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1、2（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容3曲曲线线积积分分曲曲面面积积分分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定定义义计计算算定定义义计计算算联联系系联联系系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分4 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定二代一定 (与方向有关)5与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件
2、件等等价价命命题题6 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义联联系系计计算算一代,二换,三投(与侧无关)一代,二投,三定向 (与侧有关)7定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系8积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分9曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分曲线积分曲线积分10计算上的联系11其中其中12理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系牛顿牛顿-莱布尼茨公
3、式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式133.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式14Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系或推广推广15梯度梯度通量通量旋度旋度环流量环流量散度散度（三）（三）场论初步场论初步16二、典型例题1 计算其中L为圆周利用极坐标,原式=说明说明:若用参数方程计算,则172 计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:原式=183 计算其中是由平面 y=z 截球面所得截痕,从 z 轴
4、正向看去,沿逆时针方向.提示提示:因在上有故原式=19思路思路:闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式20解解21解解(如下图如下图)22236解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系2425解解(如下图如下图)2627288 设为简单闭曲面,为任意固定向量,证明证明:设(分量均为常数)则为的单位外法向向量,试证299 计算曲面积分其中 是球面的外侧.解解:思考思考:本题 改为椭球面时,应如何计算?3010 设 是曲面解解:取足够小的正数 ,作曲面取下侧 使其包在内,为 xoy 平面上夹于 与之间的部分,且取下侧,取上侧,计算则31测验题测验题3233343536373839测验题答案测验题答案