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1、第三章第三章 傅里叶变换傅里叶变换本章提要本章提要傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号和非周期信号的频谱分析卷积和卷积定理卷积和卷积定理抽样信号的傅里叶变换和抽样定理抽样信号的傅里叶变换和抽样定理相关、能量谱和功率谱相关、能量谱和功率谱*1傅里叶生平傅里叶生平1768年生于法国年生于法国1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函数级数表示数级数表示”1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表1822年
2、首次发表在年首次发表在“热的分析理论热的分析理论”一书中一书中2傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为谐波关系的周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和正弦信号的加权和”傅里叶的傅里叶的第一个主要论点第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点33.1 变换域分析变换域分析频域分析：傅里叶变换，自变量频域分析：傅里叶变换，自变量为为 j 复频域分析：拉氏变换复频域分析：拉氏变换,自变量为自变量为 S=+j Z域分析：域分析：Z 变换，自变量为变换，自变量为z 4 3.
3、2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析周期信号可展开成正交函数线性组合的周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：无穷级数：.三角函数式的三角函数式的 傅立里叶级数傅立里叶级数 cosn 1t,sinn 1t.复指数函数式的傅里叶级数复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t 5一、三角函数的傅里叶级数一、三角函数的傅里叶级数:直流分量基波分量n=1 谐波分量n16直流系数余弦分量系数正弦分量系数7狄利赫利条件：狄利赫利条件：在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即在一个周期内函数绝对可
4、积，即 一般周期信号都满足这些条件一般周期信号都满足这些条件.8三角函数是正交函数9周期信号的另一种三角函数正交集表示10比较几种系数的关系11 周期函数的频谱：周期函数的频谱：周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移，Cn 12二、周期函数的复指数级数二、周期函数的复指数级数由前知由欧拉公式其中引入了负频率13周期复指数信号的频谱图 14指数形式的傅里叶级数的系数两种傅氏级数的系数间的关系15两种傅氏级数的系数间的关系16周期复指数信号的频谱图的特点l引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；l Cn 是实函数，Fn 一般是复函数，l 当 Fn
5、 是实函数时，可用Fn 的正 负表示0和相位，幅度谱和相 位谱合一；17三、周期信号的功率特性P为周期信号的平均功率符合帕斯瓦尔定理18四、对称信号的傅里叶级数三种对称：偶函数：f(t)=f(-t)奇函数：f(t)=-f(-t)奇谐函数：半周期对称任意周期函数有：偶函数项 奇函数项19周期偶函数只含直流和其中a是实数bn=0Fn是实数20例:周期三角函数是偶函数-T1/2Ef(t)T1/2t21周期奇函数只含正弦项Fn为虚数22例:周期锯齿波是奇函数E/2-E/2T1/2-T1/2f(t)t023奇谐函数：l沿时间轴移半个周期；l 反转；l 波形不变；l半周期对称24奇谐函数 的波形：f(t)
6、T1/2-T1/20t25奇谐函数的傅氏级数奇谐函数的偶次谐波的系数为026例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量27含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量28五、傅里叶有限级数如果完全逼近，则 n=;实际中，n=N,N是有限整数。如果 N愈接近 n，则 其均方误差愈小若用2N1项逼近，则29误差函数和均方误差误差函数均方误差30例如:对称方波,是偶函数且奇谐函数只有奇次谐波的余弦项。E/2-E/2T1/4-T1/4t31对称方波有限项的傅里叶级数N=1N=2N=3
7、32有限项的N越大，误差越小例如:N=1133由以上可见：N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真有吉伯斯现象发生34第三章作业（1）3-4，3-5，3-10353.3 典型周期信号的频谱周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波脉冲信号周期半波脉冲信号周期全波脉冲信号周期全波脉冲信号36一、一、周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱f(t)f(t)t t0 0E E-T-TT T3738x(t)x(t)F Fn nt t0 00
8、0E ET T-T-T39 频谱分析表明离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。周期越大，谱线越密。各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。正比，与周期成反比。各谱线的幅度按各谱线的幅度按 包络线变化。过包络线变化。过零点为：零点为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：40周期矩形的频谱变化规律：若T不变，在改变的情况若不变，在改变T时的情况T T41对称方波是周期矩形的特例T T1 1T T1 1/4/4-T T1 1/4/4实偶函数周期矩形周期矩形奇谐函数奇谐
9、函数对称方波对称方波奇次余弦奇次余弦42对称方波的频谱变化规律T TT/4T/4-T/4T/4奇次谐波奇次谐波0 0 0 00 043傅立叶级数傅立叶级数的系数T1 信号的周期脉宽基波频率1傅立叶级数小结傅立叶级数小结44第三章作业（2）3-8，3-9453.4 非周期信号的频谱分析当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号频率也变成连续变量46频谱演变的定性观察频谱演变的定性观察-T/2-T/2T/2T/2T/2T/2-T/2-T/247从周期信号从周期信号FS推导推导非周期的的FT傅立叶傅立叶变换变换48傅立叶的逆变换傅立叶的逆变换傅立叶傅立叶逆变换逆变换49FT (a
10、)F()是一个是一个密度函数密度函数的概念的概念 (b)F()是一个是一个连续谱连续谱 (c)F()包含了包含了从零到无限高从零到无限高 频的所有频率分量频的所有频率分量 (d)各频率分量的频率各频率分量的频率不成谐波不成谐波 关系关系50傅立叶变换一般为复数FT一般为复函数若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数51傅立叶变换存在的充分条件用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换523.4 3.4 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱单边指数信号双边指数信号矩形脉冲信号符号函数冲激函数信号冲激偶函数信号阶跃函数信号53单边指数信号单边
11、指数信号信号表达式幅频相频54 f(t)t00055双边指数信号双边指数信号 f(t)0t056矩形脉冲信号矩形脉冲信号57t058符号函数符号函数59 f1(t)10ta-a 0 tSgn(t)+1-1603.5 3.5 冲激函数傅立叶变换对冲激函数傅立叶变换对冲激函数傅立叶变换对冲激函数傅立叶变换对1t010t0061 冲激偶的傅立叶变换冲激偶的傅立叶变换623.6 3.6 阶跃信号的傅立叶变换阶跃信号的傅立叶变换 u(t)0t063 作业作业 3-15，3-16643.7 傅立叶变换的基本性质傅立叶变换的基本性质对称性和叠加性对称性和叠加性奇偶虚实性奇偶虚实性尺度变换特性尺度变换特性时移
12、特性和频移特性时移特性和频移特性微分和积分特性微分和积分特性卷积定理卷积定理Paseval定理定理65一、对称性一、对称性若已知则证明：661000067若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子68FT对称性 t 换成f 换成 换成69二、线性（叠加性）二、线性（叠加性）若则 70求：求：的傅立叶变换的傅立叶变换71三、三、奇偶虚实性奇偶虚实性无论f(t)是实函数还是复函数，下面两式均成立时域反摺频域也反摺时域共轭频域共轭并且反摺72一、一、f(t)是实函数是实函数 偶函数 奇函数实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数，而相位谱为奇函数73二、二、f(t)=jg
13、(t)是虚函数是虚函数虚函数的傅立叶变换的幅度谱仍为偶函数相位谱仍为奇函数 偶函数 奇函数74实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数 f(t)0t075实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数 f(t)076四、尺度变换特性若则77时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）f(t/2)压缩扩展78等效脉宽与等效频带宽度等效带宽等效带宽等效脉宽等效脉宽79求下列时域函数的频谱的带宽时移不影响带宽时域重复影响福频高度不影响频谱带宽80五、时移特性五、时移特性若 则证明：81带有尺度变换的时移特性带有尺度变换的时移特性若a 0,则有绝对值82例：求三脉冲信号的频谱单矩形脉冲 的频谱为有如下三脉冲信号其频谱为83
14、84六、频移特性若则证明同理85调幅信号的频谱（载波技术）求：求：的频谱？的频谱？86 载波频率 87频移特性88调幅信号都可看成乘积信号矩形调幅指数衰减振荡三角调幅求它们的频谱=？（略）89七、微分特性若则90 三角脉冲91三角脉冲 的频谱方法一：代入定义计算（如前面所述）方法二：利用二阶导数的FTFT92八、积分特性（一）若则93八、积分特性（二）若则94积分特性的证明令两边求导FT 微分特性FT 积分特性95斜平信号 的频谱看成高 ，宽 的矩形脉冲 的积分F(0)不为096FT0FTFT97用FT积分特性求阶跃的FT98第三章作业（3）3-22，3-28 993.8 时域 卷积定理若则1
15、00例：求三角脉冲的频谱三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积卷乘101卷乘1023.8 频域 卷积定理若则103例：求余弦脉冲的频谱相乘卷积104乘FTFT卷105 卷积利用卷积证明106求图中所示的三角调幅波信号的频谱三角波107108 作业题作业题3-33，3-34 109思考？（1）有多少种求单三角脉冲的傅立叶变换的方法？请论证。（2）使用傅立叶变换的基本性质求下列函数的傅立叶变换，并小结一下奇虚函数的傅立叶变换的特点，如为实偶函数的傅立叶变换又怎样？已知：求：1103.9 周期信号的傅立叶变换一般周期信号的傅立叶变换一般周期信号的傅立叶变换傅立叶级数傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶与其
16、单脉冲的傅立叶变换变换FT的关系的关系正余弦信号的傅立叶变换正余弦信号的傅立叶变换FT周期单位冲激序列的周期单位冲激序列的FS和和 FT周期矩形脉冲的周期矩形脉冲的FS和和FT周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系111一、一般周期信号的傅立叶变换由一些冲激组成离散频谱位于信号的谐频处大小不是有限值，而是无穷小频带内有无穷大的频谱值112周期信号的傅立叶变换存在条件周期信号的傅立叶变换存在条件 周期信号不满足绝对可积条件引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变换是一系列冲激113二、傅立叶
17、级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的关系114二、傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的关系由FS取f(t)的一个周期 ，其FT为所以115三、正余弦信号的傅立叶变换正余弦信号的傅立叶变换用频移特性用频移特性116117三、正余弦信号的傅立叶变换用极限方法有限长余弦 看成矩形 乘有限长余弦求极限，得到无限长余弦118119120四、周期单位冲激序列的FS121四、周期单位冲激序列的FT122FSFT123五、周期矩形脉冲的FS和FT周期重复124周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系125由单脉冲联想FS的FnFSFT126小结小结单脉冲和周期信号的傅单脉冲和周期信号的傅 立叶变换的比较立叶变换的比较单脉冲的频谱 是连续谱，它的大小是有限值；周期信号的谱 是离散谱，含谱密度概念，它的大小用冲激表示；是 的包络的 。127作业题作业题3-36，3-37128