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1、第5章线性系统的频域分析法 5-1 引言 用时域分析法分析系统的稳定性、稳态误差和动态特性最为直观和准确，但求解高阶系统的时域响应往往十分困难，而且有时很难写出高阶系统的数学模型。此外，由于高阶系统的结构和参数与系统的性能之间没有明确的函数关系，因此不易看出系统参数变化对系统性能的影响，当系统的性能不满足要求时很难提出改善系统性能的途径。控制系统的频域分析法是在频域内用图图解解法法分析系统性能的一种工程方法。与时域分析法不同，频域法以以正正弦弦信信号号作作为为输输入入来分析系统性能，其基本思想是：在通信学中各种音频信号和视频信号都可看成是不同正弦信号的合成，与此相同，我们也可把控制系统中的信号
2、看作是由许多不同频率的正弦信号合成的（傅立叶变换），系统对各信号的响应即是对这些不同频率正弦分量响应的和。频域法不必直接求解系统的时域响应，而是间接揭示系统的时域性能，能方便的显示出系统的参数对系统性能的影响，并可以进一步指明改进的方向。频率特性可以由微分方程或传递函数求得，也可由实验确定，这对于一些结构不明，微分方程难以确定的系统，具有重要的实用意义。5-2 频率特性 1、频率特性的基本概念 先看一例 取 正弦信号 当输出响应 呈稳态时，用实验测得其曲线如P170图5-2所示。这表明：稳态信号仍为正弦信号，其频率与 相同，幅值有一定衰减，相位存在一定延迟。以下从理论上计算 时的输出显然，RC
3、网络可用以下微分方程描述传递函数 的稳态分量其中，反映 、的幅值比 反映 、的相位差 即为系统的频率特性：为 的函数 NOTE：令 即 幅频特性 相频特性 定义：（1）频率响应：正弦输入信号下，系统输出的稳态分量。（2）系统的频率响应与正弦输入信号间的关系（复数比）称为频率特性，用 表示。幅值比 为幅频特性，相位差 为相频特性。频率特性也是系统数学模型的一种表示形式，且可以方便地由实验测得。2、频率特性的几何表示（1）幅相频率特性曲线（极坐标图）以横轴为实轴，纵轴为虚轴构成复平面；为频率 的复变函数，在某一频率 下可用一矢量来表示，其长度为 （即 ），与实轴正向的夹角为 （即 ）。当 从 变化
4、时，矢端的轨迹就表示频率特性。NOTE：由于幅频特性 为 的偶函数，相频特性 为 的奇函数，所以，从 与 从的幅相曲线关于实轴对称。因此，我们一般只绘制 从 的幅相曲线，并在曲线上用箭头表示增大时幅相曲线的变化方向。2、对数频率特性曲线（Bode图）对数幅频曲线 对数相频曲线 横坐标均为 ，单位为弧度/秒（rad/s）对数幅频曲线纵坐标为 ，单位为分贝（dB）；对数相频曲线纵坐标为 单位为度（）。半对数坐标实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大范围（或者说在你感兴趣的范围）反映频率特性变化的情况。NOTE：在绘制Bode图时，由于 ，的点在图中无法标出，横坐标表示的最低频率一般由我们感兴趣的频率
5、范围来确定，比如rad/s。（3）对数幅相曲线（尼科尔斯图）（略）5-3 开环系统的典型环节分解及开环频率特性曲线的绘制 1、典型环节 2、典型环节的极坐标图（幅相曲线）（3）一阶微分环节（4）振荡环节 （）（）令 得即谐振频率 当 ，即 时，存在，此时，谐振峰值 当 时，单调减。（5）积分环节（6）微分环节 3、系统开环幅相曲线（极坐标图）的绘制（1）绘制概略开环极坐标图的方法 1）低频段 的 、2）高频段 的 、3）中频段 由各环节时间常数决定 估算法：令 曲线与实轴的交点 令 曲线与虚轴的交点 4）在以上三步中都要注意曲线所在的象限及单调性。（2）举例 P183 例5-1例5-5 4、典
6、型环节的Bode图（对数曲线）（1）比例环节（2）惯性环节 （）低频段：时，高频段：时，两直线交点频率（转角频率）：（3）振荡环节 （）（）低频段：时，高频段：时，转角频率：中频：当 时，与 值有关。（4）积分环节（5）逆因子的Bode图 互逆因子 以一阶微分环节（）为例 时，时，转角频率：结论：互逆因子的Bode图，对数幅频特性关于 线对称，对数相频特性关于 线对称。5、系统开环对数频率特性曲线（Bode图）的绘制 控制系统的开环传函总是由若干典型环节构成的，在绘制其Bode图时，由于：划分为典型因子 写成幅值与相角的形式有：因此，这样，只要绘制各串联典型环节的对数频率特性曲线（Bode图）
7、，然后叠加起来就可得到整个系统的开环对数频率特性曲线（Bode图）。例1：例2：实际上，在熟悉了对数幅频特性的性质后，不必一一画出各环节的特性，然后相加，而可以采用更方便的方法，这就是：求出各典型环节的转角频率，然后从低频段开始绘制，随着 的增加，每遇到一个转角频率，对数幅频特性的斜率就改变一次：遇到 的转角频率，斜率改变 ；遇到 的转角频率，斜率改变 ；遇到 的转角频率，斜率改变 ；遇到 的转角频率，斜率改变 。开环对数幅频特性的特点：低频段的斜率为-20NdB/dec，N为开环系统中所包含的串联积分环节的数目；低频段（若存在小于1的交接频率，则为其延长线）在 处的对数幅值为 ；在典型环节的
8、转角频率处，对数幅频渐近特性的斜率要发生转变。综上所述，将绘制对数幅频特性的步骤归纳如下：（1）计算各典型环节的转角频率；（2）计算20lgK的分贝值；（3）过（1，20lgK）这点，绘制斜率为-20NdB/dec的直线，其中N为开环传函中串联积分环节的个数；（4）从低频段开始，随着 的增加，每遇到一个典型环节的转角频率，就改变一次斜率；（5）必要时可利用误差修正曲线，对转角频率附近的曲线进行修正，以求得更精确的特性。相频特性直接绘制 例：P188 5-4 频率域稳定判据（Nyquist稳定判据）Routh判据是根据系统特征方程根与系数的关系来判断系统的稳定性。本节将介绍另一种重要且实用的稳定
9、判据Nyquist稳定判据，它是根据系统的开环频率特性，来判断闭环系统的稳定性，并能确定系统的稳定裕量（相对稳定性）。N判据的数学基础是复变函数中的映射定理（幅角定理）。一、映射定理 考虑下面一个复变函数 复变量 复平面上F(s)用F(s)=U+jV表示 设对于s平面上除有限个奇点（n个极点）以外的任一点s，复变函数F(s)为解析函数，即单值、连续的正则函数，那么，对于s平面上的每一点（n个极点除外），函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。也就是说F(s)的值域也构成一个复平面，我们称之为F(s)平面。依照上式关系，s平面上的每个点，极点除外，将映射到F(s)平面上相应的一点。其中，s平面上的
10、全部零点都映射到F(s)平面的原点；s平面上的极点映射到F(s)平面上时都变成了无穷远点；除s平面上的零、极点之外的普通点，映射到F(s)平面上除原点以外的有限远点。因此，如果在s平面上画一条封闭曲线C，并使其不经过F(s)的任一零、极点，则在F(s)平面上必有一条相应的封闭映射曲线（单值、连续），如下图。我们感兴趣的不是映射曲线的形状，而是它包围坐标原点的次数和方向，因为这两者与系统的稳定性密切相关。分析：复变函数F（）的相角可表示为 频率特性的概念频率特性的概念设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不
11、断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1=1=2=4曲线如下曲线如下:40不不结论结论给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。AB相角问题相角问题 稳态输出稳态输出迟迟后于后于输入的角输入的角度为：度为：该角度与该角度与有有BA360o=AB该角度与初始该角度与初始关系关系 为为(),角度无关角度无关 ,频率特性频率特性设系统设系统稳定稳定，则正弦输入时输出为：，则正弦输入时输出为：C(s)=(s)R(s)=s2+2Ar(s-si)(s-zj)k*1nm1s-sia
12、i1n=+s+jB1s-jB2Cs(s)=ct(t)=aies tict()=0系统稳定，系统稳定，(j)Ar 2j(s-j)+=Ar(-j)-2j(s+j)(j)ejt (-j)e-jtAr 2j cs(t)=(s)(s+j)(s-j)Ars+jB1+s-jB2(j)=a()+j b()c()+j d()(-j)=c()-j d()a()-j b()(-j)(j)(-j)(j)Ar (j)ej(j)ejte-j(j)e-jt2jAr(j)sin(t+(j)频率特性频率特性对数坐标系对数坐标系积分环节积分环节L()G(s)=1s G(s)=10s1 G(s)=5s100.2210.1L()dB
13、0dB2040-40-2020100-20-20-20 G(s)=s G(s)=2s G(s)=0.1s100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100+20+20+20微分微分环节环节L()惯性环节惯性环节G(j)G(s)=0.5s+110.25 2+1A()=1()=-tg-10.5 j01ImG(j)ReG(j)00.51245820o o()A()01-45-63.4-68.2 -76 -84 G(s)=10.5s+1100 G(s)=s+5100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100惯性环节惯性环节L()-20-2026dB0o-30o-45o
14、-60o-90o G(s)=0.5s+10.3 G(s)=(0.25s+0.1)L()dB100.2210.10dB2040-40-2020100一阶微分一阶微分L()0o+30o+45o+60o+90o+20+20振荡环节振荡环节G(j)(01)(00.707)振荡环节振荡环节G(j)曲线曲线（Nyquist曲线曲线）0j1振荡环节振荡环节L()100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100-40二阶微分二阶微分j01幅相曲线幅相曲线对数幅频渐近曲线对数幅频渐近曲线0dBL()dB+40n0时有峰值：时有峰值：几点说明几点说明振荡环节振荡环节再再分析分析0dBL()dB2
15、0lgknr(0 0.707)-40 00.5=0.5 0.51 友情提醒友情提醒:(n)=-90o?2nn22nS2Sk(s)Gw w+xwxw+w w=r绘制绘制L()例题例题100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100-20-40绘制绘制的的L()曲线曲线低频段低频段：时为时为38db时为时为52db转折频率：转折频率：0.5 2 30斜率：斜率：-20 +20 -20-20-400-25ImG(j)ReG(j)例题例题1：绘制：绘制 的幅相曲线的幅相曲线。解：解：求交点：求交点：曲线如图所示：曲线如图所示：开环幅相曲线的绘制开环幅相曲线的绘制令令.064,056,
16、0)j(GRe222=+w w=w w+w w-=w w无实数解，与虚轴无交无实数解，与虚轴无交点点稳定裕度的定义稳定裕度的定义 若若z=p-2N中中p=0,则则G(j)过过(-1,j0)点时，点时，系统系统临界稳定，临界稳定，见下图：见下图：G(j)曲线过曲线过(-1,j0)点时，点时，G(j)=1同时成立！同时成立！特点：特点：G(j)=-180o0j1-1G(j)j01cxG(j)G(jx)G(jc)G(jc)=180oG(jx)h=1幅值裕度幅值裕度h=G(jx)1相角裕度相角裕度=180o+G(jc)稳定裕度的定义续稳定裕度的定义续1-10dB-180ocxcx G(jc)20lg180o=180+G(jc)相角裕度相角裕度:幅值裕度幅值裕度:hdB=20lg稳定裕度的定义续稳定裕度的定义续2