连续系统的频域分析.ppt

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1、第四章第四章 傅立叶变换和系统的频域分析傅立叶变换和系统的频域分析 电气工程师们总是习惯于通过电气工程师们总是习惯于通过频谱频谱考虑信号的问考虑信号的问题，通过题，通过频率响应频率响应考虑系统的问题。我们都知道音频考虑系统的问题。我们都知道音频信号中可以听到的部分大约有信号中可以听到的部分大约有20KHz20KHz的带宽，高质量的的带宽，高质量的音响需要对高达音响需要对高达20KHz20KHz的频域信号做出响应。的频域信号做出响应。这基本上都是在频域中思考问题。尤其在通信领这基本上都是在频域中思考问题。尤其在通信领域更要从频域思考问题。域更要从频域思考问题。因此，本章我们要从时域转换到频域，介

2、绍信号因此，本章我们要从时域转换到频域，介绍信号的频域表示，系统的频率特性，以及信号通过系统后的频域表示，系统的频率特性，以及信号通过系统后的响应（零状态）频域表示。的响应（零状态）频域表示。激励信号激励信号信号频域表示信号频域表示系统的冲激响应系统的冲激响应响应信号响应信号(零状态）零状态）系统频域表示系统频域表示响应频域表示响应频域表示频域分析频域分析时域分析时域分析 第二、三章分别讨论了连续时间系统和离散时第二、三章分别讨论了连续时间系统和离散时间系统的时域分析。以冲激函数或单位序列为基本间系统的时域分析。以冲激函数或单位序列为基本信号，任意信号可分解为一系列冲激函数或单位序信号，任意信

3、号可分解为一系列冲激函数或单位序列，而系统的响应（零状态）是输入信号与系统冲列，而系统的响应（零状态）是输入信号与系统冲激响应或单位序列响应的卷积。激响应或单位序列响应的卷积。其中其中h(t)h(t)或或h(k)h(k)反映了系统的特性。反映了系统的特性。第四、五、六章将分别讨论连续时间系统和离散第四、五、六章将分别讨论连续时间系统和离散时间系统的变换域分析。时间系统的变换域分析。变换域分析的基本思想：将复杂信号分解为基本变换域分析的基本思想：将复杂信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求出系统对基本信号的响信号之和或积分的形式，再求出系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态

4、响应）。应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态响应）。(虚指数函数虚指数函数)为基本信号为基本信号 它是以正弦函数或它是以正弦函数或任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数之和。虚指数函数之和。任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数积分。指数函数积分。本章着重讨论连续时间信号的傅立叶变换和连续本章着重讨论连续时间信号的傅立叶变换和连续系统的频域分析。系统的频域分析。具有一定幅度和相位，角频率为具有一定幅度和相位，角频率为 的虚指数函数的虚指数函数作用于作用于LTILTI

5、连续系统时，所引起的响应连续系统时，所引起的响应(零状态响应零状态响应)是同是同频率的虚指数函数，可表示为：频率的虚指数函数，可表示为：系统的影响表现为频率响应函数系统的影响表现为频率响应函数，它是信号角，它是信号角频率频率 的函数，而与时间的函数，而与时间t t无关，用于系统分析的独立变无关，用于系统分析的独立变量为量为，故称之为频域分析。，故称之为频域分析。可推出：可推出：本章的主要内容本章的主要内容:信号分解为正交函数信号分解为正交函数 傅里叶级数傅里叶级数 周期信号的频谱周期信号的频谱 非周期信号的频谱非周期信号的频谱-傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 能量谱和功率

6、谱能量谱和功率谱周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 4.9 4.9 取样定理（模拟信号数字化传输的理论基础）取样定理（模拟信号数字化传输的理论基础）序列的傅立叶分析序列的傅立叶分析离散傅立叶变换及其性质离散傅立叶变换及其性质连续时间信连续时间信号的频域表号的频域表示示-信号信号的分解的分解.信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、正交函数集一、正交函数集二、信号分解为正交函数二、信号分解为正交函数 为各相应方向的正交单位矢量。为各相应方向的正交单位矢量。它们组成一个二维正交矢量集。它们组成一个二维正交矢量集。矢量正交分解的概念可以

7、推广到信号空间，在信号矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，使得信作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似。矢量的概念相似。（2）正正交交函函数数集集 在在区区间间 上上的的n个个函函数数（非非零零）,其中任意两个均满足其中任意两个均满足 为常数，则称函数集为常数，则称函数集 为区间为区间 内的正交函数集。内的正交函数集。（1）正交函数正交函数 在在 区间上定

8、义的非零区间上定义的非零实实函数函数 和和 若满足条件若满足条件 则函数则函数 与与 为在区间为在区间 的正交函数。的正交函数。一、正交函数集一、正交函数集（3）完备正交函数集）完备正交函数集之外不存在函数之外不存在函数 如果在正交函数集如果在正交函数集 满足等式满足等式，则称该函数集为完备正交函数集。，则称该函数集为完备正交函数集。在区间在区间 内组成完备正交函数集。内组成完备正交函数集。这时因为：这时因为：称为三角函数集。称为三角函数集。在区间在区间 内组成完备正交函数集。内组成完备正交函数集。对于所有的对于所有的m和和n。对于复函数对于复函数:若复函数集若复函数集 在区间在区间 满足满足

9、，则称此复函数集为正交函数集。，则称此复函数集为正交函数集。复函数集复函数集 在区间在区间 内是完备的正交函数集。内是完备的正交函数集。其中其中 。因为：因为：二、信号分解为正交函数二、信号分解为正交函数设有设有n个函数个函数 在区间在区间 构成构成一个正交函数空间。将任一函数一个正交函数空间。将任一函数 用这用这 个正交函数的个正交函数的线性组合来近似，可表示为：线性组合来近似，可表示为：在在中中,为求得使均方误差最小的为求得使均方误差最小的第第 个系数个系数 ,必须使必须使由此推得由此推得:式中：式中：这是满足最小均方误差的条件下各系数的表达式。这是满足最小均方误差的条件下各系数的表达式。

10、如果分解的项数越多则误差愈小。即如果分解的项数越多则误差愈小。即，均，均方误差方误差，即，即 在区间在区间 内分解为无穷多项内分解为无穷多项之和。之和。4.2 傅里叶级数傅里叶级数将周期信号将周期信号 在区间在区间 内展开成完内展开成完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数三角型傅里叶级数”或或“指数型指数型傅傅里叶级数里叶级数”，统称为傅里叶级数。，统称为傅里叶级数。三角函数集三角函数集

11、指数函数集指数函数集一、周期信号的分解一、周期信号的分解二、奇、偶函数的傅里叶系数二、奇、偶函数的傅里叶系数三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式一、周期信号的分解一、周期信号的分解设有一个周期信号设有一个周期信号，它的周期是，它的周期是，角频率，角频率，它可分解为：，它可分解为：其中其中 称为傅里叶系数，称为傅里叶系数，。那么那么,傅里叶系数如何求得呢傅里叶系数如何求得呢?式中：式中：由上式可见，由上式可见，是是 的偶函数的偶函数 ，是是 的奇函数，的奇函数，由于由于是同频率项是同频率项,因此可将其合并因此可将其合并.得到三角型傅里叶级数的简洁形式。得到三角型傅里叶级数的简洁形式。

12、式中：式中：则有则有 可见，可见，是是 的偶函数，即有的偶函数，即有 而而 是是的奇函数，即有的奇函数，即有 一般任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直一般任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直流分量流分量 ;一次谐波或基波一次谐波或基波 ，它的角，它的角频率与原周期信号相同频率与原周期信号相同;二次谐波二次谐波 ，依此类推，三次，四次等谐波。依此类推，三次，四次等谐波。一般而言一般而言 称为称为 次谐波次谐波 ，是是 次谐波的振幅，次谐波的振幅，是其初相角。是其初相角。*结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。例例4.2-1 将下图中的方波信号

13、展开为傅里叶级数。将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。解：解：它仅含有一、三、五、七它仅含有一、三、五、七.等奇次谐波分量。等奇次谐波分量。如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：TT/20t(a)基基波波0T/2Tt(b)基波基波+三次谐波三次谐波0T/2Tt(c)基波基波+三次谐波三次谐波+五次谐波五次谐波0T/2Tt(c)基波基波+三次谐波三次谐波+五次谐波五次谐波+七次谐波七次谐波图图 4.2-3 方波的组成方波的组成（1）级级数数所所取取项项数数愈愈多多，合合成成波波形形（除除间间断断点点外外）愈愈接近于原方波信号接近于原方波信

14、号,其均方误差越小。其均方误差越小。（2）级级数数所所取取项项数数愈愈多多，在在间间断断点点附附近近，尖尖峰峰愈愈靠靠近近间间断点。断点。（3）即使）即使 ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有有 的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。真值之间没有区别。(吉布斯现象）吉布斯现象）低频成分低频成分-合成波形的主体轮廓。合成波形的主体轮廓。高频成分高频成分-合成波形的细节部分。合成波形的细节部分。若若给给定定的的 有有某某些些特特点点，那那么么，有有些些傅傅里里叶叶系系数数将将等于零从而式计算较为简便。等于零

15、从而式计算较为简便。（1）为偶函数为偶函数则有则有 ，波形对称于纵坐标。，波形对称于纵坐标。二、奇偶函数的傅里叶系数二、奇偶函数的傅里叶系数因此因此 （2）为奇函数为奇函数则有则有 ，波形对称于原点。，波形对称于原点。因此因此实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。其中其中奇函数部分奇函数部分偶函数部分偶函数部分*一一个个函函数数是是奇奇函函数数还还是是偶偶函函数数不不仅仅与与其其波波形形有有关关，而且与坐标原点的选择有关。而且与坐标原点的选择有关。信信号号横横坐坐标标上上下下移移动动会会影影响信号的响信号的 分量大小。分量大小。直流直流

16、信信号号纵纵坐坐标标左左右右移移动动会会影影响响信信号号的的各各次次谐谐波波分分量量 的大小。的大小。初相位初相位如果如果 的前半周期波形移动的前半周期波形移动 后，与后半周期波形后，与后半周期波形对称于横轴即：对称于横轴即：，称为奇谐函数。，称为奇谐函数。此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不含有偶次谐波分量。即含有偶次谐波分量。即 0t-TT-T/2f(t)T/21-1图4.2-6奇谐函数（3）为奇谐函数为奇谐函数如例题中的方波信号就是奇谐函数。如例题中的方波信号就是奇谐函数。例例4.2-2 正正弦弦交交流流信信号号 经经全全波波或

17、或半半波波整整流流后后的的波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。（a）全波整流信号）全波整流信号 （b）半波整流信号）半波整流信号解解（1）全波整流信号）全波整流信号图（图（a）的全波整流信号可写成（其周期）的全波整流信号可写成（其周期 ，为原正弦信号角频率为原正弦信号角频率）由于它是由于它是t的偶函数，故的偶函数，故 ，令令 ，对上式进行变量替换得，对上式进行变量替换得:可见，它除直流外，仅含有可见，它除直流外，仅含有 的偶次谐波。的偶次谐波。想一想：本题中若把想一想：本题中若把 f1(t)看成以看成以T/2为周期，则为周期，则由于它仍是

18、的偶函数，故由于它仍是的偶函数，故 ，令令 ，则，则 对上式进行变量替换对上式进行变量替换:（2）半波整流信号）半波整流信号图（图（b）的半波整流信号可写为（其周期）的半波整流信号可写为（其周期 ）它的傅里叶系数可直接由下式求出它的傅里叶系数可直接由下式求出本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分：本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分：全波整流全波整流半波整流半波整流三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式将上式第三项中的将上式第三项中的 用用 代换，并考虑到代换，并考虑到 是是 的偶的偶函数，即函数，即 ；是是 的奇函数的奇函数,即即 ，则，则上式可写为上式可写为:如将上式中的如将上

19、式中的 写成写成 （其中（其中 ），），则上式可以写成则上式可以写成:令复数量令复数量 ，称其为，称其为复复傅里叶傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为系数，简称傅里叶系数。其模为 ，相角为，相角为 ，则得傅里叶级数的指数形式为则得傅里叶级数的指数形式为 复傅里叶系数复傅里叶系数 这就是求指数形式傅里叶级数的复系数这就是求指数形式傅里叶级数的复系数 的公式。的公式。任意周期信号任意周期信号 可分解为许多不同频率的虚指数信号可分解为许多不同频率的虚指数信号 之和，其各分量的复数幅度（或相量）为之和，其各分量的复数幅度（或相量）为 。与与 互为共轭。互为共轭。与与 的关系。的关系。三角型傅里叶级数：三

20、角型傅里叶级数：物理含义：任意周期信号可以分解为许多不同频率物理含义：任意周期信号可以分解为许多不同频率的正弦函数之和。的正弦函数之和。指数型傅里叶级数：指数型傅里叶级数：物理含义：任意周期信号可以分解为许多不同频率的物理含义：任意周期信号可以分解为许多不同频率的虚指数函数之和。虚指数函数之和。思考思考:负频率的含义负频率的含义?例例4.2-3 4.2-3 周期锯齿波信号如图所示，求该信号的指数型傅周期锯齿波信号如图所示，求该信号的指数型傅里叶级数。里叶级数。解：解：复傅里叶系数复傅里叶系数 与与 ，的关系（书上的关系（书上128页）页）4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱一、一、周期

21、信号的频谱周期信号的频谱 如果将如果将 的关系绘成下面的线的关系绘成下面的线图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。各分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。单边谱：单边谱：（a)单边幅度谱单边幅度谱*每条竖线代每条竖线代表该频率分量表该频率分量的幅度，称为的幅度，称为谱线谱线。*连接各谱线连接各谱线顶点的曲线称顶点的曲线称为为包络线包络线。(b)单边相位谱单边相位谱包络线包络线谱线谱线如果将如果将 的关系绘成下面的线图，的关系绘成下面的线图，同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各同样

22、可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。双边谱：双边谱：（c）双边幅度谱双边幅度谱(d)双边相位谱双边相位谱*信号分解为信号分解为各虚指数函各虚指数函数，图中的数，图中的每一条谱线每一条谱线表示各分量表示各分量的幅度的幅度 （称称为为双边幅度双边幅度谱谱）。）。其中其中 。周期信号频谱的共同特点周期信号频谱的共同特点:下面我们来看一下周期矩形脉冲信号的频谱。下面我们来看一下周期矩形脉冲信号的频谱。第一为第一为离散性离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦

23、分量，所以此频谱称为不连续条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。谱或离散谱。第二为第二为谐波性谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量的各次谐波分量n，而决不含有非，而决不含有非的谐波分量。的谐波分量。第三为第三为收敛性收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随随n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的变化有起伏变化，但总的趋势是随着n的的增大而逐渐减小。当增大而逐渐减小。当nn时，时，。二、二、周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱 设有一幅度为设有

24、一幅度为1，脉冲宽度为脉冲宽度为 的周期性矩形脉的周期性矩形脉冲冲，其周期为其周期为 ，求其复傅里叶系数求其复傅里叶系数。图图 4.3-2 4.3-2 周期矩形脉冲周期矩形脉冲11该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：下面我们画出周期性矩形脉冲信号的双边谱。下面我们画出周期性矩形脉冲信号的双边谱。-取样函取样函数数 1.它是它是偶函数偶函数。2.当当 时时，。3.当当 时时，函数值为函数值为0。它是无限拖尾的衰减振荡。它是无限拖尾的衰减振荡。取样函数的特性取样函数的特性:图图4.3-3 4.3-3 周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱（T=

25、4）第一个零点时谱线的序号第一个零点时谱线的序号：零点的位置零点的位置：相邻谱线的间隔相邻谱线的间隔：第一个零点的位置第一个零点的位置：周期性矩形脉冲信号的频谱具有周期性矩形脉冲信号的频谱具有一般周期信号频谱的共一般周期信号频谱的共同特点同特点:第一为第一为离散性离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。谱或离散谱。第二为第二为谐波性谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波

26、分量的各次谐波分量n，而决不含有非，而决不含有非的谐波分量。的谐波分量。第三为第三为收敛性收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随随n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的变化有起伏变化，但总的趋势是随着n的的增大而逐渐减小。当增大而逐渐减小。当nn时，时，|Fn|0|Fn|0。1、各谱线的幅度按包络线各谱线的幅度按包络线 的规律变化的规律变化。在在 各处各处，即即 的各处的各处，包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等于零。于零。2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，

27、也就是说，它可分解为无限多个频率分量。它可分解为无限多个频率分量。周期性矩形脉冲信号的频谱还有周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点自己的特点:通常把频率范围通常把频率范围 称为周期矩形脉冲称为周期矩形脉冲 信号的信号的带宽带宽，用符号，用符号 表示表示，即周期矩形脉冲信即周期矩形脉冲信 号的频带宽度为号的频带宽度为 。3、周期相同，脉冲宽度不同周期相同，脉冲宽度不同,信号的频谱信号的频谱：谱线间隔不变，但零点位置变化谱线间隔不变，但零点位置变化。周期不同，脉冲宽度相同周期不同，脉冲宽度相同,信号的频谱信号的频谱：零点位置不变，谱线间隔变化零点位置不变，谱线间隔变化。相邻谱线的间隔相邻谱线的间

28、隔 零零，周期信号的周期信号的 离散频谱离散频谱 非周期信号的连续频谱非周期信号的连续频谱。见图见图见图见图图图4.3-4 脉冲宽度与频谱的关系脉冲宽度与频谱的关系1/1602/4/Fnf(t)tT0=T/8f(t)tT0=T/402/8/1/8Fn4/02/16/1/4Fn4/8/tT0=T/16f(t)返回返回f(t)2TtT03T4TT=4f(t)2TtT0T=8f(t)tT0T=16f(t)t0T02/4/1/4Fn02/4/TFn02/4/1/16Fn02/4/1/8Fn图4.3-5周期与频谱的关系返回返回三三 周期信号的功率周期信号的功率周期信号是功率信号，归一化平均功率为周期信号

29、是功率信号，归一化平均功率为:这是时域上的表达式。这是时域上的表达式。将将 的傅里叶级数展开式代入上式得：的傅里叶级数展开式代入上式得：下面我们来讨论频域上的表达式？下面我们来讨论频域上的表达式？将被积函数展开将被积函数展开，在展开式中具有形式在展开式中具有形式 的余弦项，其在一个周期内的积分等于零；具有的余弦项，其在一个周期内的积分等于零；具有 形式的项，当形式的项，当 时，其积分值为零，对于时，其积分值为零，对于 的项，其积的项，其积分值为分值为 ，因此上式的积分为：，因此上式的积分为：上式等号右端的第一项为直流功率，第二项为各次谐波的上式等号右端的第一项为直流功率，第二项为各次谐波的功率

30、之和。因此，周期信号的功率等于直流功率与各次谐功率之和。因此，周期信号的功率等于直流功率与各次谐波功率之和。波功率之和。由于由于 是是 的偶函数，且的偶函数，且 ，上式可改写为：上式可改写为：上两式称为上两式称为帕斯瓦尔恒等式帕斯瓦尔恒等式。它表明，对于周期信号，在时域中求得的信号功率与它表明，对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。在频域中求得的信号功率相等。例例 4.3-1 4.3-1 试计算下图所示信号在频谱第一个零点以内各试计算下图所示信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比。分量的功率所占总功率的百分比。解解 ：由上图可求得信由上图可求得信号号

31、 的功率：的功率：f(t)01-1-0.10.1t1将将 展开为指数型傅里叶级数：展开为指数型傅里叶级数：其频谱如下图所示，频谱的第一个零点在其频谱如下图所示，频谱的第一个零点在 ，这时这时 0.2根据式根据式在频谱第一个零点内的各分量的功率和为在频谱第一个零点内的各分量的功率和为:即第一个零点以内各分量的功率占总功率的即第一个零点以内各分量的功率占总功率的 。4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时

32、，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。无穷小量之间仍保持一定的比例关系。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。概念。令令称称 为频谱密度函数为频谱密度函数。一、傅里叶变换一、傅里叶变换.当周期当周期 趋近于无限大时趋近于无限大时，趋近于无穷小趋近于无穷小，取其取其为为 ，而而 将趋近于将趋近于 ，是变量，当是变量，当 时，它是离散值，当时，它是离散值，当 趋近于无限小时，它趋近于无限小时，它就成为连续变量，取为就成为连续变量，取为 ，求和符号改为积分

33、。，求和符号改为积分。由式由式 ，可得可得如何求频谱密度函数？如何求频谱密度函数？于是当于是当 时，式时，式成为成为（1 1）式称为函）式称为函数数 的傅里叶变换的傅里叶变换 。（2 2）式称为函）式称为函数数 的傅里叶逆变换的傅里叶逆变换。称为称为 的频谱密度函数或频谱函数的频谱密度函数或频谱函数.称为称为 的原函数的原函数。简记为简记为 下面来看一下为什么下面来看一下为什么称其为频谱密度函数称其为频谱密度函数？在讨论这？在讨论这个问题时要用到性质中的奇偶性，所以我们先来看一个问题时要用到性质中的奇偶性，所以我们先来看一下频谱密度函数的实部，虚部，模，相角的奇偶性。下频谱密度函数的实部，虚部

34、，模，相角的奇偶性。是是 的偶函数。的偶函数。是是 的奇函数。的奇函数。下面就来看一下为什么称其为频谱密度函数？下面就来看一下为什么称其为频谱密度函数？上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分分量量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分分量量”。由式可见。由式可见，相当于各相当于各“分量分量”的振幅，它是无穷小量。的振幅，它是无穷小量。所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函数来表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数数来表示。类似于物质的

35、密度是单位体积的质量，函数 可看作是单位频率的幅度，称可看作是单位频率的幅度，称 为频谱密度函为频谱密度函数。数。例例4.4-1 下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号 表示，其宽度为表示，其宽度为 ，幅度为幅度为 。求其频谱函数。求其频谱函数。0解：解：如图所示的门函数可表示为如图所示的门函数可表示为其频谱函数为其频谱函数为图图 4.4-1 门函数及其频谱门函数及其频谱1.1.如如果果频频谱谱函函数数是是实实函函数数或或虚虚函函数数，那那么么只只用用一一条条曲曲线线即即可可。为为负负代代表表相相位位为为 ，为为正正代代表表相相位为位为 。00实偶实偶

36、实偶实偶2.2.门函数的带门函数的带宽宽 ，脉冲宽度越窄，其占有的频脉冲宽度越窄，其占有的频带越宽。带越宽。例例4.4-2 求下图所示的单边指数函数的频谱函数求下图所示的单边指数函数的频谱函数.0t图图 4.4-2 单边指数函数单边指数函数解解:将单边指数函数的表示将单边指数函数的表示式式 代入到式代入到式 中得：中得：幅度谱和相位谱分别为：幅度谱和相位谱分别为：频谱图如下图所示：频谱图如下图所示：()0-/2/2(b)相位频相位频谱谱图图 4.4-3 单边指数函数单边指数函数01/(a)振幅频谱振幅频谱例例 4.4-3 求下图所示双边指数信号的频谱函数求下图所示双边指数信号的频谱函数。et1

37、0tf1(t)e-t解：上图所示的信号可表示为解：上图所示的信号可表示为：或者写为或者写为将将 代入到式代入到式 ，可得其频谱函数为可得其频谱函数为：其频谱图如下所示其频谱图如下所示 ：F1(j)02/实偶实偶实偶实偶et10tf1(t)e-t例例4.4-4 求下图所示信号的频谱函数。求下图所示信号的频谱函数。-et10tf2(t)e-t-1解解:上图所示的信号可写为上图所示的信号可写为 ：（其中其中 )-et10tf2(t)e-t-1其频谱图如下图所示其频谱图如下图所示：X2()01/-1/实奇实奇虚奇虚奇-et10tf2(t)e-t-1二 奇异函数的傅里叶变换1 1、冲激函数的频谱、冲激函

38、数的频谱 即单位冲激函数的频谱是常数即单位冲激函数的频谱是常数 ，如下图所示如下图所示。其频其频谱密度在区间谱密度在区间 处处相等处处相等，常称为常称为“均匀谱均匀谱”或或“白色频谱白色频谱”。0t(t)01F(j)(a)(b)图图 4.4-6 单位冲激函数的频谱单位冲激函数的频谱2 2、冲激函数导数的频谱、冲激函数导数的频谱 根据定义根据定义,冲激函数一阶导数的频谱函数为冲激函数一阶导数的频谱函数为：按冲激函数导数的定义按冲激函数导数的定义：即即 同理可得同理可得3 3、单位直流信号的频谱单位直流信号的频谱幅度等于幅度等于1 1 的直流信号可表示为的直流信号可表示为：显然，该信号不满足绝对可

39、积条件，但其傅里叶变换显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换却存在。它可以看作是函数却存在。它可以看作是函数 当当 时的极限时的极限 。则直流信号的频谱函数也。则直流信号的频谱函数也应应是是 的频谱函数的频谱函数 当当 时的极限时的极限。0et1tf1(t)e-t所以所以 当当 趋近于零时趋近于零时我们已经知道我们已经知道 的频谱函数为的频谱函数为：f1(t)0t1234(a)432102()(b)图4.4-7求1的极限过程02()(b)0t1(a)图4.4-8直流信号的频谱4、符号函数的频谱符号函数的频谱 符号函数定义为符号函数定义为显然显然,该函数也不满足绝对可积条件该函数也不满足

40、绝对可积条件。函数函数 可看作函数可看作函数：当当 时的极限时的极限。则它的频谱函数也是则它的频谱函数也是 的频谱函数的频谱函数 ，当当 时的极限时的极限。我们已知我们已知 的频谱函数为的频谱函数为：它是它是 的奇函数，在的奇函数，在 处处 。因此，当因此，当 趋近于零时，趋近于零时，有有 ：于是得于是得它在它在 处的值等于零。处的值等于零。0tSgn(t)1-1(a)X()0(b)图图4.4-9sgn(t)及其频谱及其频谱5、阶跃函数的频谱阶跃函数的频谱 图4.5-11(t)及其频谱0()R()X()0R()()-1/X()0-1/1/20t10t1/20t-1/21/2Sgn(t)其频谱的

41、实部和虚部分别为其频谱的实部和虚部分别为:频谱的虚部是频谱的虚部是 的奇函数的奇函数，在在 处其值等于零处其值等于零。附录五列出了常用信号的傅里叶变换。附录五列出了常用信号的傅里叶变换。作业：作业：傅里叶变换的性质 任一信号可以有两种描述方法：任一信号可以有两种描述方法：时域的描述时域的描述频域的描述频域的描述 本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一域中所引起的效应。域中所引起的效应。为简便，用为简便，用 表示时域与频域之表示时域与频域之间的对应关系，即间的对应关系，即 一、线性 若若则对于任意常数则对于任意常数 和和 ，有有傅里叶变换的线

42、性性质可以推广到有多个信号的情况。傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况。线性性质有两个含义：线性性质有两个含义：1 1、齐次性、齐次性 它表明，若信号它表明，若信号 乘以常数乘以常数 （即信号增大即信号增大 倍倍），），则其频谱函数也乘以相同的常数则其频谱函数也乘以相同的常数 （则其频谱则其频谱函数也增大函数也增大 倍倍）；）；2 2、可加性、可加性 它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信 号的频谱函数之和号的频谱函数之和。二、奇偶性下面研究时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。下面研究时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。如果如果 是时间是

43、时间 的实函数，那么根据的实函数，那么根据：其中频谱函数的实部和虚部分别为：其中频谱函数的实部和虚部分别为：频谱函数的模和相角分别为：频谱函数的模和相角分别为：1、若若 f(t)是时间是时间 t 的实函数，则频谱函数的实函数，则频谱函数 的的实部实部 是角频率是角频率 的偶函数，虚部的偶函数，虚部 是角频率是角频率 的奇函数的奇函数，是是 的偶函数的偶函数，是是 的奇函的奇函数数。2、如果如果 是时间是时间 的实函数，并且是偶函数，则的实函数，并且是偶函数，则 频谱函数频谱函数 等于等于 ，它是它是 的实偶函数的实偶函数。3、如果如果 是时间是时间 的实函数的实函数，并且是奇函数，则并且是奇函

44、数，则 频谱函数频谱函数 等于等于 ，它是它是 的虚奇函数。的虚奇函数。4、的傅里叶变换的傅里叶变换令令 ，得，得考虑到考虑到 是是 的偶函数的偶函数，是是 的奇函数的奇函数，故故：若若 f(t)是时间是时间 t 的实函数的实函数将以上结论归纳起来是：将以上结论归纳起来是：如果如果 是是 的实函数，且设的实函数，且设则有则有（1）（2）（3）如果如果 是是 的虚函数，则有的虚函数，则有（1）（2）三、对称性若若 则则 证明证明:傅里叶逆变换傅里叶逆变换式式将上式中的自变量将上式中的自变量 换为换为 ，得得将上式中将上式中 的换为的换为 ，将原有的将原有的 换为换为 ，得得上式表明，时间函数上式

45、表明，时间函数 的傅里叶变换为的傅里叶变换为 。例如，时域冲激函数例如，时域冲激函数 的傅里叶变换为频域的的傅里叶变换为频域的常数常数 ；由对称性可得，时域的常数由对称性可得，时域的常数 的傅里叶变换为的傅里叶变换为 ，由于由于 是是 的偶函数，故有的偶函数，故有例例4.5-1 求取样函数求取样函数 的频谱函数。的频谱函数。解解:我们已知，宽度为我们已知，宽度为 ，幅度为幅度为 的门函数的门函数 的频谱函数为的频谱函数为 ，即即 取取 ，即即 则则：根据傅里叶变换的对称性质根据傅里叶变换的对称性质:其波形如下图所示其波形如下图所示 ：1/2g2(t)01/2t1-1Sa()01-11g2()0

46、Sa(t)t01图图4.5-1函数函数Sa(t)及其频谱及其频谱例例4.5-2 求函数求函数 和和 的频谱函数。的频谱函数。解解 （1）函数函数我们已知我们已知：由对称性并考虑到由对称性并考虑到 是是 的奇函数，可得的奇函数，可得：由对称性并考虑到由对称性并考虑到 ，得得 根据线性性质根据线性性质，时域频域分别乘以时域频域分别乘以 得得：（2）函数函数我们已知我们已知：四、四、尺度变换（尺度变换（时频展缩）时频展缩）尺度变换特性为尺度变换特性为：若：若 上式表明，若信号上式表明，若信号 在时间坐标上压缩到原来在时间坐标上压缩到原来的的 ，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽那么其频谱函数在频率坐标

47、上将展宽 倍，同时其幅度减小到原来的倍，同时其幅度减小到原来的 ,称为尺度变换称为尺度变换特性或时频展缩特性特性或时频展缩特性。则对于实常数则对于实常数 ，有有 2/-2/0图4.5-2尺度变换00证明证明：设设 ，则展缩后的信号则展缩后的信号 的傅里叶的傅里叶变换为变换为:令令 ,则则 ,当当 时时当当 时时:若令若令 ，得得五、五、时移特性（延时特性）时移特性（延时特性）若若且且 为常数，则有为常数，则有:上式表示，在时域中信号沿时间轴右移（即延上式表示，在时域中信号沿时间轴右移（即延时时 ），其在频域中所有频率），其在频域中所有频率“分量分量”相应落相应落后一相位后一相位 ，而其幅度保持

48、不变而其幅度保持不变。令令 ，则上式可以写为则上式可以写为 同理可得同理可得：证明：若证明：若 ，则延迟信号的傅里叶变换为则延迟信号的傅里叶变换为如果信号既有时移又有尺度变换则有如果信号既有时移又有尺度变换则有：设设 和和 为实常数为实常数，且且 .例例4.5-3 如下图如下图（a）所示的函数是宽度为所示的函数是宽度为 的门函数的门函数,即即 其傅里叶变换其傅里叶变换 ，求图求图（b）和和（c）中函数中函数 和和 的傅里叶变换的傅里叶变换。解解（1）图图（b）中函数中函数 可写为可写为：根据傅里叶变换的线性和时移特性可得根据傅里叶变换的线性和时移特性可得 的傅里叶变换的傅里叶变换：（2）图图（

49、c）中的函数中的函数 是是 的压缩，可写为的压缩，可写为：由尺度变换性质由尺度变换性质：显然显然 也可写为也可写为 ：由时移特性可得到相同的结果由时移特性可得到相同的结果。例例4.5-4 若有若有5个相同的脉冲个相同的脉冲，其相邻间隔为其相邻间隔为T，如图如图所示所示，求其频谱函数求其频谱函数。-T0t1T-2T2TT=4n=5解：设位于坐标原点的单个脉冲表示式为解：设位于坐标原点的单个脉冲表示式为 ，其其频谱函数为频谱函数为 ，则图中的信号可表示为则图中的信号可表示为：根据线性和时移特性，它的频谱函数为根据线性和时移特性，它的频谱函数为：上式为等比数列，利用等比数列求和公式及欧拉公上式为等比

50、数列，利用等比数列求和公式及欧拉公式得：式得：当当 （m=0，1，2，）时时，也就是说也就是说，在在 处处，其频谱函数的幅度是其频谱函数的幅度是 的的5倍倍，这这是是由由于于在在这这些些频频率率处处,5个个单单个个脉脉冲冲的的各各频频率率“分分量量”同相的缘故。同相的缘故。另外另外，当当 （m为整数为整数，但不等于但不等于5的倍数）时的倍数）时，式中分子为零，从而式中分子为零，从而 ，这是由于这是由于5个单脉冲个单脉冲的各频率的各频率“分量分量“相互抵消的缘故。相互抵消的缘故。图图4.5-45个矩形脉冲的频谱个矩形脉冲的频谱4/T-2/T6/T2/T2/0 当脉冲个数无限增多时当脉冲个数无限增