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1、兰州交通大学数理与软件工程学院第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数概念导数概念第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则第三节第三节 高阶导数高阶导数第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数隐函数及由参数方程所确定的函数相关变化率相关变化率的导数的导数第五节第五节 函数的微分函数的微分兰州交通大学数理与软件工程学院第一节第一节 导数概念导数概念一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数可导性与连续性的关系四、函数可导性与连续性的关系返回返回兰州交通大学数理与软件工程学院一、引例一、引例1.1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运
2、动的瞬时速度问题取极限得取极限得瞬时速度瞬时速度当当时时,如图如图,求求t0 0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度,平均速度平均速度运动时间运动时间取一邻近于取一邻近于t0的时刻的时刻t,变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度路程对时间的导数为物体的瞬时速度.兰州交通大学数理与软件工程学院2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置兰州交通大学数理与软件工程学院如图如图 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直直线线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处处的切线的切线.极限位置即极限位置即返回返回设设割线割线MN的斜率为的斜率
3、为切线切线MT的斜率为的斜率为兰州交通大学数理与软件工程学院二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 1 函数在一点处的导数与导函数函数在一点处的导数与导函数兰州交通大学数理与软件工程学院其它形式其它形式即即或或兰州交通大学数理与软件工程学院关于导数的说明：关于导数的说明：兰州交通大学数理与软件工程学院注意注意:即即或或兰州交通大学数理与软件工程学院解解2 求导数举例求导数举例例例1步骤步骤:(1)(1)求增量求增量(2)(2)算比值算比值(3)(3)求极限求极限即即兰州交通大学数理与软件工程学院解解例例2即即兰州交通大学数理与软件工程学院例例3解解更一般地更一般地例如例如,即即兰州交通大学数理
4、与软件工程学院解解例例4求函数求函数的导数的导数.即即兰州交通大学数理与软件工程学院例例5 求函数求函数 的导数的导数 解解作代换作代换 并利用第一章第九节例并利用第一章第九节例6 6的结果得的结果得 兰州交通大学数理与软件工程学院解解例例6即即兰州交通大学数理与软件工程学院3 3 单侧导数单侧导数1.左导数左导数:2.右导数右导数:兰州交通大学数理与软件工程学院若若存在存在,兰州交通大学数理与软件工程学院若若存在存在,返回返回兰州交通大学数理与软件工程学院三、导数的几何意义三、导数的几何意义1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为兰州交通大学数理与软件工程学院例例7解解由
5、导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为即即法线方程为法线方程为即即返回返回兰州交通大学数理与软件工程学院四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证:设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导兰州交通大学数理与软件工程学院连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如,注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.兰州交通大学数理与软件工程学院01例如例如,兰州交通大学数理与软件工程学院例如例如,011/1/兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软
6、件工程学院解解例例8在在x=0处不可导处不可导兰州交通大学数理与软件工程学院例例9 9 求曲线求曲线 的通过点的通过点（0，4）的切线方程的切线方程解解 设切点为设切点为 ，则切线的斜率为，则切线的斜率为 于是所求切线方程可设为可导于是所求切线方程可设为可导切点切点 在曲线在曲线 上，故有上，故有（8 8）兰州交通大学数理与软件工程学院切线（切线（7 7）通过点（）通过点（0 0，4 4），故有），故有（9 9）求得方程（求得方程（8 8）和（）和（9 9）组成的方程组的解为）组成的方程组的解为即得所求切线方程为即得所求切线方程为3x-y-4=0兰州交通大学数理与软件工程学院但在例但在例6 6中已经看到，这函数在中已经看到，这函数在x=0=0处不可导处不可导.曲线曲线在原点在原点O没有切线没有切线例例10 10 函数函数 （即（即 ）在）在 内连续内连续 由以上讨论可知，函数在某点连续是函数在该点可导的由以上讨论可知，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件必要条件，但不是充分条件xyO返回返回