高中数学知识点精讲——极限和导数.doc

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1、如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流高中数学知识点精讲极限和导数【精品文档】第 7 页第十二章 极限和导数第十四章 极限与导数一、 基础知识1极限定义:(1)若数列un满足,对任意给定的正数,总存在正数m,当nm且nN时,恒有|un-A|f(a)且f(c)=m,则c(a,b),且f(c)为最大值,故,综上得证。14Lagrange中值定理:若f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则存在(a,b),使证明 令F(x)=f(x)-,则F(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,且F(a)=F(b),所以由13知存在(a,b)使=0,即15曲线凸性的充分条件:设函数f(x)在开区间I内具有

2、二阶导数,(1)如果对任意xI,则曲线y=f(x)在I内是下凸的;(2)如果对任意xI,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。16琴生不等式:设1,2,nR+,1+2+n=1。(1)若f(x)是a,b上的凸函数,则x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、极限1、数列极限:(1)公式:(C为常数);(p0);.(2)运算法则:若数列和的极限都存在,则和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.例题: 将直线、(,)围成的三角形面积记为,则 . 已知和是两个不相等的正整数,且,则 习题

3、: . 设0a0);(2)运算法则:若函数和的极限都存在,则函数和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.习题: ; . 已知,且,则 .3、函数的连续性:函数在处连续的充要条件是.习题: 已知函数在x=0处连续,则 . 已知,下面结论正确的是 ( )(A)在处连续 (B) (C) (D) 若,则常数的值分别为 .三、导数1、导数的概念:(1)导数的定义:函数在处的导数.(2)导数的几何意义:曲线上点处的切线的斜率为.因此曲线在点()处的切线方程为.(3)导数的物理意义:若质点运动的位移函数为S=s(t),则时质点运动的瞬时速度是.例题: 若,则等于 . 若曲线在点处的切线与两个坐

4、标围成的三角形的面积为18,则 . 如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻露出水面部分的图形面积为,则导函数的图像大致为 已知曲线.(1) 求曲线在点处的切线方程; (2) 求曲线过点的切线方程. 求抛物线上的点到直线距离的最小值.习题: 若,则等于 . 运动曲线方程为,则t=3时的速度是 . 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 曲线在点(1,1)处的切线方程是 . 已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是 .2、导数的运算: (1)常见函数的导数:(2)导数的四则运算法则:

5、 (3)复合函数的求导法则:首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系y=f(),=f(x);然后将已知函数对中间变量求导,中间变量对自变量求导;最后求,并将中间变量代回为自变量的函数习题: 若满足,则 . 等比数列中,则 . 求下列函数的导数:(1) (2). 3、导数的应用:(1)求函数的单调性:用导数求函数单调区间的一般步骤为:求;0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;0,函数f(x)=x3ax在1,+)上是单调增函数,则a的最大值是 . 求函数()的单调性. 是否存在这样的k值,使函数在(1,2)上递减,在(2,+)上递增(2)求函数的极值:求导数;求方程=0的根;用函数的导数

6、为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则在这个根处无极值.例题: 已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值,求f(x)的极大值和极小值. 函数f(x)=x36bx+3b在(0,1)内有极小值,则b的取值范围为 . 已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,且(1)证明;(2)若z=a+2b,求z的取值范围.习题: 已知函数=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则=_ 设为实数,函数,求的极值. 设函数,求函数的极值.(3)求函数的最值:利用导数求函数的最值步骤:求在内的极值;将的各极值与、比较得出函数在上的最值.例题: 函数在区间上的最大值是 . 求抛物线上与点距离最近的点. 设函数,其中常数.(1)讨论的单调性;(2)若当时,恒成立,求的取值范围.

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