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1、期权定价理论期权定价理论第1页，本讲稿共59页概概 述述Black、Scholes和和Merton发现了看涨期权发现了看涨期权定价公式，定价公式，Scholes和和Merton也因此获得也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖年的诺贝尔经济学奖模型基本假设模型基本假设8个个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。化。标的股票不支付红利标的股票不支付红利期权为欧式期权期权为欧式期权第2页，本讲稿共59页无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，投资者可以自由借贷资金，且二
2、者利率相等，均为无风险利率均为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票的标的股票对卖空没有任何限制对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗的变化为几何布朗运动运动第3页，本讲稿共59页B-S模型证明思路模型证明思路ITO引理ITO过程B-S微分方程B-S买权定价公式第4页，本讲稿共59页13.1 维纳过程维纳过程根据有效市场理论，股价、利率和汇率具根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用有随机游走性，这种特性可以采用Wiener process，它是，它是Markov
3、stochastic process的一种。的一种。对于随机变量对于随机变量w是是Wiener process，必须，必须具有两个条件：具有两个条件：1.在某一小段时间在某一小段时间t内，它的变动内，它的变动w与时段满与时段满足足t第5页，本讲稿共59页（13.1）2.在两个不重叠的时段在两个不重叠的时段t和和s,wt和和ws是独立的，这个条件是独立的，这个条件也是也是Markov过程的条件，即增量独立！过程的条件，即增量独立！（13.2）有效市场第6页，本讲稿共59页满足上述两个条件的随机过程，称为维纳满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有过程，其性质有当时段的长度放大到当时段的
4、长度放大到T时（从现在的时（从现在的0时刻时刻到未来的到未来的T时刻）随机变量时刻）随机变量wt的满足的满足第7页，本讲稿共59页证明：证明：第8页，本讲稿共59页在连续时间下，由（在连续时间下，由（13.1）和（）和（13.2）得到）得到（13.3）（13.4）所以，概率分布的性质以上得到的随机过程，称为维纳过程。第9页，本讲稿共59页13.2 ITO定理定理一般维纳过程一般维纳过程(Generalized Wiener process)可可表示为表示为（13.5）显然，一般维纳过程的性质为第10页，本讲稿共59页一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动
5、特征。的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当漂移率和方差率为常数不恰当若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程第11页，本讲稿共59页B-S 期权定价模型是根据期权定价模型是根据ITO过程的特例几何布朗运动过程的特例几何布朗运动来代表股价的波动来代表股价的波动省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程（13.6）证券的预期回报与其价格无关。第12页，本讲稿共59页ITO定理：假设某随机变量定理：假设某随机变量x的变动过程可由的变动过程可由ITO过程过程表示为（省略下标表示为（省略下标t）令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以
6、标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可以表示为（13.7）第13页，本讲稿共59页证明：将（证明：将（13.7）离散化）离散化由（13.1）知利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为（13.8）第14页，本讲稿共59页在连续时间下，即在连续时间下，即因此，（13.8）可以改写为（13.9）从而第15页，本讲稿共59页即即x2不呈现随机波动！不呈现随机波动！（13.10）第16页，本讲稿共59页由（13.10）可得（13.11）由（13.11）得到（13.12）第17页，本讲稿共59页 由于由于x2不呈现随机波动，所以，其期望值不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为
7、真实值，即就收敛为真实值，即当当t0时时，由（由（13.9）可得）可得第18页，本讲稿共59页13.3 B-S微分方程微分方程假设标的资产价格变动过程满足这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可由ITO引理近似为第19页，本讲稿共59页假设某投资者以假设某投资者以份的标的资产多头和份的标的资产多头和1 1个单位的衍生证券个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且空头来构造一个组合，且满足满足则该组合的收益为第20页，本讲稿共59页下面将证明该组合为无风险组合，在下面将证明该组合为无风险组合，在t时时间区间内收益为间区间内收益为第21页，本讲稿共5
8、9页注意到此时注意到此时不含有随机项不含有随机项w，这意味着该组合是无，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为风险的，设无风险收益率为r，且由于，且由于t较小（不采用较小（不采用连续复利），则连续复利），则整理得到第22页，本讲稿共59页B-S微分方程的意义微分方程的意义衍生证券的价格衍生证券的价格f，只与当前的市价，只与当前的市价S，时间，时间t，证券价格，证券价格波动率波动率和无风险利率和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产的值产生影响。生影响。在对衍生证券定价时，可以采
9、用在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价风险中性定价，即所有，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分微分方程求出价格方程求出价格f。第23页，本讲稿共59页若股票价格服从几何布朗运动设当前时刻为t，则T时刻股票价格满足对数正态分布，即13.4 几何布朗运动与对数正态分布几何布朗运动与对数正态分布第24页，本讲稿共59页令则这样由伊藤引理得到即第25页，本讲稿共59页由（13.1）第26页，本讲稿共59页则称ST服从对数正态分布，其期望值为所以第27页，本讲稿共59页1
10、3.5 B-S买权定价公式买权定价公式 对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日t的定价公式为第28页，本讲稿共59页（1）设当前时刻为）设当前时刻为t，到期时刻，到期时刻T，若股票，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为的股票价格为St,则则T时刻的股票价格的期望时刻的股票价格的期望值为值为B-S买权定价公式推导买权定价公式推导（13.13）第29页，本讲稿共59页（13.14）由（13.13）和（13.14）得到（13.15）根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则这表明：在风险
11、中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。第30页，本讲稿共59页（2）在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为无风险利率r，故买权期望值的现值为（13.16）第31页，本讲稿共59页由于由于ST服从对数正态分布，其服从对数正态分布，其pdf为为（13.17）第1项第2项将由(13.16)得到第32页，本讲稿共59页（3）化简（）化简（13.17）中的第）中的第1、2项，先化简第项，先化简第1项项（13.18）当前时刻价格，不是变量第33页，本讲稿共59页（13.19）第34页，本讲稿共59页 将（将（13.19）与（）与（13.18）内的第）内的第2个指数项个指数项合并，即合并
12、，即（13.20）第35页，本讲稿共59页将（将（13.20）代入（）代入（13.18）下面，将利用变量代换来简化（13.21），不妨令（13.21）第36页，本讲稿共59页第37页，本讲稿共59页y的积分下限为y的积分上限为第38页，本讲稿共59页将将dy与与y代入（代入（13.21），即有），即有这样就完成了第1项的证明。（13.22）第39页，本讲稿共59页下面证明B-S公式中的第2项，首先进行变量代换，令第40页，本讲稿共59页则则z的积分下限的积分下限z的积分上限第41页，本讲稿共59页将将z和和dz代入代入（13.23）第42页，本讲稿共59页则由（13.22）和（13.23）得到
13、其中第43页，本讲稿共59页pr0dN(d)例如:当d1.96时,N(d)913.5%第44页，本讲稿共59页B-S买权公式的意义买权公式的意义N(d2)是在风险中性世界中是在风险中性世界中ST大于大于X的概率，的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率。或者说式欧式看涨期权被执行的概率。e-r(T-t)XN(d2)是是X的风险中性期望值的现值。的风险中性期望值的现值。SN(d1)=e-r(T-t)ST N(d1)是是ST的风险中性期望值的的风险中性期望值的现值。现值。第45页，本讲稿共59页其次，其次，是复制交易策略中股票的数是复制交易策略中股票的数量，量，SN（d1)就是股票的市值就是股票的
14、市值,-e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。则是复制交易策略中负债的价值。假设两个假设两个N(d)均为均为1，看涨期权价值为，看涨期权价值为St-Xe-rT，则没有不确定性。如果确实执行了，我们就，则没有不确定性。如果确实执行了，我们就获得了以获得了以St为现价的股票的所有权，而承担了为现价的股票的所有权，而承担了现值现值Xe-rT的债务。的债务。期权的价值关于标的资产的价格及其方差，期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等以及到期时间等5个变量的非线性函数个变量的非线性函数Ct=f(St,X,r)的函数，具有如下性质的函数，具有如下性质第46页，本讲稿共59
15、页FactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to expirationincreasesInterest rate increasesDividend RatedecreasesFactors Influencing Option Values:Calls第47页，本讲稿共59页So=100X =95r =0.10T=0.25(quarter)=0.50d1=ln(100/95)+(0.10+(0 5 2/2)/(0 5 0
16、0.251/2)=0.43 d2=0.43+(0 50 0.251/2)=0.18N(0.43)=0.6664，N(0.18)=0.5714Call Option Example第48页，本讲稿共59页Co=SoN(d1)-Xe-rTN(d2)Co=100 X.6664-95 e-.10 X.25 X.5714 Co=13.70P=Xe-rT 1-N(d2)-S0 1-N(d1)Call Option Value第49页，本讲稿共59页13.6 看跌期权的定价看跌期权的定价利用金融工程的原理来看待期权平价关系利用金融工程的原理来看待期权平价关系考虑如下两个组合：考虑如下两个组合：组合组合A：一
17、份欧式看涨期权加上金额为：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金的现金组组合合B：一一份份有有效效期期和和协协议议价价格格与与看看涨涨期期权权相相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产同的欧式看跌期权加上一单位标的资产第50页，本讲稿共59页组合组合A到期时刻到期时刻T的收益的收益组合B到期时刻T的收益两个组合具有相同的价格，且由于欧式期权不能提前执行，则在t时刻两个组合价值相等，否则就有套利，即此为看涨看跌期权平价公式。第51页，本讲稿共59页从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标都进行了负向变换，是关于纵向对称的。第52页，本讲稿共59页标的资产价格期权价值第53页，本讲稿共59页13.7 有收
18、益资产的欧式期权定价有收益资产的欧式期权定价当标的证券已知收益的现值为当标的证券已知收益的现值为I时，我们只时，我们只要用（要用（StI）代替）代替B-S公式中的公式中的St当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将第54页，本讲稿共59页对于欧式期货期权，其定价公式为对于欧式期货期权，其定价公式为其中：F为到期日期货的价格，即付出X，得到一个价值为F的期货第55页，本讲稿共59页根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项高阶项DeltaThetaVegaRhoGamma13.8 B-S公式的边际分析公式的边际分析第56
19、页，本讲稿共59页命题：欧式看涨期权的命题：欧式看涨期权的Delta=N(d1)第57页，本讲稿共59页第58页，本讲稿共59页利用利用Delta进行套期保值进行套期保值某人出售某人出售10份看涨期权并且持有份看涨期权并且持有6股股票，股股票，根据根据0.6的套期比率，股票价格每升高的套期比率，股票价格每升高1美元，美元，股票的收益增加股票的收益增加6美元，同时看涨期权则损美元，同时看涨期权则损失失100.6美元，即美元，即6美元。可见股票价格美元。可见股票价格的变动没有引起总财富的变动，这就使头的变动没有引起总财富的变动，这就使头寸得到了套期保值。寸得到了套期保值。Delta 对冲对冲=对冲比。对冲比。第59页，本讲稿共59页