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1、第五章导数和微分第五章导数和微分 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念两个最重要的基本概念导数与微分，然后再导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决建立求导数与微分的运算公
2、式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。有关变化率的计算问题。导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。小变化时，函数大体上变化多少。重点重点导数与微分的定义及几何解释导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式导数与微分基本公式四则运算法则四则运算法则复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则高阶导数高阶导数隐函数和参量函数求导隐函数和参量函数求
3、导难点难点导数的实质，用定义求导，链式法则导数的实质，用定义求导，链式法则基本要求基本要求准确叙述导数定义并深刻理解它的实质准确叙述导数定义并深刻理解它的实质会用定义求导数会用定义求导数熟记求导基本公式熟记求导基本公式牢固掌握链式法则牢固掌握链式法则掌握隐函数和参量函数求导法掌握隐函数和参量函数求导法理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性一、问题的提出一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题如图如图,取极限得取极限得
4、5.1 导数的概念导数的概念 上述求瞬时速度的方法对一般变速直线上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，运动也同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程为其运动路程为s=s(t)，则物体在时刻，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为的瞬时速度定义为速度反映了路程对时间变化的快慢程度速度反映了路程对时间变化的快慢程度 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即如图如图,二、导数的定
5、义二、导数的定义定义定义即即其它形式其它形式关于导数的说明：关于导数的说明：导数概念是概括了各种各样的变化率而得出导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质变化率的本质注意注意:2.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是函数平均变化率的逼是函数平均变化率的逼近函数近函数.播放播放单侧导数单侧导数1.左导数左导数:2.右导数右导数:三、由定义求导数（三步法）三、由定义求导数（三步法）步骤步骤:例例1 1解解例例2 2解解例例3 3
6、解解更一般地更一般地例如例如,例例4 4解解特别地特别地例例5 5解解特别地特别地例例6 6解解四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为例例7 7解解由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.交流电路交流电路:电量对时
7、间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如,例如例如,01例如例如,011/1/例例8 8解解六、函数极值的定义六、函数极值的定义定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.Ferm
8、at定理定理定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,注注这个结论又称为这个结论又称为Fermat定理定理如果一个可导函数在所论区间上没有驻点如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号则此函数没有极值，此时导数不改变符号不可导点也可能是极值点不可导点也可能是极值点可疑极值点：可疑极值点：驻点、不可导点驻点、不可导点七、小结七、小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本
9、的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考题思考题作业 p94 1,3,4,5,6,7,8,9.思考题解答思考题解答5.2 5.2 求导法则求导法则和、差、积、商的求导法则定理定理证证(3)(3)证证(1)(1)、(2)(2)略略.推论推论例题分析例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解同理可得同理可得例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5解解同理可得同理可得例例6 6解解隐函数的导数隐函数的导数定义定义:隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或
10、不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.两边对两边对 x 求导，当遇到求导，当遇到 y 的函数的函数 f(y)时时将求出的这些导数代入将求出的这些导数代入得到关于得到关于的代数方程，的代数方程，至于隐函数求二阶导数，与上同理至于隐函数求二阶导数，与上同理例例1 1解解解得解得例例2 2解解所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点.例例3 3解解补证反函数的求导法则补证反函数的求导法则由隐函数的微分法则由隐函数的微分法则例例4解解例例5 求证抛物线求证抛物线上任一点的切线
11、上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于在两坐标轴上的截距之和等于a证证故曲线上任一点故曲线上任一点处切线的斜率为处切线的斜率为切线方程为切线方程为故在两坐标轴上的截距之和为故在两坐标轴上的截距之和为对数求导法对数求导法 有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦但直接求导有困难或很麻烦观察函数观察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.目的是利用对数的性质简化目的是利用对数的性质简化求导运算。求导运算。-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:例例6
12、6解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例7 解解这函数的定义域这函数的定义域 两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导得求导得两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导得求导得同理同理例例8解解两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导得求导得例例9解解两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导得求导得例例1010解解等式两边取对数得等式两边取对数得一般地一般地三、小结注意注意:分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数
13、,按隐函数的求按隐函数的求 导法则求导导法则求导;思考题思考题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.作业 p102 1,2,3,4.思考题解答思考题解答令令切点为切点为所求切线方程为所求切线方程为和和5.3 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?参量函数参量函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得例例1111解解 所求切线方程为所求切线方程为例例13设曲线设曲线由极坐标方程由极坐标方程r=r()所确定，试求该所确定，试求该曲线上任一点的切线斜率
14、，并写出过对数螺线曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线上点上点处的切线的直角坐标方程处的切线的直角坐标方程解解由极坐标和直角坐标的变换关系知由极坐标和直角坐标的变换关系知切线斜率为切线斜率为故切线的直角坐标方程为故切线的直角坐标方程为例例1414解解相关变化率相关变化率相关变化率问题相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例例1515解解4000m水面上升之速率水面上升之速率五、小结五、小结参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数
15、关系确定两个相互依赖的 变化率变化率;解法解法:通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系,用链用链 式求导法求解式求导法求解.作业 p105 1,2,3.思考题思考题思考题解答思考题解答不对不对高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二、二、高阶导数求法举例高阶导数求法举例1.1.直接法直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的
16、定义逐步求高阶导数.例例1 1解解例例2 2解解例例3解解例例5 5解解同理可得同理可得注意注意:求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合不要急于合并并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法数学归纳法证明证明)逐阶求导，寻求规律，写出通式逐阶求导，寻求规律，写出通式例例4 4解解例例6 6解解2.高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例7 7解解例例8解解由由Lebniz公式，两边求公式，两边求 n 阶导数，有阶导数，有注意到注意到注注这一解法的特点：找到了这一解法的特点：找到了的连续三阶导数之间的关系，利用的
17、连续三阶导数之间的关系，利用得到两相隔导数之间的关系，解决问题得到两相隔导数之间的关系，解决问题 3.3.间接法间接法:利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则通过四则运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.常用高阶导数公式常用高阶导数公式例例9 9解解例例1010解解例例11试从试从导出导出解解注注关于抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪关于抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。都是对都是对 x 求导求导容易漏掉容易漏掉例例12证证三、小结三、小结高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义
18、及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，求求 .作业 p109 1,2,3,4,5,6.思考题解答思考题解答可导可导不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求5.5 函数的微分函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，
19、要求计算函数的相应的增量。一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念由此引出了微分学的另一个基本概念微分。微分。一、问题的提出一、问题的提出实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函
20、数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?二、微分的定义二、微分的定义定义定义(微分的实质微分的实质)由定义知由定义知:三、可微的条件三、可微的条件定理定理证证(1)必要性必要性(2)充分性充分性由微分的定义及上述定理可知由微分的定义及上述定理可知这表明这表明不仅是比不仅是比高阶的无穷小，而且也是比高阶的无穷小，而且也是比高阶的无穷小，因此高阶的无穷小，因此四、微分的几何意义四、微分的几何意义几何意义几何意义:(:(如图如图)MT）P N五、微分的求法五、微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2
21、.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则例例1 1解解例例2 2解解六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性例例3 3解解例例4 4解解例例5解一解一 两边同时求微分得两边同时求微分得解二解二两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导，有求导，有由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法在本质上并没有区别，因此把两者统称为在本质上并没有区别，因此把两者统称为微分法微分法七、微分在近似计算中的应用七、微分在近似计算中的应用1.计算函数的近似值计算函数的近似值2.常用近似公式常用近似公式证
22、明证明八、小结八、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题导数的概念导数的概念函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:导数与微分的区别导数与微分的区别:近似计算的基本公式近似计算的基本公式思考题思考题作业 p116 1,2,3,4,5.思考题解答思考题解答说法不对说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导
23、数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念.习习 题题 课课一、主要内容导导 数数基本公式基本公式求求 导导 法法 则则高阶导数高阶导数微微 分分关关 系系高阶微分高阶微分1 1、导数的定义、导数的定义单侧导数单侧导数左导数，右导数，可导的充要条件左导数，右导数，可导的充要条件2 2、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）常、反、对、幂、指、三、双曲常、反、对、幂、指、三、双曲18个公式个公式3 3、求导法则
24、、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则注意不要漏层注意不要漏层(4)对数求导法对数求导法注意适用范围注意适用范围(5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则注意注意y y的函数的求导的函数的求导(6)(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则注意不要漏乘注意不要漏乘4 4、高阶导数、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)方法：方法：逐阶求导逐阶求导5、微分的定义微分的定义微分的实质微分的实质6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系7
25、7、微分的求法微分的求法基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式8 8、微分的基本法则微分的基本法则 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 微分形式的不变性微分形式的不变性复合函数的微分法则复合函数的微分法则二、典型例题例例1 1解解例例2 2解解例例3 求下列函数的导数求下列函数的导数解解第二个方程两边对第二个方程两边对 t 求导得求导得2001个个例例4A.充分必要充分必要B.充分非必要充分非必要C.必要非充分必要非充分D.非充分非必要非充分非必要证一证一则则证二证二例例5设设确定了确定了求求解解两边对两边对 x 求导得求导得例例6 6解解分析分析:不能用公式求导不
26、能用公式求导.例例7 7解解例例8设设在在 x=a 处连续，讨论处连续，讨论在在 x=a 处的可导性处的可导性解解在在 x=a 处可导处可导在在 x=a 处不可导处不可导在在 x=a 处可导处可导在在 x=a 处可导处可导例例9在什么条件下，函数在什么条件下，函数解解首先注意到首先注意到是初等函数，连续是初等函数，连续因此要使因此要使要使要使存在存在此时此时要使要使 要使要使存在存在此时此时注注 通过本例，我们可以进一步加深对连续和可导通过本例，我们可以进一步加深对连续和可导的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续，的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续，再到二阶可导，所要求的条件逐步加
27、强。再到二阶可导，所要求的条件逐步加强。例例10解一解一联立解得联立解得解二解二 联立方程组联立方程组两边对两边对 x 求导求导解得解得例例11证证在在中令中令有有再由再由得得注意到注意到存在存在例例12 设设对所有的对所有的 x，有，有证明证明证证两边同除以两边同除以得得由由由夹逼定理得由夹逼定理得例例13证证不妨设不妨设观察下图观察下图xyoy=f(x)ab由由及函数极限的保号性质可知及函数极限的保号性质可知使当使当由于由于f(x)在在 x1,x2 上连续上连续故由零点定理知故由零点定理知使使例例14选择常数选择常数 a,b,c，使函数使函数二次可微二次可微证证依题设知依题设知是一多项式，也是二次可微是一多项式，也是二次可微因此要想使因此要想使F(x)二次可微，只须使其在二次可微，只须使其在x=x0处二次可微处二次可微F(x)在在x0处连续处连续F(x)在在x0处可导处可导F(x)在在x0处二阶导数存在处二阶导数存在由由F(x)在在x0处连续处连续其次由其次由F(x)在在x0处可导处可导此时此时最后由最后由F(x)在在x0处二次可导处二次可导