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1、最小二乘估计最小二乘估计高二数学组前面我们学习了统计活动的最基本的知识。从确定调查对象都前面我们学习了统计活动的最基本的知识。从确定调查对象都收集数据再到数据呈现，以及最后作出统计结论。收集数据再到数据呈现，以及最后作出统计结论。从所有的过程中，分析数据是最难的，事物的发展趋势更是从所有的过程中，分析数据是最难的，事物的发展趋势更是我们所需要了解的，因为它是我们得出结论的依据。我们所需要了解的，因为它是我们得出结论的依据。对于线性相关的一组数据，关键是怎样求这条相关直对于线性相关的一组数据，关键是怎样求这条相关直线的方程线的方程有一个非常直接的想法，就是利用一条直线来刻画数据的趋有一个非常直接
2、的想法，就是利用一条直线来刻画数据的趋势，这条直线必须保证到所有点的距离最小，最小二乘法就势，这条直线必须保证到所有点的距离最小，最小二乘法就是基于这种想法。是基于这种想法。点到直线的距点到直线的距离公式如何表离公式如何表示？示？我们可以看到，利用距离公式在计算方面是比较麻烦，因此我我们可以看到，利用距离公式在计算方面是比较麻烦，因此我们想将它简化，你知道怎样简化吗？们想将它简化，你知道怎样简化吗？演演示示有演示我们知道，我们可以这样来刻画有演示我们知道，我们可以这样来刻画“距离距离”假设一条直线的方程为假设一条直线的方程为:y=a+bx,对于给定的一个样本点对于给定的一个样本点(xi,yi)
3、,我们用我们用来刻画这个样本点与这条直线的距离，用它们表示二者之间的来刻画这个样本点与这条直线的距离，用它们表示二者之间的接近程度接近程度你知道怎样你知道怎样来推导这个来推导这个公式吗？公式吗？.下表是某小卖部下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数天卖出热茶的杯数(y)与当天气温与当天气温(x)的对比表：的对比表：(1)试用最小二乘法求出线性回归方程；试用最小二乘法求出线性回归方程；(2)如果某天的气温是如果某天的气温是-3，请预测这天可能会卖出热茶多少杯，请预测这天可能会卖出热茶多少杯(1)作散点图如图所示作散点图如图所示解解由散点图知两个变量是线由散点图知两个变量是线性相关的，计算各种数据性相关
4、的，计算各种数据如下表如下表于是：于是：则：则：分步计算分步计算减少出错减少出错于是，线性回归方程为于是，线性回归方程为y=57.557-1.648x2)由回归方程知，当某天的气温是由回归方程知，当某天的气温是-3时，卖出的热茶杯数为时，卖出的热茶杯数为57.557-1.648(-3)63(杯）杯）1.利用最小二乘估计时，首先要作出数据的散点图，利用最小二乘估计时，首先要作出数据的散点图，利用散点图观察数据是否具有线性关系利用散点图观察数据是否具有线性关系2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘公式求出方程散点图呈现线性关系时，利用最小二乘公式求出方程3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其
5、他直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合下面的数据给定了两个变量之间的关系下面的数据给定了两个变量之间的关系X12345678Y1491625364964请利用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程请利用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程解解根据数据显示：根据数据显示：其他数据如表其他数据如表1111244839927416166452525125636362167494934386464512合计合计362042041296进而可以求得进而可以求得b=9a=-15于是，线性回归方程为：于是，线性回归方程为：Y=-15+9x事实上，从表中的数据可以看出：事实上，从表中的数据可以看出：从而我们利用最小二乘估计时，已经失去从而我们利用最小二乘估计时，已经失去了意义，你认为问题出在哪里呢？了意义，你认为问题出在哪里呢？