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1、第十四章第十四章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 达朗贝尔原理又称为达朗贝尔原理又称为“动静法动静法动静法动静法”达朗贝尔原理是在十八世纪随着机器动力学问题的发展而提出的，它达朗贝尔原理是在十八世纪随着机器动力学问题的发展而提出的，它提供了提供了有别于有别于质心运动定理与转动方程的分析和解决动力学问题的一种新的质心运动定理与转动方程的分析和解决动力学问题的一种新的普遍方法，但却获得了与上述定理形式上等价的普遍方法，但却获得了与上述定理形式上等价的动力学方程动力学方程，尤其，尤其适用于适用于非非自由质点系统自由质点系统求解动约束力和求解动约束力和求解动约束力和求解动约束力和弹性杆件弹性杆件
2、动应力动应力动应力动应力等问题。因此在工程技术中有等问题。因此在工程技术中有着广泛应用。着广泛应用。用达朗贝尔原理处理问题的用达朗贝尔原理处理问题的关键关键:惯性力系的简化惯性力系的简化研究对象是研究对象是动力学问题动力学问题所用的方法是所用的方法是静力学方法静力学方法引入引入惯性力惯性力达朗贝尔原理爆破时烟囱怎样倒塌爆破时烟囱怎样倒塌爆破时烟囱怎样倒塌爆破时烟囱怎样倒塌第十四章第十四章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 动静法应用举例动静法应用举例 转子的静平衡与动平衡转子的静平衡与动平衡 惯性力系简化惯性力系简化ABM该质点的动力学基本方程为该质点的动力学基本
3、方程为 设质量为设质量为m的非自由质点的非自由质点M，在主动，在主动力力F和约束力和约束力FN作用下沿曲线运动，作用下沿曲线运动，FgFFN或或 引引入入质质点点的的惯惯性性力力Fg=ma 这这一概念，于是上式可改写成一概念，于是上式可改写成 上上式式表表明明，在在质质点点运运动动的的每每一一瞬瞬时时，作作用用于于质质点点的的主主动动力力、约约束束力力和和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。这就是质点的达朗伯原理。ama一、质点达朗伯原理质点达朗贝尔原理的投影形式质点达朗贝尔原理的投影形式质点达朗伯原理质点达朗伯原理 这这表表明明，在
4、在质质点点系系运运动动的的任任一一瞬瞬时时，作作用用于于每每一一质质点点上上的的主主动动力力、约约束束力力和和该该质质点点的的惯惯性性力力在在形形式式上上构构成成一一平平衡力系。衡力系。上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将达朗贝尔原理应用于每个质点，得到达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。个矢量平衡方程。这就是质点系的达朗这就是质点系的达朗贝尔贝尔原理。原理。二、质点系达朗伯原理 对对于于所所讨讨论论的的质质点点系系，有有n个个形形式式如如上上式式的的平平衡衡方方程程，即即有有n个个形形式式上上的的平平衡衡力力系系。将将其其
5、中中任任何何几几个个平平衡衡力力系系合合在在一一起起，所所构构成成的的任任意意力力系系仍仍然然是是平平衡衡力力系系。根根据据静静力力学学中中空间任意力系的平衡条件，有空间任意力系的平衡条件，有质点系达朗伯原理质点系达朗伯原理 考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于对整个质点系，因此，该式并不表示仅有对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有个平衡方程，而是共有3n个个独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。上上式式表表明明，在
6、在任任意意瞬瞬时时，作作用用于于质质点点系系的的主主动动力力、约约束束力力和和该该点点的的惯惯性性力力所所构构成成力力系系的的主主矢矢等等于于零零，该该力力系系对对任任一一点点O的的主主矩矩也也等等于于零。零。达达朗朗贝贝尔尔原原理理提提供供了了按按静静力力学学平平衡衡方方程程的的形形式式给给出出质质点点系系动动力力学学方程的方法，这种方法称为方程的方法，这种方法称为动静法动静法。这些方程也称为。这些方程也称为动态平衡方程。动态平衡方程。质点系达朗伯原理质点系达朗伯原理例例例例1 1：电机护环直径D，环截面面积A，材料密度（kg/m3），转子角速度=常数。求：求：求：求：护环截面张力。解：解：
7、解：解：研究对象：xy四分之一护环受力分析：如图示F1F2运动分析：d惯性力惯性力 离心力作用在使叶片产生加速度的叶轮上动力学问题形式上的静力平衡FanFFFg刚体惯性力系的简化1刚体作平动刚体作平动结论：结论：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。位置：合力大小：2刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动主矢：向转轴O点简化主矩：刚体有对称面，且转轴与对称面垂直。2刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动向质心C点简化结论结论：刚体绕与对称面垂直的定轴转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。该力等于mac，方向与ac方向相反，作用在轴(质
8、心)上；该力偶的矩等于Jo a(JC a)，方向与a相反。例：图示均质杆AB质量为m，长为l，绕O点作定轴转动，角速度为w，角加速度为a，计算杆上惯性力系向O点和质心C简化的结果。解：运动分析向O点简化向质心C简化3刚体作平面运动刚体作平面运动刚体有对称面，且平行与对称面运动主矢：向质心C点简化主矩：CCCC结论结论：刚体在与对称面平行的平面内运动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。该力等于mac，方向与ac方向相反，作用在质心上；该力偶的矩等于JC a，方向与a相反。例：图示均质圆轮半径为r，质量为，沿水平面作无滑动的滚动，角速度为w，角加速度为a，计算圆轮上惯性力系向圆心O简
9、化的结果。解：运动分析向圆心O简化O惯性力惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。系的主矩与刚体的运动形式有关。惯性力惯性力系的主矢系的主矢与与刚体的运动形式无关。刚体的运动形式无关。注注 意意与简化中心选取无关与简化中心选取有关3.3.刚体作平面运动刚体作平面运动刚体作平面运动刚体作平面运动 主矩主矩 主矢主矢向质心简化向质心简化向质心简化向质心简化1.1.刚体作平动刚体作平动刚体作平动刚体作平动向质心简化向质心简化向质心简化向质心简化 主矢主矢 主矩主矩2.2.刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动刚体做定轴转动 主矢主矢 对转轴的主矩对转轴的主矩向固定轴简化向固定轴简化向固定轴简化向固定
10、轴简化综上所述：综上所述：例例题题 2 汽汽车车连连同同货货物物的的总总质质量量是是m，其其质质心心 C 离离前前后后轮轮的的水水平平距距离离分分别别是是 b 和和 c，离离地地面面的的高高度度是是 h。当当汽汽车车以以加加速速度度a沿沿水水平平道道路路行行驶驶时时，求求地地面面给给前前、后后轮轮的的铅铅直直反反力力。轮轮子的质量不计。子的质量不计。ABCcbhA AB BCcbhFgFgF FB BmgmgF FN NA AF FN NB Ba a研究对象研究对象:汽车连同货物汽车连同货物汽汽车车实实际际受受到到的的外外力力：重重力力 G，FNA、FNB 以以及及水水平平摩摩擦擦力力 FB(
11、注注意意：前前轮轮一一般般是是被被动动轮轮，当当忽忽略略轮轮子子质量时，其摩擦力可以不计质量时，其摩擦力可以不计)。解：惯性力系合成惯性力系合成:Fg=ma。根据达朗贝尔原理，写出汽车的动态平衡方程根据达朗贝尔原理，写出汽车的动态平衡方程汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易“抱死抱死”？车轮防抱死装置车轮防抱死装置ABS:Anti-Brake System 思考题分析汽车刹车时的动力学特性分析汽车刹车时的动力学特性刹车时的动力学特性：刹车时的动力学特性：车头下沉；车头下沉；若质心在中间，后轮容易打滑。若质心在中间，后轮容易打滑。AB 例例题题3 如如图图所所示示，匀匀质
12、质滑滑轮轮的的半半径径为为r，质质量量为为m，可可绕绕水水平平轴轴转转动动。轮轮缘缘上上跨跨过过的的软软绳绳的的两两端端各各挂挂质质量量为为m1（A）和和m2（B）的的重重物物,且且m1 m2。绳绳的的重重量量不不计计，绳绳与与滑滑轮轮之之间间无无相相对对滑滑动动，轴轴承承摩摩擦擦忽忽略略不不计计。求求重重物物的的加加速度和轴承反力。速度和轴承反力。OABrO 系统为研究对象系统为研究对象受力：重力受力：重力m1g，m2g，mg，轴承约束反力轴承约束反力FN。OABra aa am m1 1g gm mg gm m2 2g gF FNNy解：惯性力分别为：惯性力分别为：OOABra aa am
13、 m1 1g gm mg gm m2 2g gF FNNyOMMgOgOMgO=JO =惯性力偶矩：惯性力偶矩：应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得解得解得 例例题题4 如如图图所所示示，匀匀质质圆圆盘盘的的半半径径为为r，质质量量为为m，可可绕绕水水平平轴轴O转转动动。突突然然剪剪断断绳绳，求求圆圆盘盘的的角角加速度和轴承加速度和轴承O处的反力。处的反力。ABrOCArOCyxxMMgO Om mg gF FOxOxF FOyOy圆盘定轴转动，惯性力向转轴圆盘定轴转动，惯性力向转轴O简化。简化。解：解：Fgt=matC=m rMgO=JO =Fgn=mr2=0应用达朗
14、贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得 FOx+Fgn=0FOy+Fgtmg=0是否可以是否可以？ArOCyxMMgCgC惯性力系能否向惯性力系能否向C点简化？点简化？应用达朗贝尔原理列平衡方程，得应用达朗贝尔原理列平衡方程，得m mg gF FOxOxF FOyOy 讨论Fgt=matC=m rMgC=Jc =Fgn=mr2=0 FOx+Fgn=0FOy+Fgtmg=0ArOCyxxMMgO OArOCyxMMgCgCFgt=matC=m rMgO=JO =Fgn=mr2=0Fgt=matC=m rMgC=Jc =Fgn=mr2=0惯性力系向转轴O和质心C简化结果对比 例例题题
15、 5 用用长长 l 的的两两根根绳绳子子 AO 和和 BO 把把长长 l，质质量量是是 m 的的匀匀质质细细杆杆悬悬在在点点 O(图图 a)。当当杆杆静静止止时时，突突然然剪剪断断绳绳子子 BO，试求刚剪断瞬时另一绳子，试求刚剪断瞬时另一绳子 AO 的拉力。的拉力。OlllBAC（a）Ol ll lBAC（b b）绳绳子子剪剪断断后后，杆杆AB平平面面运运动动；杆杆AB上受受绳绳子子AO的拉力的拉力F和杆的重力和杆的重力mg。解：解：对杆作加速度分析对杆作加速度分析,以质心以质心C作基点作基点aA=anA+atA=aCx+aCy+atAC+anAC (1)m mg gF FOxyBC C（c）
16、A例题例题例题例题 5-65-6在绳在绳BO刚剪断的瞬时，杆的角速度刚剪断的瞬时，杆的角速度=0，角加速度角加速度 0。因此。因此anAC=AC 2=0atAC=l2把把(1)式投影到点式投影到点A轨迹的法线轨迹的法线 AO上上即即即即FgCx=maCx ,FgCy=maCyM gC=JCzOl ll lBACm mg gF F（b b）OxyBAC C（c）FgCxFgCyM gC根据运动分析，加惯性力和惯性力偶矩根据运动分析，加惯性力和惯性力偶矩由动静法写出杆的动态平衡方程，有由动静法写出杆的动态平衡方程，有求解，得求解，得四、定轴转动刚体对轴承的动压力四、定轴转动刚体对轴承的动压力 转子
17、静平衡和动平衡转子静平衡和动平衡ABeC例：例：例：例：转子质量转子质量m=20kg，偏心距，偏心距e，转速，转速n=12000r/min。求：求：当质心 C 转到最低位置时轴承所受的压力。解：解：解：解：研究对象:转子受力分析:如图示FAFBmgFg运动分析:转动静反力静反力附加动反力附加动反力例：例：例：例：两圆盘质量均为两圆盘质量均为m，对称偏心距均为，对称偏心距均为e，=常量。常量。求：图示位置求：图示位置求：图示位置求：图示位置A、B轴承反力。轴承反力。解：解：解：解：研究对象:转子受力分析:如图示运动分析:转动附加动反力静反力ABC2C1xyFAxFBxFByFg1Fg2mgmg
18、设有绕固定轴设有绕固定轴Oz转动的刚体，在任意瞬转动的刚体，在任意瞬时的角速度是时的角速度是，角加速度是，角加速度是。取固定坐。取固定坐标标Oxyz如图所示。如图所示。xFR、Mo为主动力系的主矢和主矩，为主动力系的主矢和主矩，Fgo、M Mgogo惯性力系对点惯性力系对点O的主矢和主矩。的主矢和主矩。根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有由前五个式子即可求得定轴转动刚体轴承处的由前五个式子即可求得定轴转动刚体轴承处的反力反力。该反力由两部分组成：。该反力由两部分组成：一部分为主动力系所引起的一部分为主动力系所引起的静反力静反力；另一部分是由转动刚体的惯性
19、力系所引；另一部分是由转动刚体的惯性力系所引起的起的附加反动力附加反动力。与此对应，轴承所受的压力也可分为。与此对应，轴承所受的压力也可分为静压力静压力和和附加动压力附加动压力。OxDatxy(b)anyrzDOxDatxy(b)anyrzD刚体对y、z轴的惯性积刚体对x、z轴的惯性积解得解得整个刚体惯性力的主矢整个刚体惯性力的主矢F*在各轴上投影分别是在各轴上投影分别是5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力rzF FByF FBxF FAxF FAyF FAzODo1rrzyxAz（a）OxDatxy(b)anyrzDatan5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚
20、体对轴承的动压力rzOxDatxy(b)anyrzD整个刚体惯性力的主矩整个刚体惯性力的主矩M*在各轴上投影分别是在各轴上投影分别是F FByF FBxF FAxF FAyF FAzODo1rrzyxAz（a）atanFRx、FRy、FRz分别为主动力系主矢在坐标轴上的投影，分别为主动力系主矢在坐标轴上的投影，MRx、MRy、MRz分别为主动力系对点分别为主动力系对点O的主矩在各坐标轴上的投影。的主矩在各坐标轴上的投影。根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力F FByF FBxF FAxF FAy
21、F FAzODo1rrzyxAz（a）由前五个式子即可求得定轴转动刚体轴承处的由前五个式子即可求得定轴转动刚体轴承处的动反力动反力。显然，该动反力由两。显然，该动反力由两部分组成：一部分为主动力系所引起的部分组成：一部分为主动力系所引起的静反力静反力；另一部分是由转动刚体的惯；另一部分是由转动刚体的惯性力系所引起的性力系所引起的附加反动力附加反动力。与此对应，轴承所受的压力也可分为。与此对应，轴承所受的压力也可分为静压力静压力和和附加动压力附加动压力。根据达根据达达朗贝尔达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有定理，列出动态平衡方程，有5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力F
22、FByF FBxF FAxF FAyF FAzODo1rrzyxAz（a）定轴转动刚体轴承处的动反力分析定轴转动刚体轴承处的动反力分析定轴转动刚体轴承处的动反力分析定轴转动刚体轴承处的动反力分析5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体轴承处的动反力分析定轴转动刚体轴承处的动反力分析定轴转动刚体轴承处的动反力分析定轴转动刚体轴承处的动反力分析5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体轴承处的动反力分析定轴转动刚体轴承处的动反力分析定轴转动刚体轴承处的动反力分析定轴转动刚体轴承处的动反力分析5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体
23、对轴承的动压力高速转子的实际应用高速转子的实际应用高速转子的实际应用高速转子的实际应用5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力 例例题题 5-9 设设匀匀质质转转子子重重 W，质质心心 C 到到转转轴轴的的距距离离是是 e，转转子子以以匀匀角角速速度度 绕绕水水平平轴轴转转动动，AO=a，OB=b(图图 a)。假假定定转转轴轴与与转转子子的的对对称称平平面面垂垂直直，求求当当质质心心 C 转转到到最最低低位位置置时时轴轴承承所受的压力。所受的压力。(a a )b a e z C O B A(a a )例题例题 5-95-95-4 定轴转动刚体对轴承的动压力定轴转动刚体对轴承的动压力