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1、最小二乘估计最小二乘估计 Least Squares Estimate Least Squares Estimate胡玮胡玮20102010年年5 5月月最小二乘估计1、概述2、线性最小二乘估计3、线性最小二乘加权估计4、线性最小二乘递推估计5、单参量的线性最小二乘估计1、概述最小二乘估计起源于1795年，当时高斯运用这种估计方法研究行星运动。最小二乘估计不需要任何先验知识，只需估计量的观测信号模型。平均估值方法是最小二乘估计的一个特例。最小二乘估计方法设被估计量信号模型为 ，因为存在观测噪声或者信号模型不精确性，设受到扰动的 记为 如果进行N次观测，的估计值设为求达到最小。我们把这种估计称为
2、最小二乘估计。（）2、线性最小二乘估计（1）估计量的构造规则 若被估计矢量是M维的，线性观测方程为：其中，第k次观测矢量与 同次的观测噪声矢量 同维，但是每个 的维数不一定是相同的，其维数分别记为 ；第k次的观测矩阵 为 。如果把全部L次观测矢量 合成一个维数为 的矢量：（）相应的定义NM观测矩阵H和N维观测噪声矢量n如下：这样，线性观测方程（）写成：使（）式中 达到最小，这就是线性最小二乘估计量的构造规则。（2）估计量的构造公式为了使（）式中 达到最小，根据构造规则，有：即所求的的最小二乘估计误差为 。（3）估计量的性质a.估计矢量是观测矢量的线性函数b.如果观测噪声矢量N的均值为零，则线性
3、最小二乘估矢量是无偏的。因为，如果E（n）=0，则：所以，是 无偏估计量。c.如果观测噪声矢量n的均值矢量为零，协方差矩阵为 ，则线性最小二乘估计矢量的均方误差阵为：例：根据以下对二维矢量的两次观测：求出的线性最小二乘估计矢量。解：解：由两次观测方程，可得矩阵形式观测方程为：利用线性最小二乘矢量的构造公式，得：3、线性最小二乘加权估计假定观测噪声矢量n的均值矢量和协方差矩阵为：线性最小而成加权估计的性能指标是使其中W为加权矩阵。将（）式求偏导，令结果等于零，得到线性最小二乘加权估计矢量和估计误差为：线性最小二乘加权估计矢量的主要性质：a.估计矢量是观测矢量的线性函数；b.如果观测噪声矢量n的均
4、值矢量E(n)=0，则估计矢量是无偏估计量；c.如果观测噪声矢量n的均值矢量E(n)=0,协方差矩阵则估计误差矢量的均方误差阵为:当 时，W才能使均方误差阵取最小值，证明推导过程如下（其中A和B分别为任意两个矩阵）：例：用电表对电压进行两次测量，测量结果分别为216V和220V。观测方程为：其中，观测噪声矢量的均值矢量和协方差矩阵分别为：求电压的最小二乘估计量和最小二乘加权估计量。解：解：非加权估计时，电压的最小二乘估计量和估计量的均方误差分别为：采用加权估计，加权矩阵取最佳加权矩阵，即：可见，线性最小二乘加权估计量的均方误差小于非加权估计量的均方误差。4、线性最小二乘递推估计 使用前面两种估
5、计，主要存在两个问题。一是没进行一次观测，需要利用过去的全部观测数据重新进行计算，比较麻烦；而是估计量的计算中需要完成矩阵求逆，这样如果碰到高阶矩阵的话求逆比较有难度，因此我们寻求到了一种递推算法，即利用前一次的估计结果和本次的观测量，通过适当计算，就能获得当前的估计量，这种方法就是线性最小二乘递推估计。具体推算如下：设第k-1次的线性观测方程为：为了强调进行了k-1次观测，采用如下记号：求出上述 、和 后，得到第一个递推公式，再利用第一次的观察矢量 ,由：求出 和 。同样，从第二次观测开始进行递推估计。也可以令其中c1.这样从第一次观测就开始进行递推估计。虽然开始误差较大，但是如果 较大，则增益矩阵 较大，于是经过若干次递推估计后，初始值不准确的影响会逐渐消失，从而获得满意的递推估计结果。5、单参量的线性最小二乘估计 如果被估计量是单参量，线性观测方程为：如果观测噪声 满足条件则有以下的简明最小二乘估计量构造公式：而估计量的均方误差为当 时，的最小二乘估计退化为平均值估计，估计量和均方误差分别为：而上述两式就是平均值估计。Thank you!