小学数学趣题巧算百题百讲百练计算、杂题、几何部分.doc

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1、小学数学趣题巧算百题百讲百练-几何部分小学生学习几何初步知识，不仅要掌握一些基本的平面图形和立体图形的性质、特征，还要会求这些平面图形的周长、面积及这些立体图形的表面积、体积，而且还要会综合地、巧妙地运用这些知识来进行计算。特别是计算一些组合图形的面积时，常常用到割补、剪拼、平移、翻转等办法，使得计算巧妙、简便。要学会这些方法，应用这些方法。通过解几何题的训练，更好地培养空间想象力，这对学好小学几何初步知识是极有利的，同时也为将来到中学进一步学习几何知识，打下良好而坚实的基础。例21 下图中圆O的面积和长方形OABC的面积相等。已知圆O的周长是9.42厘米，那么长方形OABC的周长是多少厘米？

2、分析与解 题中告诉我们，圆O的面积和长方形OABC的面积相等。我们知道，圆的面积等于rr，而图中圆O的半径恰好是长方形的宽，因此长方形OABC的长正好是r，即圆O的周长的一半。而长方形的周长等于2个长与2个宽的和，也就是圆O的周长与直径的和。长方形OABC的周长是：9.42+9.423.14=9.42+3=12.42（厘米）答：长方形OABC的周长是12.42厘米。例22 桌面上有一条长80厘米的线段，另外有直径为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的圆形纸片若干张，现在用这些纸片将桌上线段盖住，并且使所用纸片圆周长总和最短，问这个周长总和是多少厘米？分析与解 要想盖住桌上线段，并且

3、使所用纸片圆周长总和最短，那么盖住线段的圆形纸片应该是互不重叠，一个挨一个地排开，这时若干个圆形纸片直径的总和正好是80厘米。这些圆形纸片周长的总和与直径为80厘米的圆的周长相等，因此盖住桌子上线段的若干个圆形纸片的周长总和是：3.1480=251.2（厘米）答：这个周长总和是251.2厘米。例23 图2为三个同心圆形的跑道，跑道宽1米。某人沿每条圆形跑道的中间（虚线所示）各跑了1圈，共3圈。他一共跑了多少米？分析与解 根据题意，要求某人一共跑了多少米，就是求半径分别为1.5米、2.5米和3.5米的三个圆的周长之和。列式为3.14（1.52）+3.14（2.52）+3.14（3.52）3.14

4、3+3.145+3.147=3.14（3+5+7）=3.1415=47.1（米）还可以这样思考：如果这个人拿着一个1米宽的拖把，边跑边拖地，他跑了1个圆圈，就把这一圈的跑道全拖干净。那么他跑了3个圆圈，就把这三条圆形跑道全拖干净了。他共拖了3个环形面积的地。这3个环形面积的总和是3.14（42-32）+3.14（32-22）+3.14（22-12）=3.14（42-32+32-22+22-12）=3.14（42-12）=3.14-（4+1）（4-1）=3.1415=47.1（平方米）当然，也可以直接列式：3.14（42-12）=47.1（平方米）因为跑道宽1米，这个人拖完47.1平方米，那么他

5、就前进了47.1米。答：一共跑了47.1米。这里列举的只是某人跑了3个圆形跑道。如果将题改为跑100个这样的圆形跑道，那么用后面介绍的解法计算他跑步的总长度，就简捷多了。解法如下：3.14（1012-12）=3.14（101+1）（101-1）=3.14102100=32028（平方米）因为跑道宽1米，所以共跑了32028米。例24 在面积是40平方厘米的正方形中，有一个最大的圆（如图3）。这个圆的面积是多少平方厘米？分析与解 要求圆的面积，就要先求出圆的半径。题中告诉我们，正方形的面积是40平方厘米，正方形的边长的一半，也就是图中圆的半径。对小学生来讲，从正方形的面积求正方形的边长，还不会直

6、接计算。可以这样思考：把正方形平均分成4份（如图4）。每个小正方形的面积是404=10平方厘米。小正方形的边长恰好是圆的半径，因此圆的半径的平方恰好是10平方厘米。这样就可以求出圆的面积是3.1410=31.4平方厘米了。答：图中圆面积是31.4平方厘米。例25 图5由正方形ABCD和长方形EFDG部分重叠而成。正方形的边长是247.8厘米；长方形的长是292.404厘米、宽是210厘米，正方形和长方形哪个面积大？分析与解 要比较正方形ABCD和长方形EFDG面积的大小，方法是分别算出它们的面积再进行比较。从题中给出的数据看，确实给计算带来麻烦。只要在AF两点间连一条线段（如图6），就会发现，

7、三角形 AFD的面积是正方形 ABCD面积的一半，同时也是长方形EFDG面积的一半，所以正方形ABCD和长方形EFDG的面积一样大。这样，也就不用计算这两个图形的面积了。例26 图7由半圆和等腰直角三角形重叠而成。已知等腰直角三角形的直角边长为4厘米，求图中阴影面积。分析与解 如果分别算出两个阴影部分的面积，再把它们加起来，以便求出图中阴影部分的总面积，那就太复杂了。根据题中的条件，我们可以把图中弓形阴影剪下来拼（或旋转）成图8。从图8不难看出，题中要求的阴影部分的面积就是三角形 ABC面积的一半。图中的阴影面积是：（442）2=4（平方厘米）答：图中阴影面积是4平方厘米。例27 有5个正方形

8、（如图9），边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。问图中白色部分面积与阴影部分面积的比是几比几？分析与解 观察已知图形，显然，先计算出白色面积比较简单。白色部分面积是：（22-12）+（42-32）=10（平方米）阴影部分面积是：52-10=15（平方米）因此，白色部分面积与阴影部分面积之比是：1015，即23。还可以这样想：作正方形的对角线AD和BC，两条对角线相交于O，于是两条对角线把正方形平均分成四部分（如图10）。要计算整个图形中白色部分面积与阴影部分面积的比，只需计算三角形AOB中白色部分面积与阴影部分面积的比就可以了。在三角形AOB中，可把白色的和阴影的两部分图形都看作是一些梯形

9、，其中把最上端的小阴影三角形看作是上底为O的梯形。这些梯形的高都相等，所以这些梯形面积之比就是这些梯形上、下底的和之比。从小到大，5个梯形面积比是：1（1+2）（2+3）（3+4）（4+5）=13579因此，图中白色部分面积与阴影部分面积的比是：（3+7）（1+5+9）=23答：图中白色部分面积与阴影部分面积比是23。例28 有一个直角梯形ABCD，已知AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形ABF的面积比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，那么ED长多少厘米？分析与解 连接DB（图12）。已知三角形ABF比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，所以三角形ABD比三角形BED的面积也

10、大17.4平方厘米。三角形BDE的面积是：24-17.4=6.6（平方厘米）。而三角形 BDE的面积等于EDBC1/2即ED61/2=6.6所以ED长是2.2厘米。答：ED的长是2.2厘米。例29 图13由4个正六边形拼成，每个正六边形的面积都是6，那么三角形ABC的面积是多少？分析与解 首先连接每个正六边形的对角线，将每个六边形平均分成六个小的正三角形（如图14），那么每一个小三角形的面积都是1。由图14不难看出：三角形ABC是由三角形DEF、三角形AEB、三角形BDC和三角形CFA组成的，其中三角形DEF的面积是4，而其它的三个三角形面积都相等。先看三角形ABE。它正好是平行四边形AGBE

11、的一半，而平行四边形AGBE的面积是6，因此，三角形ABE的面积是3。当然，三角形BDC和三角形CFA的面积也是3。由此得出三角形ABC的面积是4+33=13答：三角形ABC的面积是13。例30 已知图15中正方形ABCD的面积是256平方厘米，那么正方形EFGH的面积是多少平方厘米？分析与解 将图15中正方形A0BCD旋转成图16。由图中不难看出：正方形 A BCD的面积是正方形ABCD面积的1/2；正方形EFGH的面积是正方形ABCD的面积的1/2。因此，正方形已知正方形ABCD的面积是256平方厘米，所以正方形EFGH的面积是答：正方形EFGH的面积是64平方厘米。例31 图17是一个正

12、方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中，AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2，中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解 连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在DPC处（如图18和图19）。已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是722=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6

13、厘米。由此得出，正方形OCPD的边长是4+6=10厘米，当然正方形OCPD的面积就是102，即100平方厘米。而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半，因此正方形ABCD的面积是200平方厘米。答：正方形ABCD的面积是200平方厘米。例32 一个任意凸六边形ABCDEF，P、Q、M、N分别为AB、BC、DE和EF边上的中点。已知阴影部分的面积是100平方厘米，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？分析与解 连接BF、 BE、 BD，在三角形ABF中，P是AB的中点，那么三角形BPF和三角形APF是等底等高的三角形。因此三角形BPF和三角形APF的面积相等。同理，由于N为E

14、F中点，所以三角形FNB和三角形 ENB的面积相等；由于M为DE中点，所以三角形DMB和三角形EMB的面积相等；由于Q为BC中点，所以三角形BQD和三角形CQD的面积相等。由此得出：三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB。而三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=阴影面积=100平方厘米，所以三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB=空白部分面积=100平方厘米。因此，六边形 ABCDEF的面积为1002=200平方厘米。答：六边形ABCDEF的面积是200平方厘米。例33 图21是一个圆形钟

15、面，圆周被平均分成了12等份。已知圆形的半径是6厘米，那么图中阴影的面积是多少平方厘米？分析与解 题中告诉我们：圆周被平均分成了12等份，因此连接OE，由图中不难看出：三角形AOB与三角形EOB是等底同高的三角形，这两的面积相等。于是图中阴影的面积是：答：阴影的面积是18.84平方厘米。例34图 23中四边形ABCD是一个正方形。E、F分别为CD和BC边上的中点。已知正方形ABCD的边长是30厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？分析与解 已知四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD边与BC边上的中点，因此，三角形BCE和三角形DCF面积相等。这两个三角形的面积各自减去四边形GFCE的面

16、积，各自剩下的三角形GBF和三角形GDE面积还是相等的。连接GC（如图24），三角形GBF面积和三角形GCF的面积是相等的，因为这两个三角形等底同高。同理，三角形GCE面积和三角形GDE的面积也是相等的。而三角形GBF的面积和三角形GDE的面积相等，因此，三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE及三角形GDE是具有相等面积的四个三角形。因为三角形BCE的面积等于正方形ABCD面积的1/4，所以图中空白部分的面积，即三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE、三角形GDE的面积之和为正方形ABCD面积的从而得出图中阴影部分的面积为正方形ABCD面积的那么阴影部分的面积是：答：图中阴影部分的面积是6

17、00平方厘米。例35 为了美化校园，东升小学用鲜花围成了两个圆形花坛。小圆形花坛的面积是3.14平方米，大圆形花坛的半径是小圆形花坛半径的2倍。大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大多少平方米？分析与解 我们知道圆的面积与半径的平方成正比。题中告诉我们，大圆的半径是小圆半径的2倍，那么大圆面积是小圆面积的22倍。大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大3.14（22-1）=3.143=9.42（平方米）答：大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大9.42平方米。例36 有两个长方形，甲长方形的长是98769厘米，宽是98765厘米；乙长方形的长是98768厘米，宽是98766厘米。这两个长方形的面积哪个

18、大？分析与解 利用长方形面积公式，直接计算出面积的大小，再进行比较，这是可行的，但是计算太复杂了。可以利用乘法分配律，将算式变形，再去比较两个长方形的面积大小，这就简便多了。甲长方形的面积是：9876998765=9876898765+98765乙长方形的面积是9876898766=9876898765+98768比较9876898765+98765与9876898765+98768的大小，一眼便能看出：甲长方形的面积小，乙长方形的面积大。还有如下一种思考解答方法。请先看看下面的事实。周长相等的两个长方形，长与宽的差越大，则面积就越小；反之，长与宽之差越小，则面积就越大。当然，当长方形长与宽之

19、差为0时，也就是为正方形时，面积则最大。假设有两个长方形的周长是20厘米，那么周长的一半，也就是长与宽的和，是10厘米，列举出一部分长、宽的大小与面积的关系，就会得出上面所讲的事实是存在的，并且是正确的。我们再回到原题。甲、乙两个长方形的长与宽的和是相等的（当然它们的周长也相等），即98769+98765=98768+98766而甲长方形长与宽的差是：98769-98765=4（厘米）乙长方形长与宽的差是：98768-98766=2（厘米）因为4厘米2厘米，所以甲长方形的面积小，乙长方形的面积大。答：乙长方形的面积大。例37 一个红色的正方形ABCD，它的边长是1993厘米；另一个红色的正方形

20、ABCD，它的边长是 1994厘米。一个绿色正方形EFGH，它的边长是1992厘米，另一个绿色正方形EFGH，它的边长是1995厘米。问两个红色的正方形的面积大，还是两个绿色的正方形面积大？分析与解 要比较两个红色的正方形面积大，还是两个绿色的正方形面积大，可以先分别算出它们的面积，然后再进行比较。不过这样计算起来就太复杂了。可以这样比较它们的大小：先将红色正方形ABCD与绿色正方形EFGH重叠在一起（如图26）。从图26不难看出，红色正方形ABCD的面积比绿色正方形EFGH的面积大的平方厘米数是：11992+11+11992=21992+1再将红色正方形ABCD与绿色正方形EFGH重叠在一起

21、（如图27）。从图27不难看出，红色正方形ABCD的面积比绿色正方形EFGH的面积小的平方厘米数是：11994+11+11994=21994+1而21994+121992+1，也就是说绿色正方形EFGH比红色正方形ABCD大的面积数超过红色正方形ABCD比绿色正方形EFGH大的面积数。因此两个绿色正方形的面积大。答：两个绿色正方形的面积大。例38 在长方形ABCD中，AE的长度与ED的长度的比是85；BF的长度与FC的长度的比是117。那么涂红色的两块图形的面积与涂蓝色的两块图形的面积相比较，哪个大？分析与解 要比较涂红色的两块图形的面积大，还是涂蓝色的两块图形的面积大，只要比较三角形AEC和

22、三角形BDF的大小就可以了。因为这两个三角形各自减去重叠的那块四边形，剩下的就是两个涂红色的图形和两个涂蓝色的图形了。因为ABCD是长方形，而三角形AEC和三角形BDF的高都是长方形ABCD的宽，所以比较三角形AEC和三角形BDF的大小时，只要比较AE和BF的大小就可以了。根据已知，AE的长度与ED的长度的比是85，那么AE的长度就占即AEBF，从而得出三角形AEC的面积大于三角形BDF的面积。因此，涂红色的两块图形的面积大于涂蓝色的两块图形的面积。答：涂红色的两块图形的面积大于涂蓝色的两块图形的面积。例39 一块长方形小麦田，被互相垂直的两条直线分成A、B、C、D四部分。A的地积是45公亩，

23、B的地积是20公亩，C的地积是36公亩。那么，D有多少公亩？分析与解 观察图29不难发现，B与C的长是相等的，因此，B与C地积的比就是它们宽的比。A与D的长也是相等的，因此，A与D地积的比也是它们宽的比。而A与B，C与D的宽分别相等，于是AD=BC即 45D=2036D=81答：D有81公亩。例40 有50个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、99厘米，将这些正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，得到的小正方体中，至少有一个面是红色的小正方体共有多少个？分析与解 棱长为1厘米涂有红漆的小正方体，不用锯，就是棱长1厘米的小正方体，它当然是至少有一个面是红色的

24、小正方体了。将棱长为3厘米的涂有红漆的小正方体，锯成棱长为1厘米的小正方体，共得到33个，其中没有涂红漆的共（3-2）3个。将棱长为5厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，共得53个，其中没有涂红漆的共（5-2）3个。将棱长为7厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，共得73个，其中没有涂红漆的共（7-2）3个。由以上分析、计算发现，将校长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米的四个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有13+33-（3-2）3+53-（5-2）3+73-（7-2）3=13+33-13+53-33+73-53=13+33+5

25、3+73-13-33-53=73=343（个）按照这样的规律可得，将棱长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、99厘米这50个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有：13+33+53+73+93+973+993-13-33-53-73-93-973=993=（个）答：至少有一个面是红色的小正方体共有个。例41 有棱长为 1、2、3、99、100、101、102厘米的正方体102个，把它们的表面都涂上红漆，晾干后把这102个正方体都分别截成1立方厘米的小正方体，在这些小正方体中，只有2个面有红漆的共有多少个？分析与解 根据题意，首先应该想到只有2个面有红漆的

26、小正方体，都在原来大正方体的棱上。原来棱长是1厘米、2厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，得不到只有2个面有红漆的小正方体。棱长是3厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，大正方体的每条棱上都有1个小正方体只有2个面有红漆。每个正方体有12条棱，因此可得到 12个只有 2个面有红漆的小正方体，即共有（3-2）12个。棱长为4厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，得到只有 2个面有红漆的小正方体共（4-2）12个。依此类推，可得出，将这102个正方体截成1立方厘米小正方体后，共得到只有2个面有红漆的小正方体的个数是：（3-2）+（4-2）+（5-2）+（102-2）12=

27、1+2+3+10012=60600答：只有2个面有红漆的小正方体共有60600个。例42 有一个长方体木块，长125厘米，宽40厘米，高25厘米。把它锯成若干个体积相等的小正方体，然后再把这些小正方体拼成一个大正方体。这个大正体的表面积是多少平方厘米？分析与解 一般说来，要求正方体的表面积，一定要知道正方体的棱长。题中已知长方体的长、宽、高，同正方体的棱长又没有直接联系，这样就给解答带来了困难。我们应该从整体出发去思考这个问题。按题意，这个长方体木块锯成若干个体积相等的小正方体后，又拼成一个大正方体。这个大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。已知长方体的长、宽、高，就可以求出长方体的体积，

28、这就是拼成的大正方体的体积。进而可以求出正方体的棱长，从而可以求出正方体的表面积了。长方体的体积是1254025=（立方厘米）将 分解质因数：=222555555=（255）（255）（255）可见大正方体的棱长是255=50（厘米）大正方体的表面积是50506=15000（平方厘米）答：这个大正方体的表面积是15000平方厘米。例43 一个正方体形状的木块，棱长2分米。沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块（如图30）。这60块长方体表面积的和是多少平方分米？分析与解 解答这道题的最直接的想法是将这大大小小的60个长方体形状的小木块的表面积分别

29、计算出来，然后再求出总和，这样做是可以的，但计算极为复杂。因此解答这题时，应从整体出发，这样，问题就简单多了。这个正方体形木块在未锯成60个长方体形状的小木块前，共有6个面，每个面的面积是22=4平方分米，6个面共24平方分米。不管后来锯成多少块小长方体，这6个面的24平方分米的面积总是后来的小长方体的表面积的一部分。现在我们来考虑将木块每锯一刀的情况。显然，每锯一刀就会增加2个4平方分米的表面积，根据题意，现在一共锯了2+3+4=9刀，共增加了18个4平方分米的表面积。因此，这60块大大小小的长方体的表面积总和是24+418=96（平方分米）或列式为226+（2+3+4）2=46+18=42

30、4=96（平方分米）答：60块长方体表面积的和是96平方分米。例44 一个圆柱体，底面半径是5厘米，这个圆柱体的侧面积是100平方厘米。它的体积是多少立方厘米？分析与解 一般的解法是先求出圆柱体的高和底面积，再求圆柱体的体积。圆柱体的高：圆柱体的底面积：3.1452=78.5（平方厘米）圆柱体的体积：我们已知学过，用切拼的方法，可以把一个圆柱体切拼成一个与它等体积的近似的长方体（如图31）观察图31不难发现，圆柱体的体积等于侧面积的一半与底面半径的乘积，即用这个式子计算题中圆柱体的体积，就比用一般的方法计算要简便多了。答：圆柱体的体积是250立方厘米。小学数学趣题巧算百题百讲百练-杂题部分小学

31、生的课外数学活动，包括一些数学竞赛活动，极大地提高了小学生学习数学的兴趣和热情。通过参加各种数学课外活动，提高了学生思维和探索能力。杂题中选编的例题，更突出了小学数学知识的综合运用。有的题涉及一点小学尚未学习的知识，但是学生还是可以理解的，题中介绍的各种解法，小学生应该掌握。例84 将奇数1、3、5、7、9、按下表排成五列。例如，13排在第2行第2列，25排在第4行第4列。那么1993排在第几行第几列？分析与解 首先要算出1993这个数是这列数中的第几个数。由上表可看出，每行有4个数，而9974=2491。就是说第997个数是第250行中最小的一个。偶数行的数是从小到大依次排在第4、3、2、1

32、列的，因此1993这个数排在第250行第 4列。例85 在自然数中有很多三位数，其中三个数字之和是5的倍数的三位数共有多少个？分析与解 要想求出三个数字之和是5的倍数的三位数共有多少个，不妨按从小到大的顺序把这些数写出来：104、109、113、118、122、127、显然，用这种寻找答案的方法是可以的，但是太费时间了。我们可以按下面的思路去思考。这10个连续的三位数的三个数字之和,也正好是10个连续的自然数。例如，A=1，B=2，那么上面写出的10个连续的三位数的三个数字之和为3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。其中有而且只有两个三位数的三个数字之和是5的倍数。从100999，这些

33、三位数共900个，每10个连续三位数为一个“数段”，一共可以分成90个“数段”。而每10个连续的三位数中有而且只有2个三位数的三个数字之和是5的倍数，所以在所有的三位数中共有 290=180个三位数，它们的三个数字和是5的倍数。答：三位数中三个数字之和是5的倍数的共有180个。例86 有一串数 1、4、9、16、25、26、49、它们是按一定的规律排列的。那么左起第1994个数比第1993个数大多少？分析与解 仔细观察这串数各数的特征不难发现，这串数是从1开始的自然数的平方数，即12、22、32、42、52、62、72、进而比较相邻两数之差，可以发现4-1=22-12=2+19-4=32-22

34、=3+216-9=42-32=4+325-16=52-42=5+4由此可以推得，左起第1994个数比第1993个数大1994+1993=3987答：左起第1994个数比第1993个数大3987。例87 有一列数 1、2、4、7、11、16、22、29、这列数左起第1994个数除以5的余数是多少？分析与解 观察这一列数，我们发现它排列的规律是：第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依次类推。这样我们就可以先求出第1994个数是几，再算出这个数除以5的余数是多少了。左起第1994个数是1+1+2+3+1993=1+=再计算除以5的余数，得到余数是2。也可以这样思考

35、：根据这列数排列的规律，我们先列出前15个数，然后再算一下这15个数被5除的余数。列表如下：从上表可以看出、第1、2、3、4、5五个数被5除的余数，与第6、7、8、9、10五个数被5除的余数对应相同、也与第11、12、13、14、15五个数被5除的余数对应相同。由此得出，这一列数被5除的余数，每隔5个数循环出现。因为1994=5398+4，所以第1994个数被5除得到的余数，与第四个数除以5得到的余数一样，也就是余数为2。答：这列数左起第1994个数除以5得到的余数是2。例88 有1994名同学按编号从小到大排成一排，令奇数号位（1号位、3号位）上的学生离队。余下的同学顺序不变，再令其中站在新

36、编号为奇数号位上的同学离队。依次重复上面的做法，那么最后留下来的同学，在开始时是排在第几号位上的？分析与解 依照题中所说的做法，第一次令奇数号位上的同学离队后，余下的同学，开始时编号是2（211）、4（212）、6（213）、1994（21997），再令余下的同学中站在奇数号位上的同学离队后，剩下的同学开始时的编号是4（221）、8（222）、12（223）、16（224）、1992（22498）依次类推，第9次令余下的同学中站在奇数号位上的同学离队后，剩下的同学开始时的编号是291，292，293。第10次令余下的同学中站在奇数号位上的同学离队后，只剩下一个同学，他开始时的编号是：2101，

37、即1024。答：最后留下来的同学，在开始时是排在第1024号位上的。例89 把乒乓球装在6个盒中，每盒装的个数分别为1个、3个、9个、27个、8l个、243个。从这6盒中，每次取其中1盒，或取其中几盒，计算乒乓球的个数之和，可以得到63个不同的和。如果把这些和从小到大依次排列起来，是1个、3个、4个、9个、10个、12个、，那么第60个和是多少个？分析与解 首先应该想到，不能用从取1盒、取2盒、去计算乒乓球个数之和的办法，去寻找第60个和是多少个。根据题意，第63个兵乓球个数之和是很容易计算出来的，而第60个兵乓球个数之和与它相差不多，例推回去，就可以得出结果了。根据已知，第63个乒乓个数之和

38、是1+3+9+27+81+243=364于是第62个乒乓球个数之和应该是364-1=363第61个乒乓球个数之和应该是364-3=361.第60个乒乓球个数之和应该是364-3-1=360答：第60个乒乓球个数之和是360。例90 有甲、乙、丙、丁四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，这四个人年龄的乘积是48384。这四个人的年龄各是几岁？分析与解 题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。48384=28337=（223）（27）24（232）=12141618由此得出这四个人的年龄分别是12岁、1

39、4岁、16岁、18岁。也可以这样想：由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是0，显然这四个数中，没有个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为10448384，而 48384204，所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。例91 把分母为60的最简假分数从小到大排列，第1994个分数是几分之几？分析与解 直接求出第1994个假分数是几分之几，是不大容易的。我们不妨

40、换一下思考的角度，那就是将假分数化成带分数去思考，求出第1994个带分数是几又几分之几，再把这个带分数化成假分数就可以了。由于分母是60的最简真分数共有16个，把它们从小到大排列起来，依由此可知，分母为60的最简假分数化成带分数后，由小到大依次排列，因为199416=12410，所以第1994个带分数的整数部分是答：第1994个最简假分数是7537/60。例92 有 A、B、C、D、E五个小足球队参加足球比赛，到现在为止，A队赛了4场，B队赛了3场，C队赛了2场，D队赛了1场。那么E队赛了几场？分析与解 把参赛的五个球队看成平面上不在同一条直线上的五个点，并且没有3个点在一条直线上。这样每两队

41、比赛了1场，就可以用相应的两点间连一条线段来表示。根据各队比赛过的场次可画成图55。从上图不难看出，E队赛了2场。答：E队赛了2场。例93 有4个不同的自然数a、b、c、d，而且abcd。又知道a比b小5，d比c大7，这四个数的平均数是 17，那么d最大是多少？最小是多少？分析与解 题中告诉我们，四个数的平均数是17，那么这四个数的和就是174=68。题中问d最大是多少。要使d最大，那么a就要尽量小。因为这四个数都是自然数，所以a最小为1。又因为a比b小5，所以这时b为6。这样不难求出这时c与d的和是68-1-6=61。题中又告诉我们，d比c大7，这样就可以求出这时d是61+7/2=34，即d

42、最大是34。那么d最小是多少呢？题中告诉我们，a比b小5，d比c大7，a、b、c、d四个数之和是68，而68+5+7之和正好是b与d的和的2倍，因此b与d的和是（68+5+7）2=40。要使d最小，那么a、b、c就要尽量大，而b与c的差应该尽量小，而b与c的差最小是1，这样b与d之差就是1+7=8。由此得出d最小是：40+8/2=24答：d最大是34，最小是24。例94 一个正方体有六个面，分别用字母A、B、C、D、E、F表示。图56是从三个不同角度看到的这个正方体的部分面的字母。那么这个正方体到底哪个面与哪个面相对？分析与解 观察题中给出的三个图，不容易看出哪个面与哪个面相对。那就换一种思考

43、方法，看看哪个面不对着哪个面，从而得出哪个面与哪个面相对的正确结论。观察图（1）可知，A面不对着D面、E面；观察图（2）可知，A面不对着B面、F面。由此得出，A面一定对着C面。再观察图（2），可以知道，F面不对着A面、B面；观察（3）可以知道，F面不对着C面、D面。那么F面一定对着E面。这样剩下的B面一定对着D面。答：这个正方体的A面对着C面；B面对着D面；E面对着F面。例95 一次乒乓球比赛，共有512名乒乓球运动员参加比赛。比赛采用淘汰制赛法，两个人赛一场，失败者被淘汰，将不再参加比赛；获胜者进入下轮比赛，如此进行下去，直到决赛出第一名为止。问这次乒乓球比赛一共要比赛多少场？分析与解 如果

44、这样去想，第一轮512名运动员参赛，要赛256场；第二轮256名运动员参赛，要赛128场；直到决赛出第一名为止，再将各轮比赛场次加起来，计算出一共要比赛多少场。这种方法是可以的，不过太复杂了。如果按下面的思路思考，那就简单得多了。根据题中所说，比赛采取淘汰制，每比赛一场淘汰掉1人，到最后决赛得出第一名，只有这第一名未被淘汰。也就是说，512名运动员参赛，有511人被淘汰。淘汰一个人就要赛一场，所以这次乒乓球比赛一共要进行511场比赛。答：这次乒乓球比赛，一共要比赛 511场。例96 一只杯子里装着红葡萄酒，一只杯子里装着白酒，都是300毫升。现在从装着红葡萄酒的杯中倒出30毫升红葡萄酒与白酒混合，混合均匀后，再从混合的酒中取出30毫升倒回装红葡萄酒的杯中，每个杯中的酒仍然是300毫升。问这时是红葡萄酒杯中的白酒多呢？还是白酒杯中的红葡萄酒多呢？分析与解 解答这题不应从具体数量上分析入手，因为那样计算就太复杂了。根据题中条件，红葡萄酒和白酒的数量都是300毫升，我们用V表示。白酒中红葡萄酒的含量用a表示，红葡萄酒中白酒的含量用b表示。于是白酒杯中的酒是V=（V-b）+a红葡萄