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1、1 第十二章极限和导数第十四章极限与导数一、基础知识1极限定义：（1）若数列 un满足，对任意给定的正数，总存在正数m ，当 nm且 nN时，恒有|un-A|f(a) 且 f(c)=m ，则 c(a,b) ，且 f(c)为最大值，故0)( cf，综上得证。14 Lagrange中值 定 理： 若f(x)在 a,b上 连续 ， 在 (a,b)上 可 导， 则存 在 (a,b)， 使.)()()( abafbff 证明 令 F(x)=f(x)-)()()(axabafbf, 则 F(x) 在a,b上连续，在(a,b) 上可导，且 F(a)=F(b)，所以由 13 知存在 (a,b) 使)( F=0
2、，即.)()()( abafbff15 曲线凸性的充分条件： 设函数 f(x) 在开区间 I 内具有二阶导数，（ 1） 如果对任意xI,0)( xf,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的； （2）如果对任意xI,0)( xf, 则 y=f(x)在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设1, 2, , nR+，1+2+ +n=1。 （1）若f(x) 是 a,b上的凸函数，则x1,x2, ,xna,b有 f(a1x1+a2x2+anxn) a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn). 二、极限1、数列极限 ：（ 1）公式：limnCC（C 为常数）；1l
3、im0pnn（p0） ；01l i m1111nnqqqqq不存在或. （ 2）运算法则：若数列na和nb的极限都存在，则na和nb的和、差、积、商的极限等于na和nb的极限的和、差、积、商. 例题： 将直线1:10lxy、2:0lnxyn、3:0lxnyn（*nN，2n）围成的三角形面积记为nS，则limnnS. 已知p和q是两个不相等的正整数，且2q，则111lim111pqnnn习题： 135(21)lim(21)nnnn. 设 0a0） ；0 1lim1 111xxaaaaa不存在或；0 1lim1 111xxaaaaa不存在或. （ 2）运算法则：若函数( )f x和)(xg的极限都
4、存在， 则函数)(xf和)(xg的和、差、积、商的极限等于)(xf和)(xg的极限的和、差、积、商.习题： 211lim_34xxxx；2241lim()42xxx. 已知22lim7xaxcxbxc，lim5xbxccxa，且0bc，则22limxaxbxccxaxb. 222sinlim(tan)cosxxxx .3、函数的连续性：函数)(xf在0 xx处连续的充要条件是00lim( )()xxf xf x. 习题： 已知函数23 ( 0 ) ( ) (0 )xxf xax在 x=0 处连续，则a. 已知23 , 1( )2 , 1xxf xx，下面结论正确的是（）（A）( )f x在1x
5、=处连续（B）(1)5f=5 （C）1lim( )2xf x（D）1lim( )2xf x 若21lim()111xabxx，则常数ba,的值分别为. 三、导数1、导数的概念：（ 1）导数的定义：函数( )yf x在0 xx=处的导数/0000()()()limxf xxf xfxx. （ 2）导数的几何意义：曲线( )yf x上点00(,()xf x处的切线的斜率为/0()fx.因此曲线( )yf x在点 （)(,00 xfx）处的切线方程为/000()()()yfxfxxx. （ 3）导数的物理意义：若质点运动的位移函数为S=s(t),则0tt=时质点运动的瞬时速度是0()s t. 例题：
6、 若000(2)()lim13xf xxf xx，则0()fx等于. 若曲线12yx在点12( ,)a a处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为00S tS，则导函数ySt的图像大致为 已知曲线314( )33f xx. (1) 求曲线在点(2,4)P处的切线方程； (2) 求曲线过点(2, 4)P的切线方程 . 求抛物线2yx上的点到直线4380 xy距离的最小值. 习题： 若000()()lim1xf xxf xx，则0()fx等于. 运动曲线方程为2212tStt，则 t=3
7、 时的速度是. 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 曲线221xyx在点（ 1，1）处的切线方程是.已知点P 在曲线y=41xe +上，为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是. 6 2、导数的运算：（1）常见函数的导数：0C；1()nnxnx；(sin)cosxx；(cos )sinxx. 1(ln)xx；1(log)logaaxex；() xxee；()lnxxaaa. （2）导数的四则运算法则： ( )( )( )( )u xv xu xv x； ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu
8、 x v x, ( )( )C u xC u x；2( )( ) ( )( ) ( )( ( )0)( )( )u xux v xu x v xv xv xvx.（3）复合函数的求导法则：首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f( )， =f(x)；然后将已知函数对中间变量求导( )y，中间变量对自变量求导)(x；最后求xy，并将中间变量代回为自变量的函数习题： 若42( )f xaxbxc=+满足(1)2f，则( 1)f. 等比数列na中，12a，84a，128()()()fxx xaxaxa，则0f. 求下列函数的导数：（1）1ln1xyx(1)x（2）42ln1xyx. 3、
9、导数的应用：（ 1）求函数的单调性：用导数求函数单调区间的一般步骤为：求( )fx；( )fx0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；( )fx0，函数 f（x）=x3ax 在 1，+）上是单调增函数，则a 的最大值是. 求函数3211( )(1)32f xxa xaxb（,Ra b）的单调性 . 是否存在这样的k 值，使函数243221( )232f xk xxkxx在（ 1，2）上递减，在（ 2，+）上递增7 （2）求函数的极值：求导数( )fx； 求方程( )fx=0 的根 ；用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， 检查( )fx在方程根左右的值的
10、符号，如果左正右负，那么( )f x在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么( )f x在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则( )f x在这个根处无极值.例题： 已知函数f（ x）=ax3+bx2 3x 在 x= 1 处取得极值，求f（x）的极大值和极小值. 函数 f（x）=x36bx+3b 在（ 0，1）内有极小值，则b 的取值范围为 . 已知函数321( )(2)13f xaxbxb x在1xx=处取得极大值，在2xx=处取得极小值，且12012xx； （2）若 z=a+2b,求 z 的取值范围 . 习题： 已知函数( )f x=x3+ax2+bx+a2在 x=1
11、处有极值为10，则(2)f=_ 设a为实数，函数32( )f xxxxa，求( )f x的极值 . 设函数sincos1fxxxx，02x，求函数( )f x的极值 . （3）求函数的最值：利用导数求函数的最值步骤:求( )f x在( , )a b内的极值；将( )f x的各极值与)(af、)(bf比较得出函数( )f x在, a b上的最值 . 例题： 函数32( )32fxxx在区间1,1上的最大值是. 求抛物线212yx上与点)0 ,6(A距离最近的点 . 设函数321( )(1)4243f xxa xaxa，其中常数1a. （ 1）讨论( )f x的单调性；（2）若当0 x时，( )0f x 恒成立，求a的取值范围 .