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1、有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1 二重积分习题课二重积分习题课3 3、性质、性质 一、内容提要一、内容提要（一）二重积分的概念、性质（一）二重积分的概念、性质1 1、定义、定义2 2、几何意义：曲顶柱体的体积、几何意义：曲顶柱体的体积 01( , )lim(,)niiiiDf x y df 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2（二）二重积分的计算（二）二重积分的计算 1 1 、
2、直角坐标系中直角坐标系中(1) 积分区域积分区域D的类型的类型：X型区域型区域，Y型区域型区域, ,一般区域分划。一般区域分划。o a b xyD)(2xy )(1xy Dyoxdc)(1yx )(2yx 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。3 积分区域的不等式表示的是二重积分化为积分区域的不等式表示的是二重积分化为二次积分确定积分限的基本依据。二次积分确定积分限的基本依据。 (2) (2) 积分顺序的确定积分顺序的确定 先积先积y还是先积还是先积x，要结合被积函数要结合被积函数f (x,
3、y)及积及积分区域两个方面的特点加以考虑。分区域两个方面的特点加以考虑。 如仅从积分区域的特点看如仅从积分区域的特点看，D是是X 型区域时先型区域时先积积y；D是是Y 型区域先积型区域先积x。 首先是首先是“能积出能积出”，其次是，其次是“易积出易积出”。 D既是既是X 型区域又是型区域又是Y 型区域时型区域时, ,选定限时选定限时不需分块或分块较少的积分顺序。不需分块或分块较少的积分顺序。 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。412( )( ):,xyxDaxb 若若则则 )()(21)
4、,(),(xxbaDdyyxfdxdyxf 12( )( ):,yxyDcyd 若若则则 )()(21),(),(yydcDdxyxfdydyxf o a b xyD)(2xy )(1xy Dyoxdc)(1yx )(2yx 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。5 (3) (3) 交换积分顺序交换积分顺序2 2、利用极坐标计算二重积分、利用极坐标计算二重积分 由所给的二次积分的顺序及积分限，确定由所给的二次积分的顺序及积分限，确定积分区域积分区域 D D（画出图形），再按新的积分顺序（画出
5、图形），再按新的积分顺序将将D D用新的不等式表出，即定出新的积分限。用新的不等式表出，即定出新的积分限。 (1) 积分顺序通常是先积分顺序通常是先 r后后 (2) D的极坐标表示的极坐标表示 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。6(1)D极极点点在在 外外12:( )( ),Dr (2)D极极点点在在 的的边边界界上上时时 ),(0:rD(3)D极极点点在在 的的内内部部时时 20),(0: rD 如如D的边界是由直角坐标方的边界是由直角坐标方程程: :y =f (x) 给出，通常可从几
6、何给出，通常可从几何意义去确定意义去确定D的极坐标表示（图的极坐标表示（图形是重要的）或利用形是重要的）或利用x=rcos ，y=rsin 进行变换进行变换。1( )r 2( )r OxD )( roxDOxD )( r有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。7(3)坐坐标标系系的的选选取取,DD当当 的的边边界界用用极极坐坐标标表表示示比比较较简简单单或或 是是圆圆域域、圆圆的的一一部部分分时时22()yxf xyffxy 当当被被积积函函数数形形如如、时时可可考考虑虑选选用用极极坐坐标标系
7、系。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。8（三）有关二重积分的对称性的应用（三）有关二重积分的对称性的应用 Ddyxf ),(1、若若D关于关于y轴对称轴对称其中其中D1是是D的右半区域的右半区域 即当即当(x,y)D时，必有时，必有( x,y) D，则则10, (, )( , )2( , ), (, )( , )Dfx yf x yf x y dfx yf x y 当当时时当当时时有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围
8、，依赖既开放又相互信任的合作环境。92、若若D关于关于x轴对称轴对称10, ( ,)( , )2( , ), ( ,)( , )Df xyf x yf x y df xyf x y 若若若若D1是是D的上半部分区域的上半部分区域 即当即当(x,y)D时，必有时，必有(x, y) D，则则 Ddyxf ),(有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1010, (,)( , )2( , ), (,)( , )Dfxyf x yf x y dfxyf x y 若若若若3、若若D关于原点对称，关于原点
9、对称，即当即当(x,y) D时，必有时，必有( x, y) D，则则 Ddyxf ),(其中其中D1是是D的上半部分（或右半部分）区域。的上半部分（或右半部分）区域。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。11 Ddyxf ),(（四）有关二重积分的一些证明题（四）有关二重积分的一些证明题4、若若D关于直线关于直线 y =x对称对称，即当即当(x,y)D时，必有时，必有(y,x)D，则则 Ddxyf ),( Ddxyfyxf ),(),(21 中值定理、变上限积分、换元等中值定理、变上限积分、
10、换元等 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。12( , )f x y解解 函函数数连连续续2222( , )(2)xyf x yyxye( , )(1,2,3)kkDIf x y dk 123,III试试比比较较之之大大小小。1231(0,1),2,1DD DD设设是是以以为为中中心心 边边长长为为 的的正正方方形形分分别别为为的的内内例例切切圆圆和和外外接接圆圆y12xo因为在因为在D2内部内部f (x,y) 0;所以有所以有I3 I1 I2（也可用（也可用“ ”）。）。 在在D2外部外
11、部f(x,y)022)1(1 ),(22yxeyxyxf 1D2D3D有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1322220( , ):1,lim( , )2aDf x yD xyaf x y dxdya 设设是是有有界界闭闭域域上上的的连连续续函函数数 则则求求极极限限例例。利利用用积积分分解解中中值值定定理理 Dadxdyyxfa),(1lim20 Ddxdyyxfa),(12 ),(12fa 22),(1afa ),(),(Df ),(lim0 fa ( , )f x y是是连连续续函函
12、数数 。)0 , 0(f 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。142( , ),:1,311Df x y dD xyx 把把表表为为极极坐坐标标下下的的二二次次积积分分其其中中例例。解解 D的图形如下的图形如下,将将D分成分成三个部分区域。三个部分区域。;40 ,cossin0:21 rD;434,sin10:2 rD 43,cossin0:23rD111 1D2D3DxOy有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既
13、开放又相互信任的合作环境。15111 xOy1D2D3D Ddyxf ),( 2cossin040)sin,cos(rdrrrfd 31),(iDidyxf sin10434)sin,cos(rdrrrfd。 2cossin043)sin,cos(rdrrrfd有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。16222,:,1,0yDedxdy Dyx xy （ ）所所围围。例例4 计算下列二重积分计算下列二重积分3(1)sin,:,1,0Dx dxdy D xy xy 所所围围。解解 (1) D的图
14、形如右。的图形如右。应先积应先积y 20310sinxdyxdxI 1032sindxxx103cos31x 。)1cos1(31 xOyyx 特点选择积分顺序特点选择积分顺序根据被积函数的根据被积函数的有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。17xOyyx 10 , 1:2 yxyD222,:,1,0yDedxdy Dyx xy （ ）所所围围。应先积应先积x 121022yydxedyI 10210222yydeydye 102102102222 dyeyedyeyyy。21 e 1022
15、2)1(dyeyy1022yye 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。182200,5axdxxy dy 把把积积分分化化为为极极坐坐标标形形式式例例并并计计算算积积分分值值。解解 积分区域积分区域D如图所示如图所示:用用极极坐坐标标表表示示为为;40 ,cos0: arD xadyyxdxI02204cos00adr rdr yxoa Ddyx 22 4033cos3 da 4033sec3 da有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中
16、心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。19 ddtansectantansecsec3 ddsecsectansec3Cd tansecln21tansec21sec3于于是是 。)12ln(26)12ln(221333 aaI有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。202,(sin ):(02 )(1cos )6DIy dxdyDxxa ttLtyat 计计算算其其中中 是是由由 轴轴和和摆摆线线的的一一拱拱所所围围成成例例的的区区域域。解解yo2ay=y(x)xa a 2 20
17、33)cos1()cos1(31dttata )(0220 xyadyydxI adxxy 203)(31 208442sin23dtta)2(sin332084tuudua 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。21 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnnnnnn,! !)!1(3254231,2! !)!1(22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数附录附录: :有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客
18、价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。222214365873643 a。41235a 2084sin364 tdta84364Ia )(0220 xyadyydxI )2(sin332084tuudua 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。23例例7 7 计算下列二重积分计算下列二重积分( (注意利用对称性注意利用对称性) ) )0(2:,)()1(22222 aayyxayyxDdyxD 。1, 20:,)3( yxDdxdyyxD。)0, 0(:,)()2(2
19、222222 baRyxDdbyaxD 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。242(1)()Dxyd 解解D2aOaxy,Dy因因为为区区域域 关关于于 轴轴对对称称所所以以。 Dxyd02 DDdyxdyx )()(222)0(,2:2222 aayyxayyxD为为奇奇函函数数，关关于于xxy2 Ddyxyx )2(22有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2522,xyx 又又因因
20、为为关关于于为为偶偶函函数数 1)(222Ddyx 2044sin215 da DDdyxdyx )()(222 sin2sin2202aardrrd 204444)sinsin16(42 daa221432154 a。32454a D2aOaxy10,DDx 若若设设为为 中中的的部部分分 则则有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。26,)()2(2222 Ddbyax 222:RyxD DoxyR,Dxy因因为为积积分分区区域域关关于于轴轴轴轴 原原点点都都对对称称 所所以以有有 DDd
21、ydxI 22。 Ddyx )(2122 Ddbyax )(2222 DDdybdxa 222211Iba)11(22 Ddyxba )(21)11(2222有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。27DoxyR Ddbyax )(2222 Rrdrrdba022022)11(21 Ddyxba )(21)11(2222 24)11(21422 Rba。4)11(422Rba 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开
22、放又相互信任的合作环境。28 DdxdyyxI y=xy= x122 DDxy dxdyD关于关于x轴对称，被积函轴对称，被积函数关于数关于y为偶函数为偶函数。用直线用直线y =x、y = x 、 y =0将将D分成四个小区域分成四个小区域。 Ddxdyyx,)3(D2D4D1D3。1, 20: yxDo 1xy21有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。29 y=xy= xD2D4D1D3o 1xy21 DdxdyyxI122 DDxy dxdy 21011022yxdxyxdydyxydx
23、 1222DDdxdyyxdxdyxy。21532 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。302231sin(),1,18,DIxyf xydxdyDyxyxf 计计算算其其中中是是由由所所围围区区例例域域为为连连续续函函数数。解法一解法一 利用对称性。利用对称性。D1D2 D1关于关于y轴对称轴对称 D2关于关于x轴对称轴对称作曲线作曲线y =x3，将区域将区域D分成两部分分成两部分D1 和和D2y 1 o 1 x 因为连续函数因为连续函数 xsiny f (x2+y2) 关于变量关于变量
24、 x、y 分别分别都是奇函数都是奇函数， x 关于变量关于变量 x 是奇函数，所以有是奇函数，所以有有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。310)(sin122 Ddxdyyxyfx0)(sin222 Ddxdyyxyfx Dxdxdy 3301xxxdydx01 Dxdxdy 2Dxdx 0142dxx。52 dxdyyxyfxID )(sin122dxdyyxyfxdxdyxDD )(sin22 21DDxdxdyD1D2y 1 o 1 x 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的
25、创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。32解法二解法二 设设F(u)是是f (u)的一个原函数的一个原函数， Ddxdyyxyfx)(sin22 3112211)(sinydxyxyfxdy= = 025DIxdxdy 所所以以。（被积函数为奇函数）（被积函数为奇函数） ()y不不能能先先积积y 1 o 1 x dyyxyFy 1112231)(sin21dyyFyyFy 112232)1()(sin21有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合
26、作环境。332( , ),0,9,1,f x yDyyxx 设设连连续续是是由由所所围围成成的的区区域域例例且且有有D积积分分区区域域 如如解解图图所所示示。,( , ),Df x y因因为为 是是一一有有界界闭闭区区域域连连续续 所所以以( , )Df x y dxdyI 为为一一定定值值 。)1(),(),( Ddxdyyxfxyyxf( , )f x y求求。xOy2yx 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。34( , ),DIf x y dxdy 设设则则 Ddxdyyxfxyyx
27、f),(),(Ixy DdxdyIxyI)( DDdxdyIxydxdy,81 I 31102 dxxdxdyD1212010 xDxydydxxydxdy从从而而得得。81),( xyyxfxOy2 yx有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。35证明证明 区域区域D如图所示。如图所示。10( ),1,0f x dxA f 已已知知为为连连续续函函数数例例求求证证 Ddxdyyfxf)()(将所给二次积分写成将所给二次积分写成二重积分二重积分，有有 再将所给的二次积分中再将所给的二次积分中x
28、、y对换对换2)()(2110AdyyfxfdxIx xyoD 110)()(xdyyfxfdxI有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。36xyoD Ddxdyyfxf)()( 110)()(xdyyfxfdxI 110)()(ydxxfyfdy )()(Ddxdyyfxf)()()()(21 DDdyfxfdyfxfI )()(21DDdxdyyfxf 1010)()(21dyyfdxxf22A D 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为
29、中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。37 也可借用也可借用原函数原函数证明：设证明：设F(x)是是f (x)的一个原的一个原函数，则函数，则 101)()(dxyFxfx 1010)()()()1(dxxfxFdxxfF102)(21)0()1()1(xFFFF )0(21)0()1()1(2122FFFF 2)0()1(21FF 10)()1()(dxxFFxf。22A 110)()(xdyyfxfdxI)0()1()(10FFdxxfA 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环
30、境。38,11( )f x设设的的三三阶阶导导数数连连续续例例且且,21)2(, 1)0()0()0( ffff试试计计算算积积分分。dyyfyxdxIx)()2)(2(020 解解 积分区域如图积分区域如图xyoDdxyfyxdyy)()2)(2(220 dxxdyyfyy 220)2()()2(dyyfyxdxIx)()2)(2(020 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。39dxxdyyfyy 220)2()()2( 202)2)(32dyyyfdyyfyxdxIx)()2)(2(0
31、20 2023)2(32)()2(dyyyfyxyoD)()2(2)()2(3220202 dyyfyyfy)(2)()2(24322020 dyyfyfy)(2443220yf 。6 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。40( ) ,12,f xa b设设为为闭闭区区间间上上的的连连续续函函数数试试利利用用二二重重积积分分证证例例明明不不等等式式证明证明 选择积分区域如右选择积分区域如右 babadxxfabdxxf)()()(22Dxyoaabb,2移移项项后后 消消去去。 babad
32、xxfabdxxf)()()(22dyyfxfdxbaba 2)()(0dyyfyfxfxfdxbaba )()()(2)(22 babababababadyyfdxdyyfxfdxdyxfdx)()()(2)(2222)(2)()(2 babadxxfdxxfab有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。41例例13 设设f (x)是是0，1上的正值连续函数，且上的正值连续函数，且单调减少，求证单调减少，求证1122001100( )( )1( )( )xfx dxfx dxxf x dxf
33、x dx （ ）证明证明 在题设条件下，在题设条件下，1（ ）式式 10102101020)()()()(dxxxfdxxfdxxxfdxxf DdxdyyfxyfyfxyfI)()()()(22）（20)()( )()( dxdyyfxfyfxyfDxyo11有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。42将上式中的将上式中的x、y对换，有对换，有 DdydxxfyxfxfyxfI)()()()(22dxdyxfyfxfyxfD)()( )()( 。其其中中10 , 10: yxDxyo110)
34、()( )()( dxdyyfxfyfxyfID Ddxdyxyyfxfyfxf)()()()(21由于由于f (x)单调减且正值，知有单调减且正值，知有0)()()()( xyyfxfyfxf所以所以I 0，即，即(1)式成立。式成立。 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。43222() ( )() ( )0,0,( ), ,4,1zaxzby xyRzta b R 空空间间区区域域由由曲曲面面、柱柱面面平平面面所所围围 其其中中是是一一正正值值连连续续函函数数为为正正常常数数 求求所所围围立立例例体体的的体体积积。() ( )() ( )0, ( )0zaxzbyt 解解 DdxdyyxybxaV)()()()( 又因为又因为D关于直线关于直线y = x对称，于是有对称，于是有0)()()()( yxybxaz 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。44 Ddxdyxyxbyayxybxa)()()()()()()()(21 Ddxdyba)(21。2)(2Rba DdxdyyxybxaV)()()()(