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1、习题课习题课习题二重积分计算习题二重积分计算一一 的解题程序的解题程序（1）画出积分域D的草图。（2）选择坐标系，主要根据积分或D的形状，有时也参看被积函数的形式，见表11-1。表11-1（3）选择积分次序选序的原则：先积分的容易，并能为后积分创造条件；对积分域D的划分，块数越少越好。（4）确定累次积分的上下限，作定积分运算。定限口诀：后积先定限,(累次积分中后积变量的上下限均为常数)限内划条线，(该直线/坐标轴且同向.)先交下限写,(上下限或者为常数或者后积分变量的函数)后交上限见。直角坐标系中积分限的确定，参看图11-2(a)、(b).直线l/y轴它先与D的边界曲线y=1(x)相交,1(x
2、)取做下限,后成D的边界曲线y=2(x)相交,2(x)取作上限,故 与以上作类似分析，可得注：一般讲，后积分的变量，积分上下限均为常数；先积分的变量，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。图11-2(b)图11-2(a)直角坐标系中积分限参看图11-2(a)、(b).解（a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因是改变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。【例1】设 ，则改变其 积分次序后为 。二二 极坐标系中积分限的确定极坐标系中积分限的确定 一般而言，极坐标系中
3、二重积分的积分次序是“先后”。即积分限随极点0与积分域D的边界曲线的相对位置而定。1.当极点当极点0在域在域D的的2.边界曲线之外时边界曲线之外时图11-3(a)2.当极点0在域D的边界线上时图11-3(b)3.当极点0在积分域D的边界线之内时图11-3(c)3.当极点0在积分域D的边界线之内时图11-3(c)三三 典型例题分析典型例题分析（1）由所给累次积分的上下限写出表示积分域）由所给累次积分的上下限写出表示积分域D的不等式组；的不等式组；（2）依据不等式组画出积分域）依据不等式组画出积分域D的草图；的草图；（3）写出新的累次积分，积分限的确定与前面所讲的相同。）写出新的累次积分，积分限的
4、确定与前面所讲的相同。三三 典型例题分析典型例题分析1.更换积分次序更换积分次序解题程序【例2】更换下列积分次序：解 （1）由积分的上下限知由D1,D2作出D的图形，见图11-4。于是故图11-4等等，一定要将其放在后面积分。凡遇如下形式积分：2.选择积分次序选择积分次序解（1）不能用有限形式表示出其结果，它不能 先积分，故图11-10X=0X=yD是以(0,0),(1,1),(0,1)为【例3】计算下列二重积分：顶点的三角形。D是由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域。（2）因为 不能用有限形式表示出其结果，所以它不能先积分，故图11-113.坐标系的选择坐标系的选择【例6】设有一曲顶柱体
5、，以双曲抛物面z=xy为顶，以xoy坐标面为底，柱面x2+y2=1外、柱面x2+y2 =2x内为侧，试求这个柱体的体积。解 由题设可知曲顶柱体在xoy平面上的投影，即积分域D如 图11-14所示，图11-14由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱 体的 体积更简单。曲线L1：=2cos，L2：=1，联立解得，图11-14【例7】求由下列曲面所围成的体积:z=x+y,z=xy,x+y=1,x=0,y=0.解 显然，由以上曲面所围的空间形体在x0y坐标上的投影是由x+y=1及x,y轴所围成的三角形，如图11-16。因而图11-16 所求体积对称性算法举例对称性算法举例例例例例1010-1-11 12 2
6、D D1 1D D1 1D D2 2D D3 3D D4 4对称性算法举例对称性算法举例例例例例1111D DD D1 1思考：思考：思考：思考：-1-1-1-11 11 111.3 二重积分的证题技巧二重积分的证题技巧一一 有关等式的证明有关等式的证明1.概念型命题的证明概念型命题的证明凡欲证结论：f(x,y)=0的命题，多数用反证法。【例13】设f(x,y)是平面域D上的连续函数，且在D的任何一个子域上，恒有 ，则在D内证 用反证法 设有一点不妨设由f(x,y)的连续性，可知一个 的领域 使得在其中f(x,y)0，于是，由积分中值定理，必积，又因与假设矛盾，即知在D内有f(x,y)2.累次
7、积分型的命题的证明累次积分型的命题的证明证题思路：证题思路：证题过程中，常用到重积分对积分域的可加性，对积分变量的无关性。【例14】设f(x)在0,a(a 0)上连续，试证：证图11-22习题课习题课本习题课本习题课重点重点 复习并掌握在复习并掌握在不同坐标系下化三不同坐标系下化三重积分为三次积分重积分为三次积分的定限方法。的定限方法。问题问题问题问题1 11.1.直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标先先先先z z次次次次y y后后后后x x先先先先y y次次次次x x后后后后z z先先先先x x次次次次y y后后后后z z先先先先x x次次次次z z后后后后y y2.2.柱面坐标柱面坐标柱面坐标
8、柱面坐标先先先先z z次次次次r r后后后后 3.3.球面坐标球面坐标球面坐标球面坐标先先先先 次次次次 后后后后 请自作草图！请自作草图！请自作草图！请自作草图！问题问题问题问题2 21.1.直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标先先先先z z次次次次y y后后后后x x先先先先y y次次次次x x后后后后z z先先先先x x次次次次y y后后后后z z先先先先x x次次次次z z后后后后y y2.2.柱面坐标柱面坐标柱面坐标柱面坐标先先先先z z次次次次r r后后后后 3.3.球面坐标球面坐标球面坐标球面坐标先先先先 次次次次 后后后后 问题问题问题问题3 31.用柱面坐标时，用柱面坐标时，f
9、与与应满足：应满足：2.用球面坐标时，用球面坐标时，f 与与应满足：应满足：z zy ya ax xa aa/2a/2h ho o练练练练习习习习题题题题1 1D Dxyxyx xz zy ya ax xa aa/2a/2h ho oD Dxzxzx xz zy ya ax xa aa/2a/2h ho oD DyzyzD Dyzyz(1)(1)D Dyzyz(2)(2)y y2 2y y1 1a/2a/2z zy yo ox xx x=1=1y y=x xz z=xyxy1 1练习题练习题练习题练习题2 2问题问题问题问题1 1问题问题问题问题3 3问题问题问题问题2 2问题问题问题问题4
10、4问题问题问题问题5 5问题问题问题问题6 6双曲抛物面双曲抛物面(鞍面鞍面)D Dxyxy见右图见右图先先z次次y后后x略！略！练习题练习题练习题练习题3 3问题问题问题问题1 1问题问题问题问题3 3问题问题问题问题2 2问题问题问题问题4 4(1)(1)柱坐标；柱坐标；柱坐标；柱坐标；(2)(2)直角坐标的先二后一直角坐标的先二后一直角坐标的先二后一直角坐标的先二后一(1)(1)柱坐标：柱坐标：柱坐标：柱坐标：(2)(2)直角坐标的先二后一：直角坐标的先二后一：直角坐标的先二后一：直角坐标的先二后一：略！略！1 1o oz zy yx xD Dxyxy-1-11 11 1r入入入入出出出
11、出z z1 1o oz zy yx xz z2 2z z1 1z z1 1z z2 2略！略！2 2o oz zy yx x练习题练习题练习题练习题4 4问题问题问题问题1 1问题问题问题问题3 3问题问题问题问题2 2问题问题问题问题4 4用柱坐标和先用柱坐标和先用柱坐标和先用柱坐标和先2 2后后后后1 1问：问：I=？o oz zr2 22 2o oz zy yx xz zD Dz z显然，先显然，先显然，先显然，先2 2后后后后1 1较难较难较难较难练习题练习题练习题练习题5 5问题问题问题问题1 1问题问题问题问题3 3问题问题问题问题2 2问题问题问题问题4 4球坐标球坐标略！略！z
12、 zy yx xa ao o练习题练习题练习题练习题6 6问题问题问题问题1 1问题问题问题问题4 4问题问题问题问题3 3问题问题问题问题5 5问题问题问题问题2 2略！略！球坐标球坐标a aD Dxyxy-a-aa aa a入点入点入点入点出点出点出点出点此题还可以用先此题还可以用先此题还可以用先此题还可以用先2 2后后后后1 1法来做。法来做。法来做。法来做。z zy yx xo o1/21/2练习题练习题练习题练习题7 7问题问题问题问题1 1问题问题问题问题3 3问题问题问题问题2 2问题问题问题问题4 4球坐标球坐标(草图如下草图如下草图如下草图如下)略！略！1/21/2D Dxy
13、xy-1/2-1/21/21/21/21/2入点入点入点入点出点出点出点出点练习题练习题练习题练习题8 8问题问题问题问题1 1问题问题问题问题3 3问题问题问题问题2 2问题问题问题问题4 4问题问题问题问题5 5略！略！直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系练练练练习习习习题题题题9 9问题问题问题问题1 1问题问题问题问题3 3问题问题问题问题2 2问题问题问题问题4 4球坐标；柱坐标；直角坐标先球坐标；柱坐标；直角坐标先球坐标；柱坐标；直角坐标先球坐标；柱坐标；直角坐标先2 2后后后后1 1o oz zy yx xR R/2/2R RR R-R-RR Rz z略！略！o oz zy yx xR R/2/2R RDzDz1 1z z1 1DzDz2 2z z2 2返回主页（返回主页（返回主页（返回主页（RETURNRETURN）本习题课结束本习题课结束