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1、第2课时导数与方程第三章高考专题突破一高考中的导数应用问题NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类 深度剖析课时作业题型分类深度剖析1PART ONE题型一求函数零点个数例1(2018石家庄模拟)已知函数f(x)2a2ln xx2(a0).(1)求函数f(x)的单调区间；师生共研师生共研解f(x)2a2ln xx2，x0，a0，当0 x0，当xa时，f(x)0.f(x)的单调递增区间是(0，a)，单调递减区间是(a，).(2)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数).解由(1)得f(x)maxf(a)a2(2ln a1).讨论函数f(x)的零点情况如下：函数f(x
2、)无零点，在(1，e2)上无零点；f(x)在(1，e2)内有一个零点；由函数f(x)的单调性可知，函数f(x)在(1，a)内有唯一零点x1，在(a，e2)内有唯一零点x2，f(x)在(1，e2)内有两个零点.(1)可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题.(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况.思维升华跟踪训练1设函数f(x)ln x ，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，f(x)的极小值为2.(2)讨论函数g(x
3、)f(x) 的零点的个数.则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)2，令f(x)0，得证明由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x11.又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0，解得xe2，令f(x)0，解得0 x0，解得x1，令f(x)0，解得0 x1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增.(2)判断函数F(x)在(0，)上零点的个数.123456由(1)得x1，x2，满足0 x110).(1)若g(x)m有零点，
4、求m的取值范围；123456要使g(x)m有零点，只需m2e.即当m2e，)时，g(x)m有零点.(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根.123456123456解若g(x)f(x)0有两个相异实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其对称轴为xe，f(x)maxm1e2.若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，则m1e22e，即当me22e1时，g(x)f(x)0有两个相异实根.m的取值范围是(e22e1，).123456技能提升练5.已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；12
5、3456解f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点.设a0，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增.故f(x)存在两个零点.123456设a0，因此f(x)在(1，)内单调递增.又当x1时，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增.又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，).123456(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22.123456证明不妨设x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)内单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0.从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.22exx222exx26.已知函数f(x)(3a)x2ln xa3在 上无零点，求实数a的取值范围.123456拓展冲刺练解当x从0的右侧趋近于0时，f(x)，123456123456第三章高考专题突破一高考中的导数应用问题第2课时导数与方程