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1、投资学投资学 第第13章章投资分析（投资分析（4）：）：Black-Scholes 期期权定价模型权定价模型10/27/20221概概 述述Black、Scholes和和Merton发现了看涨期权发现了看涨期权定价公式，定价公式，Scholes和和Merton也因此获得也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖年的诺贝尔经济学奖模型基本假设模型基本假设8个个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。化。标的股票不支付红利标的股票不支付红利期权为欧式期权期权为欧式期权10/27/20222无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷无交易费用：股票市场、期权市场、
2、资金借贷市场市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率均为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票的标的股票对卖空没有任何限制对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗的变化为几何布朗运动运动10/27/20223B-S模型证明思路模型证明思路ITO引理引理ITO过程过程B-S微分方程微分方程B-S买权定价公式买权定价公式10/27/2022413.1 维纳过程维纳过程根据有效市场理论，股价、利率和汇率具根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有
3、随机游走性，这种特性可以采用有随机游走性，这种特性可以采用Wiener process，它是，它是Markov stochastic process的一种。的一种。对于随机变量对于随机变量w是是Wiener process，必须，必须具有两个条件：具有两个条件：1.在某一小段时间在某一小段时间t内，它的变动内，它的变动w与时段满与时段满足足t10/27/20225（）（）2.在两个不重叠的时段在两个不重叠的时段t和和s,wt和和ws是独立的，这是独立的，这个条件也是个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！过程的条件，即增量独立！（）（）有效市场有效市场10/27/20226满足上述两个条
4、件的随机过程，称为维纳满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有过程，其性质有当时段的长度放大到当时段的长度放大到T时（从现在的时（从现在的0时刻时刻到未来的到未来的T时刻）随机变量时刻）随机变量wt的满足的满足10/27/20227证明：证明：10/27/20228在连续时间下，由（）和（）得到在连续时间下，由（）和（）得到（）（）（）（）所以，所以，概率分布的性质概率分布的性质以上得到的随机过程，称为维纳过程。以上得到的随机过程，称为维纳过程。10/27/2022913.2 ITO定理定理一般维纳过程一般维纳过程(Generalized Wiener process)可表示为可表示
5、为（）（）显然，一般维纳过程的性质为显然，一般维纳过程的性质为10/27/202210一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当漂移率和方差率为常数不恰当若把变量若把变量xt的漂移率的漂移率a和方差率和方差率b当作变量当作变量x和和时间时间t的函数，的函数，扩展后得到的即为扩展后得到的即为ITO过程过程10/27/202211B-S 期权定价模型是根据期权定价模型是根据ITO过程的特例几何过程的特例几何布朗运动来代表股价的波动布朗运动来代表股价的波动省略下标省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程，变换后得到几何布朗
6、运动方程（）（）证券的预期回报与其价格无关。证券的预期回报与其价格无关。10/27/202212ITO定理：假设某随机变量定理：假设某随机变量x的变动过程可由的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标过程表示为（省略下标t）令令f(x,t)为随机变量为随机变量x以及时间以及时间t的函数，即的函数，即f(x,t)可可以代表以标的资产以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则的衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可以表示为的价格变动过程可以表示为（）（）10/27/202213证明：将（）离散化证明：将（）离散化由（）知由（）知利用泰勒展开，忽略高阶段项，利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)
7、可以展开为可以展开为（）（）10/27/202214在连续时间下，即在连续时间下，即因此，（）可以改写为因此，（）可以改写为（）（）从而从而10/27/202215即即x2不呈现随机波动！不呈现随机波动！（）（）10/27/202216由（）可得由（）可得（）（）由（）得到由（）得到（）（）10/27/202217 由于由于x2不呈现随机波动，所以，其期望值不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即就收敛为真实值，即当当t0时时，由（）可得由（）可得10/27/20221813.3 B-S微分方程微分方程假设标的资产价格变动过程满足假设标的资产价格变动过程满足这里这里S为标的资产当前的价
8、格，令为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证代表衍生证券的价格，则券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可由的价格变动过程可由ITO引理近引理近似为似为10/27/202219假设某投资者以假设某投资者以份的标的资产多头和份的标的资产多头和1 1个单位的个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且衍生证券空头来构造一个组合，且满足满足则该组合的收益为则该组合的收益为10/27/202220下面将证明该组合为无风险组合，在下面将证明该组合为无风险组合，在t时时间区间内收益为间区间内收益为10/27/202221注意到此时注意到此时不含有随机项不含有随机项w，这意味着该组，这意味着该组合是无风险
9、的，设无风险收益率为合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于，且由于t较较小（不采用连续复利），则小（不采用连续复利），则整理得到整理得到10/27/202222B-S微分方程的意义微分方程的意义衍生证券的价格衍生证券的价格f，只与当前的市价，只与当前的市价S，时间，时间t，证券，证券价格波动率价格波动率和无风险利率和无风险利率r有关，它们全都是客观有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对对f的值产生影响。的值产生影响。在对衍生证券定价时，可以采用在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价风险中性定价，即，即所有证券的预期收益
10、率都等于无风险利率所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微微分方程求出价格分方程求出价格f。10/27/202223若股票价格服从几何布朗运动若股票价格服从几何布朗运动设当前时刻为设当前时刻为t，则，则T时刻股票价格满足对时刻股票价格满足对数正态分布，即数正态分布，即13.4 几何布朗运动与对数正态分布几何布朗运动与对数正态分布10/27/202224令令则则这样由伊藤引理得到这样由伊藤引理得到即即10/27/202225由（）由（）10/27/202226则称则称ST服从对数正态分布，其期望值为服从对数正
11、态分布，其期望值为所以所以10/27/20222713.5 B-S买权定价公式买权定价公式 对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日（买权）的在定价日t的定价公式为的定价公式为10/27/202228（1）设当前时刻为）设当前时刻为t，到期时刻，到期时刻T，若股票，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为的股票价格为St,则则T时刻的股票价格的期时刻的股票价格的期望值为望值为B-S买权定价公式推导买权定价公式推导（）（）10/27/202229（）（）由（）和（）得到由（）和（）得到（
12、）（）根据根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则则这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。融资产的回报率均为无风险利率。10/27/202230（2）在）在风险中性的条件下风险中性的条件下，任何资产的贴现率为，任何资产的贴现率为无风险利率无风险利率r，故买权期望值的现值为，故买权期望值的现值为（）（）10/27/202231由于由于ST服从对数正态分布，其服从对数正态分布，其pdf为为（）（）第第1项项第第2项项
13、将将由由(13.16)得到得到10/27/202232（3）化简（）中的第）化简（）中的第1、2项，先化简第项，先化简第1项项（）（）当前时刻价格，不是变量当前时刻价格，不是变量10/27/202233（）（）10/27/202234 将（）与（）内的第将（）与（）内的第2个指数项合并，即个指数项合并，即（）（）10/27/202235将（）代入（）将（）代入（）下面，将利用变量代换来简化下面，将利用变量代换来简化（），不妨令（），不妨令（）（）10/27/20223610/27/202237y的积分下限为的积分下限为y的积分上限为的积分上限为10/27/202238将将dy与与y代入（），即
14、有代入（），即有这样就完成了第这样就完成了第1项的证明。项的证明。（）（）10/27/202239下面证明下面证明B-S公式中的第公式中的第2项，项，首先进行变量代换，令首先进行变量代换，令10/27/202240则则z的积分下限的积分下限z的积分上限的积分上限10/27/202241将将z和和dz代入代入（）（）10/27/202242则由（）和（）得到则由（）和（）得到其中其中10/27/202243pr0dN(d)例如例如:当当d时时,N(d)913.5%10/27/202244B-S买权公式的意义买权公式的意义N(d2)是在风险中性世界中是在风险中性世界中ST大于大于X的概率，的概率，
15、或者说式欧式看涨期权被执行的概率。或者说式欧式看涨期权被执行的概率。e-r(T-t)XN(d2)是是X的风险中性期望值的现值。的风险中性期望值的现值。SN(d1)=e-r(T-t)ST N(d1)是是ST的风险中性期望值的风险中性期望值的现值。的现值。10/27/202245其次，其次，是复制交易策略中股票的数是复制交易策略中股票的数量，量，SN（d1)就是股票的市值就是股票的市值,-e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。则是复制交易策略中负债的价值。假设两个假设两个N(d)均为均为1，看涨期权价值为，看涨期权价值为St-Xe-rT，则没有不确定性。如果确实执行了，我们就，
16、则没有不确定性。如果确实执行了，我们就获得了以获得了以St为现价的股票的所有权，而承担了为现价的股票的所有权，而承担了现值现值Xe-rT的债务。的债务。期权的价值关于标的资产的价格及其方差，期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等以及到期时间等5个变量的非线性函数个变量的非线性函数Ct=f(St,X,r)的函数的函数，具有如下性质，具有如下性质10/27/202246FactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to
17、expirationincreasesInterest rate increasesDividend RatedecreasesFactors Influencing Option Values:CallsSo=100X =95r =0.10T=0.25(quarter)d1=ln(100/95)+(0.10+(0 5 2/2)/(0 5 0 0.251/2)d2=0.43+(0 50 0.251/2)，N(0.18)=0.5714Call Option Example10/27/202248Co=SoN(d1)-Xe-rTN(d2)Co=100 X.6664-95 e-.10 X.25 X.
18、5714 Co P=Xe-rT 1-N(d2)-S0 1-N(d1)Call Option Value10/27/20224913.6 看跌期权的定价看跌期权的定价利用金融工程的原理来看待期权平价关系利用金融工程的原理来看待期权平价关系考虑如下两个组合：考虑如下两个组合：组合组合A：一份欧式看涨期权加上金额为：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金的现金组组合合B：一一份份有有效效期期和和协协议议价价格格与与看看涨涨期期权权相相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产同的欧式看跌期权加上一单位标的资产10/27/202250组合组合A到期时刻到期时刻T的收益的收益组合组合B到期时刻到期时刻T的收益的收益
19、两个组合具有相同的价格，且由于欧式期权不能两个组合具有相同的价格，且由于欧式期权不能提前执行，则在提前执行，则在t时刻两个组合价值相等，否则就时刻两个组合价值相等，否则就有套利，即有套利，即此为看涨看跌期权平价公式。此为看涨看跌期权平价公式。10/27/202251从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标都进行了负向变换，是关于纵向对称的。都进行了负向变换，是关于纵向对称的。10/27/202252标的资标的资产价格产价格期权价值期权价值10/27/20225313.7 有收益资产的欧式期权定价有收益资产的欧式期权定价当标的证券已知收益的现值为当标的证券
20、已知收益的现值为I时，我们只时，我们只要用（要用（StI）代替）代替B-S公式中的公式中的St当标的证券的收益为按连续复利计算的固当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率定收益率q（单位为年）时，我们只要将（单位为年）时，我们只要将10/27/202254对于欧式期货期权，其定价公式为对于欧式期货期权，其定价公式为其中：其中：F为到期日期货的价格，即付出为到期日期货的价格，即付出X，得到，得到一个价值为一个价值为F的期货的期货10/27/202255根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项DeltaThetaVegaRhoGamma13.
21、8 B-S公式的边际分析公式的边际分析10/27/202256命题：欧式看涨期权的命题：欧式看涨期权的Delta=N(d1)10/27/20225710/27/202258利用利用Delta进行套期保值进行套期保值某人出售某人出售10份看涨期权并且持有份看涨期权并且持有6股股票，股股票，根据的套期比率，股票价格每升高根据的套期比率，股票价格每升高1美元，美元，股票的收益增加股票的收益增加6美元，同时看涨期权则损美元，同时看涨期权则损失失100.6美元，即美元，即6美元。可见股票价格美元。可见股票价格的变动没有引起总财富的变动，这就使头的变动没有引起总财富的变动，这就使头寸得到了套期保值。寸得到了套期保值。Delta 对冲对冲=对冲比。对冲比。10/27/202259