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1、第2章 工程设计方法n自动控制系统的设计是以系统分析方法即控制系统稳定性理论为基础的。n整个设计过程既包括根据要求进行综合的过程，也包括根据理论分析对设计进行验证的过程，还包括根据设计任务书要求对系统的评价过程。常用的系统分析方法包括时域分析和频域分析方法。控制系统的分析方法2.12.1.1控制系统的时域分析方法劳斯判据劳斯判据 赫尔维茨判据赫尔维茨判据 稳定性判据稳定性判据赫尔维茨判据赫尔维茨判据n判据之一：赫尔维茨（判据之一：赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据稳定判据系统稳定的充分必要条件是：特征方程的系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式赫尔维茨行列式Dk（k1,2,3,，n
2、）全全部为正。部为正。赫尔维茨判据赫尔维茨判据系统特征方程的一般形式为：系统特征方程的一般形式为：0)(1110 nnnnasasasasD各阶赫尔维茨行列式为：各阶赫尔维茨行列式为：00aD 11aD 20312aaaaD 3142053130aaaaaaaaD nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaD00000422032312242012531 （一般规定 ）00a 举例：系统的特征方程为：系统的特征方程为：010532234 ssss试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。解解：第一步：由特征方程得到各项系数第一步：由特征方程得到各项系数 0a 1a 2
3、a 3a 4a第二步：计算各阶赫尔维茨行列式第二步：计算各阶赫尔维茨行列式200 aD111 aD20312aaaaD 3251 75231 0 结论：结论：010532)(234 sssssD系统不稳定稳定性判据稳定性判据n判据之二：林纳德奇帕特（判据之二：林纳德奇帕特（Lienard-Chipard)判据判据系统稳定的充分必要条件为：系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的各项系数大于零，即系统特征方程的各项系数大于零，即), 2, 1, 0(0niai 奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即0 偶偶D0 奇奇D或或必要条件必要条件举例：n单位负反
4、馈系统的开环传递函数为：单位负反馈系统的开环传递函数为：)125. 0)(11 . 0()( sssKsG试求开环增益的稳定域。试求开环增益的稳定域。解：解：第一步：求系统的闭环特征方程第一步：求系统的闭环特征方程0)125. 0)(11 . 0()( KssssD035. 0025. 023 Ksss第二步：列出特征方程的各项系数。第二步：列出特征方程的各项系数。025. 00 a35. 01 a12 aKa 3第三步：系统稳定的充分必要条件。第三步：系统稳定的充分必要条件。, 0)1( ia0 K要求要求0)2(2 D20312aaaaD 即：即：1025. 035. 0K 0025. 0
5、35. 0 K解得：解得：开环增益的稳定域为：开环增益的稳定域为：140 K由此例可见，由此例可见，K越大，系统的稳定性越差。上述判越大，系统的稳定性越差。上述判据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳定据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳定性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域）。性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域）。稳定性判据稳定性判据劳斯判据劳斯判据n判据之三：劳斯判据之三：劳斯(Routh)判据判据系统稳定的充分必要条件是：系统稳定的充分必要条件是：劳斯表劳斯表中第一列中第一列所有元素的计算值均大于零。所有元素的计算值均大于零。若系统的特征方程为：若系统的特征方程为：0
6、1110 nnnnasasasa则劳思表中各项系数如下图：则劳思表中各项系数如下图：1302113aaaaac 2 ns1504123aaaaac 1706133aaaaac 3 ns1323131314ccaacc 1313351324cacacc 2s1, 1 nc1,2 ncnc, 10snnac 1,1024611357 nnsaaaasaaaas关于劳斯判据的几点说明关于劳斯判据的几点说明n如果第一列中出现一个小于零的值，系如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定；统就不稳定；n如果第一列中有等于零的值，说明系统如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态；处于临界稳定状态
7、；n第一列中数据符号改变的次数等于系统第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。稳定根的个数。例例1 1设系统特征方程如下：设系统特征方程如下：05432234 ssss试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。定正实部根的数目。解：解：将特征方程系数列成劳斯表将特征方程系数列成劳斯表4s1353s2402s24132 1 20152 5 01s15241 6 00s5 结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。0543
8、2234 ssss劳斯表判据的特殊情况n在劳斯表的某一行中，第一列项为零。n在劳斯表的某一行中，所有元素均为零。n 在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳斯判据的结果。例2设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：0433 ss试用劳斯判据确定正实部根的个数。试用劳斯判据确定正实部根的个数。解：解：将特征方程系数列成劳斯表将特征方程系数列成劳斯表321 1 0 4s ss3由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可可用因子用因子(s+a)乘以原特征式，其中乘以原特征式，其中a可为任意正数可为任意正数，这里取a=1。3340ss于是得到新的特
9、征方程为：043) 1)(43(2343sssssss将特征方程系数列成劳斯表：43210 1 3 4 1 14 4 2 4sssss结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。例3设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：试用劳思判据确定正实部根的个数。试用劳思判据确定正实部根的个数。65432237440ssssss解：解：将特征方程系数列成劳斯表将特征方程系数列成劳斯表65432237440ssssss劳思表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。这时，可用全零行上一行的这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系系数构造一个辅助方程，
10、对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。6543 1 -2 -7 -4s 1 -3 -4s 1 -3 -4s 0 0 0s用 行的系数构造系列辅助方程 4s42F(s)=s34s求导得：用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到3( )460dF sssds6543210 1 -2 -7 -4s 1 -3 -4s 1 -3 -4s 4 -6 0s -1.5 -4 s -16.7 0s -4s65432237440ssssss6543 1 -2 -7 -4s 1 -3 -4s 1 -3 -4s 0 0 0s3( )460dF sssds表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方程，可知产生全零行的根为 。再可求出特征方程的其它两个根为 。(-1j 3)/22 , j控制系统的频域分析方法-Nyquist2.1.22.1.2.12.1.2.22.1.2.3稳定裕度2.1.2.4