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1、二、函数连续性的概念二、函数连续性的概念对 y=f(x)，左图：在点 曲线“连着”右图：在点 曲线“断开”。第1页/共22页定义1在的某邻域内有定义,设函数则称函数 在点 连续，否则称为间断。说明:1.连续本质当自变量 x 的变化很小时,f(x)的变 化也很小.2.连续几何意义 曲线 yf(x)在 点连在一起。如果第2页/共22页机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)由上述等价定义可知,在点连续的条件为:存在(2)存在定义2（连续的等价定义）:如果 ，则称 在点 连续.连续(3)与相等。第3页/共22页例1.讨论函数。连续：都存在且相等都存在且相等或：在x=0处的连续性解f(0)=a,(1)
2、当f(x)在x=0处连续.(2)当f(x)在x=0处不连续.第4页/共22页例2求a、b 的值,使 在 x0 连续。连续：都存在且相等都存在且相等或：解依题意第5页/共22页 ，则称 在点 左连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f(x)在(a,b)内每一点都连续,则称 f(x)在该区间上连续，把(a,b)称为f(x)的连续区间.连续，在 xb 处左连续，则称 f(x)在闭区间定义3（左、右连续的定义）:如果 ，则称 在点 右连续显然：连续左连续且右连续定义4定义5若 f(x)在(a,b)内连续,且f(x)在 xa 处右 a,b 上连续。第6页/共22页例例3.证明函数证明函数在内连续.
3、(不记)证:即 ，所以在内连续。连续 第7页/共22页定理2.连续单调递增 函数的反函数三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则定理1.连续函数的有限次和,差,积,商(分母不为 0)仍是连续函数.(递减).递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 在上连续 单调 递增,其反函数在上也连续单调递增.例如：在其定义域内连续例如,第8页/共22页机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理3.连续函数的复合函数是连续的。例如,是由连续函数因此在上连续.复合而成,第9页/共22页定理4例4.求一切初等函数在其定义区间内都是连续的解原极限=例5.求解原式第10页/共22页机动 目录 上页
4、 下页 返回 结束 四、函数连续区间的求法1.1.对初等函数，连续区间就是定义区间.2.2.对分段函数，分段点是否连续需单独讨论，但其它点处一定连续。例6.求的连续区间.解：f(x)的连续区间为第11页/共22页例例7.讨讨论论机动 目录 上页 下页 返回 结束 的连续性.1.1.对初等函数，连续区间就是定义区间2.2.对分段函数，分段点是否连续需单独讨论解：第12页/共22页例例7.讨讨论论机动 目录 上页 下页 返回 结束 的连续性.1.1.对初等函数，连续区间就是定义区间2.2.对分段函数，分段点是否连续需单独讨论 f(x)在x=0处不连续，从而f(x)在上连续.不存在第13页/共22页
5、例例8.讨论函数的连续性.1.1.对初等函数，连续区间就是定义区间2.2.对分段函数，分段点是否连续需单独讨论关键：先求出极限。解：当时当时当时当时当时当时第14页/共22页五、间断点及其分类五、间断点及其分类机动 目录 上页 下页 返回 结束 设为f(x)的间断点.第一类间断点:、均存在,若称若称第二类间断点:、中至少一个不存在,称若其中有一个振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点。第15页/共22页为第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有 一个不存在例9 判断下列间断点的类型 间断点.可去第16页
6、/共22页(2)为其跳跃间断点.第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有 一个不存在第17页/共22页为其无穷间断点.为其振荡间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有 一个不存在第18页/共22页例例10 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点。左右极限至少一个不存在第一类:左右极限都存在 第二类:第19页/共22页习题习题，P501（1）（3）2（1）（3）4 ;56（2）（3）（5）第20页/共22页显然是 f(x)的(2)第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有 一个不存在间断点.可去第21页/共22页感谢您的欣赏！第22页/共22页