个总体的均值)H H1 1:m mi i m mj j (第第i i个个总总体体的的均均值值不不等等于于第第j j个个总总体体的的均均值值)2.计算检
33、计算检验的统计量验的统计量:3.计算计算LSDLSD4.决策：若决策：若 ，拒拒绝绝H H0 0August 1,20107-40统计学统计学STATISTICS多重比较的多重比较的LSD方法方法(例题分析例题分析)第第第第1 1步：步：步：步：提出假设提出假设检验检验1 1：检验检验2 2：检验检验3 3：第第第第2 2步：步：步：步：计算检验统计量计算检验统计量检验检验1 1：检验检验2 2：检验检验3 3：August 1,20107-41统计学统计学STATISTICS多重比较的多重比较的LSD方法方法(例题分析例题分析)第第第第3 3步：步：步：步：计算计算LSDLSD第第第第4 4
34、步：步：步：步：做出决策做出决策不拒绝不拒绝H H0 0，没有证据表明商业区和居，没有证据表明商业区和居民小区的超市销售额之间有显著差异民小区的超市销售额之间有显著差异 拒绝拒绝H H0 0，商业区和写字楼的超市销售，商业区和写字楼的超市销售额之间有显著差异额之间有显著差异 拒绝拒绝H H0 0，居民小区和写字楼的超市销，居民小区和写字楼的超市销售额之间有显著差异售额之间有显著差异 August 1,20107-42统计学统计学STATISTICS用用SPSS进行方差分析和多重比较进行方差分析和多重比较 在在用用SPSSSPSS中中进进行行方方差差分分析析时时，需需要要把把多多个个样样本本的的
35、观观测测值值作作为为一一个个变变量量输输入入(本本例例为为“投投诉诉次次数数”)”)，然然后后设设计计另另一一个个变变量量用用于于标标记记每每个个观观测测值值所所属属的的样样本本(本本例例为为“行行业业”，1 1表表示示零零售业，售业，2 2表示旅游业，表示旅游业，3 3表示航空公司，表示航空公司，4 4表示家电制造业表示家电制造业)第第第第1 1步步步步：选选择择【AnalyzeAnalyze】【Compare Compare MeansMeans】【One-Way-ANOVAOne-Way-ANOVA】进入主对话框】进入主对话框第第第第2 2步步步步：因因变变量量(投投诉诉次次数数)选选入
36、入【Dependent Dependent ListList】，将将自自变量变量(行业行业)选入【选入【Factor)Factor)】第第第第3 3步步步步 (需需需需要要要要多多多多重重重重比比比比较较较较时时时时)点点击击【Post-HocPost-Hoc】从从中中选选择择一一种种方方法法，如如LSDLSD；(需需需需要要要要均均均均值值值值图图图图时时时时)在在【OptionsOptions】下下选选中中【Means Means plotplot】，(需需需需要要要要相相相相关关关关统统统统计计计计量量量量时时时时)选选择择【DescriptiveDescriptive】，点击【】，点击
37、【ContinueContinue】回到主对话框。点击【】回到主对话框。点击【OKOK】用用用用SPSSSPSS进行方差分析进行方差分析进行方差分析进行方差分析August 1,20107-43统计学统计学STATISTICS用用SPSS进行方差分析和多重比较进行方差分析和多重比较方差齐性表检验方差齐性表检验方差分析表方差分析表August 1,20107-44统计学统计学STATISTICS用用SPSS进行方差分析和多重比较进行方差分析和多重比较多重比较多重比较August 1,20107-45统计学统计学STATISTICS用用SPSS进行方差分析和多重比较进行方差分析和多重比较带误差线带
38、误差线(Error Bar)(Error Bar)的均值图的均值图(Means Plots)(Means Plots)总体均值总体均值总体均值总体均值95%95%的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间August 1,20107.3 双因子方差分析双因子方差分析 7.3.1 不考虑交互作用不考虑交互作用 7.3.3 考虑交互作用考虑交互作用第第 7 章章 方差分析与实验设计方差分析与实验设计August 1,20107.3.1 不考虑交互作用不考虑交互作用7.3 双因子双因子方差分析方差分析August 1,20107-48统计学统计学STATISTICS双因子方差分析双因子方差分析(two
39、-way analysis of variance)1.1.分分析析两两个个因因子子(行行因因子子RowRow和和列列因因子子ColumnColumn)对对实实验验结果的影响结果的影响 2.2.如如果果两两个个因因子子对对实实验验结结果果的的影影响响是是相相互互独独立立的的，分分别别判判断断行行因因子子和和列列因因子子对对实实验验数数据据的的影影响响，这这时时的的双双因因子子方方差差分分析析称称为为无无无无交交交交互互互互作作作作用用用用的的的的双双双双因因因因子子子子方方方方差差差差分分分分析析析析或或无无无无 重重重重 复复复复 双双双双 因因因因 子子子子 方方方方 差差差差 分分分分
40、析析析析(Two-factor Two-factor without without replicationreplication)3.3.如如果果除除了了行行因因子子和和列列因因子子对对实实验验数数据据的的单单独独影影响响外外，两两个个因因子子的的搭搭配配还还会会对对结结果果产产生生一一种种新新的的影影响响，这这时时的的双双因因子子方方差差分分析析称称为为有有有有交交交交互互互互作作作作用用用用的的的的双双双双因因因因子子子子方方方方差差差差分分分分析析析析或或可可可可重重重重复复复复双双双双因因因因子子子子方方方方差差差差分分分分析析析析 (Two-factor Two-factor wi
41、th with replicationreplication)August 1,20107-49统计学统计学STATISTICS双因子方差分析的基本假定双因子方差分析的基本假定1.每个总体都服从正态分布对对于于因因子子的的每每一一个个水水平平，其其观观察察值值是是来来自自正正态分布总体的简单随机样本态分布总体的简单随机样本2.各个总体的方差必须相同对对于于各各组组观观察察数数据据，是是从从具具有有相相同同方方差差的的总总体中抽取的体中抽取的3.观察值是独立的August 1,20107-50统计学统计学STATISTICS双因子方差分析双因子方差分析 (例题分析例题分析)不同品牌的彩电在不同品
42、牌的彩电在不同品牌的彩电在不同品牌的彩电在5 5个地区的销售量数据个地区的销售量数据个地区的销售量数据个地区的销售量数据 品牌因子品牌因子品牌因子品牌因子地区因子地区因子地区因子地区因子地区地区地区地区1 1地区地区地区地区2 2地区地区地区地区3 3地区地区地区地区4 4地区地区地区地区5 5品牌品牌品牌品牌1 1品牌品牌品牌品牌2 2品牌品牌品牌品牌3 3品牌品牌品牌品牌4 4365365345345358358288 288 350350368368323323280 280 343343363363353353298 298 340340330330343343260 260 3233
43、23333333308308298 298【例例例例】有有4 4个个品品牌牌的的彩彩电电在在5 5个个地地区区销销售售，为为分分析析彩彩电电的的品品牌牌(品品牌牌因因子子)和和销销售售地地区区(地地区区因因子子)对对销销售售量量的的影影响响，对对每每显显著著个个品品牌牌在在各各地地区区的的销销售售量量取取得得以以下下数数据据。试试分分析析品品牌牌和和销销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？售地区对彩电的销售量是否有显著影响？()()August 1,20107-51统计学统计学STATISTICS分析步骤分析步骤(提出假设提出假设)提出假设n对对行因子提出的假设为行因子提出的假设为H H0 0
44、：m m1 1 =m m2 2 =m mi i =m mk k (m mi i为为第第i i个个水水平平的的均值均值)H H1 1：m mi i (i i=1,2,=1,2,k k)不全相等不全相等n对对列因子提出的假设为列因子提出的假设为H H0 0：m m1 1 =m m2 2 =m mj j =m mr r (m mj j为为第第j j个个水水平平的的均值均值)H H1 1：m mj j (j j=1,2,=1,2,r r)不全相等不全相等August 1,20107-52统计学统计学STATISTICS双因子方差分析双因子方差分析(例题分析例题分析)提出假设提出假设n n对品牌因子提出
45、的假设为对品牌因子提出的假设为H H0 0：1 1=2 2=3 3=4 4 (品品牌牌对对销销售售量量无无显显著著影影响响)H H1 1：i i (i i=1,2,4)=1,2,4)不全相等不全相等 (有显著影响有显著影响)n n对地区因子提出的假设为对地区因子提出的假设为H H0 0：1 1=2 2=3 3=4 4=5 5 (地地区区对对销销售售量量无无显显著著影影响响)H H1 1：j j (j j=1,2,5)=1,2,5)不全相等不全相等 (有显著影响有显著影响)August 1,20107-53统计学统计学STATISTICS分析步骤分析步骤(构造检验的统计量构造检验的统计量)计算平
46、方和(SS)n n总误差平方和总误差平方和n n行因子误差平方和行因子误差平方和 n n列因子误差平方和列因子误差平方和 n n随机误差项平方和随机误差项平方和August 1,20107-54统计学统计学STATISTICS分析步骤分析步骤(构造检验的统计量构造检验的统计量)总误差平方和(SST)、行因子平方和(SS行)、列因子平方和(SS列)、误差项平方和(SS残差)之间的关系SST=SS行行+SS列列+SS残差残差 August 1,20107-55统计学统计学STATISTICS分析步骤分析步骤(构造检验的统计量构造检验的统计量)计算均方(MS)误差平方和除以相应的自由度误差平方和除以
47、相应的自由度三个平方和的自由度分别是三个平方和的自由度分别是总误差平方和总误差平方和SSTSST的自由度为的自由度为 krkr-1-1行因子平方和行因子平方和SSRSSR的自由度为的自由度为 k k-1-1列因子平方和列因子平方和SSCSSC的自由度为的自由度为 r r-1-1误差项平方和误差项平方和SSESSE的自由度为的自由度为 (k k-1)(-1)(r r-1)-1)August 1,20107-56统计学统计学STATISTICS分析步骤分析步骤(构造检验的统计量构造检验的统计量)计算均方(MS)行因子的均方，记为行因子的均方，记为MSMS行行，计算公式为，计算公式为列因子的均方，记
48、为列因子的均方，记为MSMS列列，计算公式为，计算公式为误差项的均方，记为误差项的均方，记为MSMS残差残差 ，计算公式为计算公式为August 1,20107-57统计学统计学STATISTICS分析步骤分析步骤(构造检验的统计量构造检验的统计量)计算检验统计量(F)检验行因子的统计量检验行因子的统计量 检验列因子的统计量检验列因子的统计量August 1,20107-58统计学统计学STATISTICS分析步骤分析步骤(做出决策做出决策)计算出统计量的计算出统计量的P P值值与给定的显著性水平与给定的显著性水平 比较，比较，若若P PR R ，拒拒拒拒绝绝绝绝原原假假设设H H0 0 ，表
49、表明明均均值值之之间间的的差差异异是是显显著著的的，即即所所检检验验的的行行因因子子对对观观察察值值有有显显著著影响影响若若P PC C ，拒拒拒拒绝绝绝绝原原假假设设H H0 0 ，表表明明均均值值之之间间有有显显著差异，即所检验的列因子对观察值有显著影响著差异，即所检验的列因子对观察值有显著影响 用用用用ExcelExcel进行无重复双因子分析进行无重复双因子分析进行无重复双因子分析进行无重复双因子分析August 1,20107-59统计学统计学STATISTICS双因子方差分析双因子方差分析(关系强度的测量关系强度的测量)1.1.行行平平方方和和(SS(SS行行)度度量量了了品品牌牌这
50、这个个自自变变量量对对因因变变量量(销销售售量量)的影响效应的影响效应2.2.列列平平方方和和(SS(SS列列)度度量量了了地地区区这这个个自自变变量量对对因因变变量量(销销售售量量)的影响效应的影响效应3.3.这这两两个个平平方方和和加加在在一一起起则则度度量量了了两两个个自自变变量量对对因因变变量量的的联联合效应合效应4.4.联合效应与总平方和的比值定义为联合效应与总平方和的比值定义为R R2 25.5.其其平平方方根根R R反反映映了了这这两两个个自自变变量量合合起起来来与与因因变变量量之之间间的的关关系强度系强度 August 1,20107-60统计学统计学STATISTICS双因子