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1、第八节函数的连续性与间断点第八节函数的连续性与间断点二二 函数的间断点类型函数的间断点类型一一 函数的连续性函数的连续性三三 小结与思考判断题小结与思考判断题1.函数的增量一、函数的连续性例1证由定义由定义2知知定理定理定义3定义4例2解右连续但不左连续右连续但不左连续,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,例3证二、函数的间断点及其类型定义5间断点分为第一类间断点与第二类间断点间断点分为第一类间断点与第二类间断点.第一类间断点第一类间断点 如果如果 在间断点在间断
2、点 处左右极限处左右极限存在存在,则称点则称点 为为 的第一类间断点的第一类间断点.第二类间断点第二类间断点 如果如果 在间断点在间断点 处左右极限处左右极限中至少有一个不存在中至少有一个不存在,则称点则称点 为为 的第二类间断的第二类间断点点.特别地有特别地有:1.跳跃间断点例4解例5解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例5中中,特点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.例6解3.无穷间断点：无穷间断点：如果如果 在点在点 处左、右极限处左、右极限至少有一个为无穷大，则称点至少有一个
3、为无穷大，则称点 为函数为函数 的无的无穷间断点穷间断点.4 4、振振荡荡间间断断点点：如如果果在在点点处处无无极极限限且且函函数数值值在在某某两两个个最最值值间间变变动动无无限限多多次次，则则称称为为函函数数的的振振荡荡间间断断点点.例7在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:函数函数例8解例9 函数函数 在点在点 是否间断是否间断?属于那种类型属于那种类型?能否补充或改变函数在该能否补充或改变函数在该点定义使之连续点定义使之连续?解 函数函数 在点在点 没有定义没有定义,所以所以 是函数的间断点是函数
4、的间断点.对于对于 ,.因为因为 ,所以所以 是第一类间断点是第一类间断点.令令 ,即可使函数在即可使函数在 处连续处连续.对于对于 ,因为因为 ,所以所以 是第二类间是第二类间断点且为无穷间断点断点且为无穷间断点.1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)小结三、小结与思考判断题可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx判断思考题思考题解答且且但反之不成立但反之不成立.例例但但