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1、13-3 Cauchy3-3 Cauchy积分公式和高阶导数公式积分公式和高阶导数公式一、解析函数的一、解析函数的CauchyCauchy积分公式积分公式二、解析函数的高阶导数定理二、解析函数的高阶导数定理21.1.问题的提出问题的提出根据根据闭路变形原理闭路变形原理知知,该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线C的变化而改变的变化而改变,求这个值求这个值.一、解析函数的一、解析函数的CauchyCauchy积分公式积分公式342.2.Cauchy积分公式积分公式Cauchy积分公式积分公式定理定理1 18定理定理1 1对于由对于由 条围线所围成的复连通条围线所围成的复连通区域仍然有效区域仍然有效
2、定理定理1 1从揭示解析函数的性质、表示解析函数及从揭示解析函数的性质、表示解析函数及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示提供计算积分的方法等三方面给我们以启示定理定理1 1为我们提供了计算如（为我们提供了计算如（*）式左端的积分的）式左端的积分的方法方法这类积分的特征是这类积分的特征是:积分路径是围线积分路径是围线,被积函数为一被积函数为一分式分式,它在积分路径内部只含一个奇点它在积分路径内部只含一个奇点,且该奇点是且该奇点是使分母使分母为零的点为零的点,而在积分路径上无被积函而在积分路径上无被积函数的奇点数的奇点（*）9关于关于Cauchy积分公式的说明积分公式的说明:(1)把函数在把函
3、数在C内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的值表示值表示.（这是解析函数的一个重要特征）（这是解析函数的一个重要特征）(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法分的一种方法,而且给出了解析函数的一个而且给出了解析函数的一个积分表达式积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)10例例1 1解解由由Cauchy积分公式积分公式11例例2 2解解由由Cauchy积分公式积分公式12例例3 3 计算积分计算积分 解解首先，识别积分的类型它是具有（首先，识别积分的类型它是具有（*）式左端积分）式左端积分的特征
4、的那类积分的特征的那类积分其次，将所求积分与（其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同由此想）式左端的积分相同由此想到利用（到利用（*）式计算积分）式计算积分最后，经验证，所求积分满足最后，经验证，所求积分满足定理定理1的条件，于是，的条件，于是，由（由（*）式得）式得13解解首先，识别积分类型它是具有（首先，识别积分类型它是具有（*）式左端积分的特）式左端积分的特征的那类积分征的那类积分其次，将所求积分与（其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较，在形式）式左端的积分比较，在形式上是不一样的但是，如
5、果将它变形为上是不一样的但是，如果将它变形为例例4 4 计算积分计算积分 那么在形式上与（那么在形式上与（*）式左端的积分一样由此利用（）式左端的积分一样由此利用（*）式计算式计算最后，经验证所求积分满足最后，经验证所求积分满足定理定理1的条件，于是由的条件，于是由（*）式得）式得1414例例5 5计算积分计算积分 被被积积函数在函数在积积分路径内部含有两个奇点分路径内部含有两个奇点与与作作，有，有计算上式右端两个积分计算上式右端两个积分 故故15观察下列等式观察下列等式问题：问题：解析函数的导函数一定为解析函数？解析函数的导函数一定为解析函数？若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？若是，则其
6、导函数可否用一公式来表示呢？16高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而在于而在于通过求导来求积分通过求导来求积分.二、解析函数的高阶导数定理定理定理2 223推论：推论：若函数若函数在点在点解析，则存解析，则存在点在点的一个邻域的一个邻域，使得在该邻域内，使得在该邻域内有有任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数和和的各阶偏导数不仅存在而且都连的各阶偏导数不仅存在而且都连续。续。证明：证明：由函数在点由函数在点解析知：可作一圆盘解析知：可作一圆盘使得使得在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理在该
7、闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理2。24例例6 6计算积分计算积分解：由解：由高高阶导阶导数公式数公式25解解首先，识别积分的类型它是具有（首先，识别积分的类型它是具有（*）式左端积分的）式左端积分的特征的那类积分特征的那类积分其次，将所求积分与（其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同由此想到）式左端的积分相同由此想到用（用（*）式计算积分）式计算积分最后，经验证，所求积分满足最后，经验证，所求积分满足定理定理2的条件，由（的条件，由（*）式得式得例例7 7计算积分计算积分26例例8 8 （1 1
8、）（2 2）解解 （1 1）函数函数 的奇点的奇点 在圆在圆 的内部，而其它的两个奇点在左半平面的内部，而其它的两个奇点在左半平面 ，从而，从而在该圆的外部。于是函数在该圆的外部。于是函数 在闭圆盘在闭圆盘 上解析，由上解析，由定理定理2 2 可得：可得：（2 2）同理）同理 其中其中在闭圆盘在闭圆盘 上解析，因此上解析，因此27例例9 9解解2829典型例题典型例题例例解解由由Cauchy积分公式积分公式31例例解解32例例解解33由由复合闭路定理复合闭路定理,得得例例解解37例例解解由由Cauchy积分定理积分定理得得由由Cauchy积分公式积分公式得得3839例例解解40根据根据复合闭路原理和高阶导数公式复合闭路原理和高阶导数公式,4142课堂小结：课堂小结：1.掌握掌握柯西积分公式；柯西积分公式；2.2.掌握掌握解析函数的高阶导数公式，解析函数的高阶导数公式，了解解析函数无限次可导的性质了解解析函数无限次可导的性质.43第第三三章章作业：作业：P992.5.6.（1）（）（2）7.（1）（）（2）（3）（）（5）（）（9）8.（1）（）（4）9.（2）（）（3）（）（5）10.30.（1）（）（3）