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1、青海大学化工学院第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法主讲：师玉宝主讲：师玉宝Email：shi-Tel：0971-5310424第五章 线性系统的频域分析法n频率特性的基本概念n频率特性的对数坐标图n频率特性的极坐标图n奈奎斯特稳定判据n稳定裕度n闭环系统的性能分析第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法本章主要内容本章主要内容第五章 线性系统的频域分析法5-1 5-1 引言引言为什么要对系统进行频域分析？为什么要对系统进行频域分析？l l时域分析法时域分析法：从微分方程或传递函数角度求解系统的：从微分方程或传递函数角度求解系统的时域响应（和性能指标）。不利于工
2、程研究之处：时域响应（和性能指标）。不利于工程研究之处：pp计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大；计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大；pp对于高阶系统十分不便，难以确定解析解；对于高阶系统十分不便，难以确定解析解；pp不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以确不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以确定主要因素；定主要因素；pp不能直观地表现出系统的主要特征。不能直观地表现出系统的主要特征。第五章 线性系统的频域分析法 5-2 频率特性频率特性 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并不是单看
3、某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率响应。频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又有效的工具。第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法1、频率特性的基本概念、频率特性的基本概念（1）定义 下面我们先看一组实验设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，A=1=0.5=1=2=2.5=4曲线如下曲线如下:结论：结论：给
4、给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。第五章 线性系统的频域分析法utAuoui设电容初始电压为零，输入正弦信号 当输出uO呈稳态时，其曲线如图。以RC滤波网络为例，如课本图5-1。uiuo第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法经拉氏变换，代入输入信号 后，得：再由拉氏反变换得：其中，稳态分量为：分别是输出稳态分量的幅值和相位的变化，称为幅值比和相位差，并且均为频率的函数。第五章 线性系统的频域分析法结论：结论：a、频率特性的定义：线性系统在正弦
5、输入信号作用下，稳态输出的幅值和相位对频率的关系特性（即稳态输出幅值和相位是输入信号频率的函数）。b、称为幅频特性，称为相频特性第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法从前面内容中归纳出求频率特性的方法：（1）由原始微分方程求得系统在正弦输入信号作用下的稳态解，即幅值比和相位差；（2）由传递函数，以s=j 代入求得；（3）由实验方法得到。到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程传递函数频率特性第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法a、若频率特性表示为复数(实部加虚部)的形式,则实部为实轴
6、坐标值,虚部为虚轴坐标值;b、若频率特性表示为复数指数形式,则为复平面上的向量，向量的长度为频率特性的幅值，向量与实轴的正方向的夹角等于频率特性的相位；注意：幅相频率特性曲线是从0至+与0至-曲线在实轴上的对称。第五章 线性系统的频域分析法（2）对数频率特性曲线 又称Bode图。由幅频特性曲线和相频特性曲线组成。幅频特性曲线横坐标按lg分度，标示刻度，单位为弧度/秒，纵坐标按L（）=20lg|G（j ）|线性分度，单位是分贝；相频特性曲线纵坐标按（）线性分度，单位为度，横坐标与幅频特性曲线相同。第五章 线性系统的频域分析法注意y纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数标尺刻度
7、，但标出的是实际的值，是不均匀的。这种坐标系称为半对数坐标系。y在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。y为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变量。第五章 线性系统的频域分析法使用对数坐标图的优点：可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。可以将乘法运算转化为加法运算。所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写
8、出它的频率特性表达式。第五章 线性系统的频域分析法（3）对数幅相曲线 又称尼科尔斯图。其横坐标为（），单位为度；纵坐标为L（），单位为分贝。后面内容中，主要针对幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线来介绍。第五章 线性系统的频域分析法5-3 开环系统典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制开环系统典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制1、典型环节典型环节 典型环节分为最小相位和非最小相位环节。最小相位环节最小相位环节：传递函数在S右半平面没有零极点的环节。非最小相位环节非最小相位环节：传递函数在S右半平面没有零极点的环节。（1）比例环节K（K0或K 0）（3）一阶微分环节Ts+1 或-Ts+1（T 0）
9、（4）振荡环节1/（s2/n 2+2s/n+1）（n 0，0 0，0 0，0 0，0 0），其幅频和相频特性及对数幅相特性分别为：第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法b、惯性环节：对于最小相位环节G（s）=1/（Ts+1）（T0），其幅频和相频特性及对数幅相特性分别为：第五章 线性系统的频域分析法 对于非最小相位环节G（s）=1/（-Ts+1）（T0），其幅频和相频特性及对数幅相特性分别为：奈氏曲线为：最小相位环节非最小相位环节j第五章 线性系统的频域分析法Bode曲线(注意：对于这类环节或系统通常采用渐近曲线描述)画法为：对于惯性环节，对数幅频特性为此，Bode曲线为：第
10、五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法C、一阶微分环节一阶微分环节的传递函数和幅相频率特性为幅频特性和相频特性为图 一阶微分环节幅相特性曲线ReIm0w0w=10.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+20-8db一阶微分L()第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法0ReG(j)ImG(j)1ABA:B:振荡环节G(j)0db20db40db-20db-40dbL()0.1110100-40振荡环节L()第五章 线性系统的频域分析法e、二阶微分环节二阶微分环节的传递函数和幅相频率特性为幅频特性和相频特性为0db20db4
11、0db-20db-40dbL()0.111010040二阶微分L()第五章 线性系统的频域分析法f、积分环节积分环节的传递函数和幅相频率特性为幅频特性和相频特性为 积分环节 幅相特性曲线ReIm00.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()-20积分环节L()第五章 线性系统的频域分析法g、微分环节微分环节的传递函数和幅相频率特性为幅频特性和相频特性为 微分环节幅相特性曲线ReIm00.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+20微分环节L()第五章 线性系统的频域分析法结论：最小相位环节和非最小相位环节，其幅频特性相同
12、，相频特性符号相反，幅相曲线关于实轴对称；对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于0O线对称。（此结论同样适用于振荡环节、一阶微分环节和二阶微分环节）(2)传递函数互为倒数的典型环节 仅考虑最小相位环节，互为倒数的环节有：积分环节和微分环节、惯性环节和一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节。结论：互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0db线对称，对数相频曲线关于0O线对称。第五章 线性系统的频域分析法3、开环幅相曲线绘制开环幅相曲线绘制(概略法概略法)开环幅相曲线绘制方法（了解两种方法）（1）由开环幅频特性和相频特性表达式，用计算法绘制。（2）由开环频率特性的实部和虚部表达式，用计算法绘制。以后我们将
13、会看到,在绘制奈氏图时有时并不需要绘制得十分准确,而只需要绘出奈氏图的大致形状和几个关键点的准确位置就可以了。因此,由以上典型环节奈氏图的绘制,大致可将奈氏图的一般作图方法归纳如下:(1)写出A()和()的表达式;(2)分别求出开环幅相曲线的起点和终点：=0和=+时的G(j);第五章 线性系统的频域分析法 (3)求奈氏图与实轴的交点,交点可利用G(j)的虚部ImG(j)=0 的关系式求出,也可利用G(j)=n180(其中n为整数)求出;(4)如果有必要,可求奈氏图与虚轴的交点,交点可利用G(j)的实部ReG(j)=0的关系式求出,也可利用G(j)=n90(其中n为正整数)求出;(5)开环幅相曲
14、线的变化范围;(6)勾画出大致曲线。这就是我们常说的三要素法。第五章 线性系统的频域分析法1）开环传递函数不包含积分环节和微分环节的）开环传递函数不包含积分环节和微分环节的开环幅相曲线开环幅相曲线例例 1 试绘制下列开环传递函数的奈氏图第五章 线性系统的频域分析法解解 该环节开环频率特性为=0,A()=10,()=0,即奈氏图的起点为(10,j0)；=+,A()=0,()=-180,即奈氏图的终点为(0,j0)。显然,从0变化到+,A()单调递减,而()则从0到-180但不超过-180。第五章 线性系统的频域分析法 奈氏图与实轴的交点可由()=0得到,即为(10,j0);奈氏图与虚轴的交点可由
15、()=270(即-90)得到,即 得1-0.12=0,2=10,则 第五章 线性系统的频域分析法故奈氏图与虚轴的交点为(0,-j2.87)。其奈氏图如图5-21所示。用MATLAB绘制的奈氏图如图所示。注意,一般手绘的奈氏图,其频率范围是0+,而MATLAB绘制奈氏图时,则是从-+。MATLAB绘制程序如下：nyquist(10,conv(1 1,0.1 1)第五章 线性系统的频域分析法图 1 例 1 的奈氏图 第五章 线性系统的频域分析法图 2MATLAB绘制例 1 的奈氏图 第五章 线性系统的频域分析法例2 某零型反馈控制系统，系统开环传递函数试概略绘制系统的开环幅相曲线。起点和终点：与虚
16、轴的交点：由于含有两个惯性环节，当由此可见：若包含 n 个惯性环节，则有与实轴的交点：=0又由此可见：若包含 n 个惯性环节，m个一阶微分环节，则有曲线变化如右图所示第五章 线性系统的频域分析法2）当开环传递函数包含有微分环节时的开环幅相曲线）当开环传递函数包含有微分环节时的开环幅相曲线例如在例2中增加一个微分环节时，即传递函数为：则有曲线变化如图所示，此时幅相曲线会出现凹凸，幅值和相位不再是单调变化的。第五章 线性系统的频域分析法3）开环传递函数含有积分环节时的开环幅相曲线）开环传递函数含有积分环节时的开环幅相曲线例3 设某单位反馈系统的开环传递函数为假设 ，试概略绘制开环幅相曲线，并进行分
17、析。第五章 线性系统的频域分析法起点与终点：幅相曲线的渐近线是横坐标为 ，平行于虚轴的直线第五章 线性系统的频域分析法令系统包含两个积分环节，例如第五章 线性系统的频域分析法起点与终点：当又包含一阶微分环节，这时的幅相曲线也可能出现凹凸，例如起点与终点：若T1大于其它时间常数，幅相曲线如图所示，与实轴、虚轴的交点可以用对应的实部、虚部表达式求出。第五章 线性系统的频域分析法归纳基本规律：设（1）当 系统开环幅相特性曲线系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节第五章 线性系统的频域分析法（2）当取m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线系统开环传递函数分子有一阶微分环节，其开环幅相特性曲线出现凹凸时
18、，时，第五章 线性系统的频域分析法（3）当含有积分环节时的开环幅相特性曲线开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。时，时，问问系统型别（积分数）不同时的曲线起点变化情况？第五章 线性系统的频域分析法0型3型2型1型系统型别（积分数）不同时的曲线第五章 线性系统的频域分析法4、开环对数频率特性曲线的绘制开环对数频率特性曲线的绘制设传递函数 由n个典型环节串联组成，n个典型环节分别以 表示，则有对数幅频曲线和对数相频曲线是由n个典型环节对应曲线的叠加后得到的。第五章 线性系统的频域分析法绘制对数幅频特性的步骤绘制对数幅频特性的步骤:(1)将开环频率特性分解,写成典型环节相乘的形式;
19、(2)求出各典型环节的交接频率（转折频率）,将其从小到大排列1、2、3、并标注在轴上;(3)绘制各典型环节对数幅频特性渐近曲线;(4)必要时可利用三点校正法进行相对精确曲线校正;(5)将各环节对数幅频曲线叠加绘制系统总对数幅频特性曲线。同理，同理，对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得,也可以利用相频特性函数()直接计算。例1 设单位反馈系统，其开环传递函数试绘制近似对数幅频曲线和对数相频曲线，并修正近似对数幅频曲线。解：典型环节分别为绘制典型环节Bode图的数据：对数幅频特性曲线分析：（1）低频段斜率为-20db/dec，斜率由积分个数所决定。（2），曲线的分贝值为20 lgK,左
20、端直线与零分贝线的交点频率为K值。（3）在惯性环节转折频率11.5(rad/sec)处，斜率从-20db/dec 变为-40db/dec。16.9dB第五章 线性系统的频域分析法一般近似对数幅频特性的特点（为积分环节的数目）（1）最左端直线斜率为 （2）的分贝值为20 lgK，即曲线平移20 lgK。（3）左端直线（或其延长线）与零分贝线的交点频率（4）在交接频率处，曲线斜率发生改变，改变的多少取决于典型环节的类型。例2 试绘制以下传递函数的对数幅频曲线第五章 线性系统的频域分析法解：（1）（2）绘制最左端的直线：斜率-20dB/dec 直线，在 过17.5(dB)这一点的直线。第五章 线性系
21、统的频域分析法或绘制过零分贝线 的这一点的斜率为-20dB/dec的直线。（3）根据各环节的交接频率绘制近似对数幅频特性。（4）修正近似的对数幅频特性。第五章 线性系统的频域分析法例题3：绘制 的对数曲线。解：对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1 5 10 斜率：-40 0 -40修正值：对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。环节角度：1101000db20db40db-20db-40dbL()5-90-180对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1 5 10 斜率：-40 0 -40修正值：-114.7-93.7-137.5第五章 线性系统的频域分析法例4、分解 并概略其对数
22、幅频渐近特性曲线。解:(1)分解环节:传递函数写成标准形式，分解为比例环节：10、惯性环节：1/（s+1）、惯性环节：1/(0.1s+1);(2)对应出分贝值或转折频率,惯性环节L2：1=1、惯性环节L3：2=10(3)画出三个环节相应的对数幅频特性渐近曲线；合成出总对数幅频特性渐近曲线.第五章 线性系统的频域分析法20L（dB）10.110-20dB/decL1L2L3-40dB/dec第五章 线性系统的频域分析法5、由实验频率特性曲线求系统开环传递函数（最小相位系统）、由实验频率特性曲线求系统开环传递函数（最小相位系统）(1)系统类型系统类型v和增益和增益k的确定的确定 主要由系统低频段特
23、性的形状和数值确定设系统为：当 各一阶环节因子趋于1，有一般v=0、1、2（实际系统存在的形式）第五章 线性系统的频域分析法当当v=0v=0时时，故其低频段渐近线为一条20lgk的水平线，k值由水平线确定；当当v=1v=1时时，其低频渐近线斜率为-20dB/dec，渐近线与0dB线（轴）交点处频率为第五章 线性系统的频域分析法(2)系统各环节估计系统各环节估计 在特性图上，从低频到高频，利用曲线的斜率变化来估计系统的组成环节。当当v=2时时，其低频渐近线斜率为-40dB/dec，渐近线与0dB线（轴）交点处频率为第五章 线性系统的频域分析法例：系统开环对数幅频渐近曲线如图，请写出开环传递函数。由低频段可以判断出系统为0型系统，则有20lgK=40，得K=100;由频率特性知第五章 线性系统的频域分析法