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1、动态规划的优化第1页，本讲稿共37页动态规划优化的内涵uu动态规划算法的时间复杂度=阶段数*每个阶段状态转移的状态数 *每次状态转移的时间 或者:状态总数*每次状态转移的时间uu重点:减少每个阶段的状态数，也就是减少了状态总数第2页，本讲稿共37页优化方法1：改进状态的表示uu例例1：理想收入：理想收入问题uu理想收入是指在股票交易中，以1元为本金可能获得的最高收入，并且在理想收入中允许有非整数股票买卖。uu已知股票在第i天每股价格是Vi元，1iM，求M天后的理想收入。第3页，本讲稿共37页方法一uu设Fi表示在第i天收盘时能达到的最高收入，则有Fi的递推关系式：公式含义：在第i天收盘时能达到
2、的最高的收入，是将第j天收盘后的收入，全部用于买入第k天的股票，再在第i天将所持的股票全部卖出所得的收入。时间复杂度是O(M3)。第4页，本讲稿共37页方法二uu设Pi表示前i天能获得的最多股票数，则可列出状态转移方程：uu设Qi表示前i天能达到的最大收入，则可列出状态转移方程：时间复杂度是O(M2)。第5页，本讲稿共37页方法三uu分析：上述公式的含义是当分析：上述公式的含义是当0=ji 0=ji 时时,求求Qi-1Qi-1和和Qj*vi/vjQj*vi/vj的最大值的最大值 uu对于对于0=ji0=ji，要求，要求Qi,Qi,实际上实际上Q1Q1Qi-1Qi-1都都已经求出，因此我们只要搞
3、一个变量保存已经求出，因此我们只要搞一个变量保存Qj/Vj Qj/Vj 的最大值即可，记为的最大值即可，记为MaxQ.MaxQ.uu这样，公式可以写成这样，公式可以写成uu对每次求出的对每次求出的Qi,Qi,都更新都更新MaxQ,MaxQ,显然时间复杂度为显然时间复杂度为O(M)O(M)第6页，本讲稿共37页问题描述现有n首由RaucousRockers演唱组录制的歌曲，计划从中选择一些歌曲来发行m张唱片，每张唱片至多包含t分钟的音乐，唱片中的歌曲不能重叠。按下面的标准进行选择：(1)这组唱片中的歌曲必须按照它们创作的顺序排序；(2)包含歌曲的总数尽可能多。输入n，m，t，和n首歌曲的长度，它
4、们按照创作顺序排序，没有一首歌超出一张唱片的长度，而且不可能将所有歌曲的放在唱片中。输出所能包含的最多的歌曲数目。例2RaucousRockers演唱组第7页，本讲稿共37页设n首歌曲按照创作顺序排序后的长度为long1.n，则动态规划的状态表示描述为：gi,j,k，(0in，0jm，0kt),表示前i首歌曲，用j张唱片另加k分钟来录制，最多可以录制的歌曲数目。状态转移方程为：当klongi，i1时：gi,j,k=maxgi-1,j,k-longi+1，gi-1,j,k当klongi，i1时：gi,j,k=maxgi-1,j-1,t-longi+1，gi-1,j,k规划的边界条件为：当0jm，
5、0kt时：g0,j,k=0;问题的最优解为：gn,m,0。算法的时间复杂度为：O(n*m*t)。第8页，本讲稿共37页改进的状态表示描述为：gi,j=(a,b)，0in，0ji，0am，0bt，表示在前i首歌曲中选取j首录制所需的最少唱片为：a张唱片另加b分钟。状态转移方程为：gi,j=mingi-1,j，gi-1,j-1+longi其中(a,b)+longi=(a,b)的计算方法为：当b+longit时：a=a;b=b+longi;当b+longit时：a=a+1;b=longi;规划的边界条件：当0in时，gi,0=(0,0)题目所求的最大值是：answer=maxk|gn,k(m-1,t
6、)算法的时间复杂度为：O(n2)。第9页，本讲稿共37页优化方法优化方法2：利用决策的单调性利用决策的单调性uu例3：最长上升序列问题 f(i)=maxf(j)+1 (1=jif(i)=maxf(j)+1 (1=ji=n=n,bjbi),bjbi)uu上上式式含含义义为为：对对于于所所有有的的1=ji1=ji，bjbi,bjbi,必必须须找一个最大的找一个最大的f(j)f(j)uu反反过过来来说说，对对于于1=ji1=ji，必必须须找找到到一一个个最最大的大的f(j),f(j),满满足足bjbibjbi。第10页，本讲稿共37页分析uu对方程进行一下改进：对于对方程进行一下改进：对于对方程进行
7、一下改进：对于对方程进行一下改进：对于 ji,ji,fi=maxf(j)+1,fi=maxf(j)+1,其中，其中，其中，其中，minj|r jaiminj|r jaiuurjrjrjrj为为为为所有等于所有等于所有等于所有等于fjfjfjfj时时时时ajajajaj的最小的最小的最小的最小值值值值。uu因此，我因此，我因此，我因此，我们们们们可以搞一个可以搞一个可以搞一个可以搞一个队队队队列列列列维护维护维护维护f(j)f(j)f(j)f(j)的上升序列。的上升序列。的上升序列。的上升序列。uu对对对对于当前的于当前的于当前的于当前的i i i i，利用二分，利用二分，利用二分，利用二分查查
8、查查找在找在找在找在队队队队列列列列查查查查找到找到找到找到满满满满足条件足条件足条件足条件bjbibjbibjbibjbi的的的的f(j)f(j)f(j)f(j)uu用用用用bibibibi去替去替去替去替换换换换与与与与f(i)f(i)f(i)f(i)相等的相等的相等的相等的bjbjbjbj 若若若若bj=bi,bj=bi,bj=bi,bjbibjbibjbibjbi，则则则则用用用用bibibibi替替替替换换换换bjbjbjbj 若在若在若在若在对对对对尾，尾，尾，尾，则则则则直接插入直接插入直接插入直接插入uu显显显显然然然然该该该该算法的算法的算法的算法的时间时间时间时间复复复复杂
9、杂杂杂度度度度为为为为O(n*log(n)O(n*log(n)O(n*log(n)O(n*log(n)第11页，本讲稿共37页 例4：最大子序和问题描述输入一个长度为的整数序列（A1,A2,An），从中找出一段连续的长度不超过M的子序列，使得这个序列的和最大。第12页，本讲稿共37页最大子序和输入一个长度为的整数序列（输入一个长度为的整数序列（A1,A2,An），从中找出一段长），从中找出一段长度不超过度不超过m的连续的子序列，使得这个序列的和最大。的连续的子序列，使得这个序列的和最大。例如：序列例如：序列 1，-3，5，1，-2，3当当M=2或或3时时,S=5+1=6当M=4时,S=5+1-
10、2+3=7数据范围:50%的数据N,M=1000100%的数据N,M=20000第13页，本讲稿共37页一个简化的问题序列的最大连续和输入一个长度为的整数序列（A1,A2,An），从中找出一段连续的子序列，使得这个序列的和最大。和原问题相比没有M这个序列长度的限制！第14页，本讲稿共37页 设F(i)表示以第i个数结尾的最大连续和以第i个数结尾的最大连续和序列，可能存在两种选择：情形一：只包含Ai情形二：包含Ai和以Ai-1结尾的最大连续和序列状态转移方程如下：F(i)=maxAi,F(i-1)+Ai边界：F(1)=A1，Ans=maxF(i)|1=i=n该算法的时间复杂度为O(n)分析第15
11、页，本讲稿共37页算法一枚举设F(i)为以Ai结尾长度不超过M的最大子序和对于每个F(i)，从1到m枚举k的值，完成Aj的累加和取最大值。该算法的时间复杂度为O(n2)第16页，本讲稿共37页简化方程第17页，本讲稿共37页用一个二叉堆来维护S(i-k)，每次求F(i)之前的操作如下：算法二堆求F(i-1)时，求minS(i-m-1),S(i-2)求F(i)时，求minS(i-m),S(i-1)在堆中删除元素S(i-m-1)，插入元素S(i-1).复杂度O(2log2n)从堆中取出当前最小值.复杂度O(1)所以计算的总复杂度为O(nlog2n)第18页，本讲稿共37页队列优化在算法二中，考虑用
12、队列来维护决策值S(i-k)。每次只需要在队首删掉S(i-m-1)，在队尾添加S(i-1)。但是取最小值操作还是需要O(n)时间复杂度的扫描。考察在添加S(i-1)的时候，设现在队尾的元素是S(k)，由于ki-1，所以S(k)必然比S(i-1)先出队。若此时S(i-1)=S(k)，则S(k)这个决策永远不会在以后用到，可以将S(k)从队尾删除掉（此时队列的尾部形成了一个类似栈的结构）第19页，本讲稿共37页队列优化同理，若队列中两个元素S(i)和S(j)，若i=S(j)，则我们可以删掉S(i)（因为S(i)永远不会被用到）。此时的队列中的元素构成了一个单调递增的序列，即：S1S2S3Sk第20
13、页，本讲稿共37页算法三我们来整理在求F(i)的时候，用队列维护S(i-k)所需要的操作：若当前队首元素若当前队首元素S(x)，有，有x=i-m为止。为止。若当前队尾元素若当前队尾元素S(k)=S(i-1)，则，则S(k)出队；出队；直到直到S(k)S(i-1)为止。为止。在队尾插入在队尾插入S(i-1)取出队列中的最小值，即队首元素。取出队列中的最小值，即队首元素。第21页，本讲稿共37页算法三 由于对于求每个由于对于求每个F(i)的时候，进队和出队的时候，进队和出队的元素不止一个。的元素不止一个。但是我们可以通过分摊分析得知，每但是我们可以通过分摊分析得知，每一个元素一个元素S(i)只进队
14、一次、出队一次，所以队只进队一次、出队一次，所以队列维护的时间复杂度是列维护的时间复杂度是O(n)。而每次求。而每次求F(i)的的时候取最小值操作的复杂度是时候取最小值操作的复杂度是O(1)，所以这，所以这一步的总复杂度也是一步的总复杂度也是O(n)。综上所述，该算法的总复杂度是综上所述，该算法的总复杂度是O(n)第22页，本讲稿共37页方法3：根据最优解的性质减少决策uu例例5 5：石子合并问题：石子合并问题规划的边界条件为：mi,i=0令si,j=k，表示合并的最优断开位置。算法的时间复杂度为O(n3)。第23页，本讲稿共37页猜想uu合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置si,j要么等于i
15、，要么等于j-1，也就是说最优合并方案只可能是：(i)(i+1 j)或 (i j-1)(j)第24页，本讲稿共37页证明：uu设合并第设合并第i i堆到第堆到第j j堆石子的最优断开位置堆石子的最优断开位置 si,j=psi,j=p，且，且ipj-1ipj-1。情况情况1 1：ti,ptp+1,j ti,ptp+1,j uu 由于由于ipip，所以可以设，所以可以设q=si,pq=si,p。于是最优合并方案为：。于是最优合并方案为：(i (iq)(q+1.p)(p+1q)(q+1.p)(p+1j)j)，它的得分，它的得分，F1=mi,q+mq+1,p+mp+1,j+ti,j+F1=mi,q+m
16、q+1,p+mp+1,j+ti,j+ti,pti,puu我们可以构造如下的合并方案：我们可以构造如下的合并方案：(i (iq)(q+1.p)(p+1q)(q+1.p)(p+1j)j)，它的得分，它的得分，F2=mi,q+mq+1,p+mp+1,j+ti,j+F2=mi,q+mq+1,p+mp+1,j+ti,j+tq+1,jtq+1,juu由于由于qpqp，所以，所以ti,ptp+1,jtq+1,jti,ptp+1,jtq+1,j，所以，所以F1F2F1tp+1,j ti,ptp+1,j 与情况与情况1 1是对称的。是对称的。第25页，本讲稿共37页方法4:利用贪心思想减少状态总数uu例例例例6
17、 6 6 6：快餐问题：快餐问题：快餐问题：快餐问题uuPeterPeter最近在最近在最近在最近在RR市开了一家快餐店，为了招揽顾客，该快餐店准备推出市开了一家快餐店，为了招揽顾客，该快餐店准备推出市开了一家快餐店，为了招揽顾客，该快餐店准备推出市开了一家快餐店，为了招揽顾客，该快餐店准备推出一种套餐，该套餐由一种套餐，该套餐由一种套餐，该套餐由一种套餐，该套餐由AA个汉堡，个汉堡，个汉堡，个汉堡，BB个薯条和个薯条和个薯条和个薯条和C C个饮料组成。价格便宜。个饮料组成。价格便宜。个饮料组成。价格便宜。个饮料组成。价格便宜。为了提高产量，为了提高产量，为了提高产量，为了提高产量，Peter
18、Peter从著名的麦当劳公司引进了从著名的麦当劳公司引进了从著名的麦当劳公司引进了从著名的麦当劳公司引进了NN条生产线。所条生产线。所条生产线。所条生产线。所有的生产线都可以生产汉堡，薯条和饮料，由于每条生产线每天所能提供有的生产线都可以生产汉堡，薯条和饮料，由于每条生产线每天所能提供有的生产线都可以生产汉堡，薯条和饮料，由于每条生产线每天所能提供有的生产线都可以生产汉堡，薯条和饮料，由于每条生产线每天所能提供的生产时间是有限的、不同的，而汉堡，薯条和饮料的单位生产时间又不的生产时间是有限的、不同的，而汉堡，薯条和饮料的单位生产时间又不的生产时间是有限的、不同的，而汉堡，薯条和饮料的单位生产时
19、间又不的生产时间是有限的、不同的，而汉堡，薯条和饮料的单位生产时间又不同。这使得同。这使得同。这使得同。这使得PeterPeter很为难，不知道如何安排生产才能使一天中生很为难，不知道如何安排生产才能使一天中生很为难，不知道如何安排生产才能使一天中生很为难，不知道如何安排生产才能使一天中生产的套餐产量最大。请你编一程序，计算一天中套餐的最大生产产的套餐产量最大。请你编一程序，计算一天中套餐的最大生产产的套餐产量最大。请你编一程序，计算一天中套餐的最大生产产的套餐产量最大。请你编一程序，计算一天中套餐的最大生产量。为简单起见，假设汉堡、薯条和饮料的日产量不超过量。为简单起见，假设汉堡、薯条和饮料
20、的日产量不超过量。为简单起见，假设汉堡、薯条和饮料的日产量不超过量。为简单起见，假设汉堡、薯条和饮料的日产量不超过100100个。个。个。个。uu输入输入输入输入:第一行为三个不超过第一行为三个不超过第一行为三个不超过第一行为三个不超过100100的正整数的正整数的正整数的正整数AA、BB、C C中间以一个空格分中间以一个空格分中间以一个空格分中间以一个空格分开。第二行为开。第二行为开。第二行为开。第二行为3 3个不超过个不超过个不超过个不超过100100的正整数的正整数的正整数的正整数p1,p2,p3p1,p2,p3分别为汉堡，薯条分别为汉堡，薯条分别为汉堡，薯条分别为汉堡，薯条和饮料的单位
21、生产耗时。中间以一个空格分开。第三行为和饮料的单位生产耗时。中间以一个空格分开。第三行为和饮料的单位生产耗时。中间以一个空格分开。第三行为和饮料的单位生产耗时。中间以一个空格分开。第三行为N(0=0=10)N(0=0=10)，第四行为，第四行为，第四行为，第四行为NN个不超过个不超过个不超过个不超过1000010000的正整数，分别为各条的正整数，分别为各条的正整数，分别为各条的正整数，分别为各条生产流水线每天提供的生产时间，中间以一个空格分开。生产流水线每天提供的生产时间，中间以一个空格分开。生产流水线每天提供的生产时间，中间以一个空格分开。生产流水线每天提供的生产时间，中间以一个空格分开。
22、uu输出输出输出输出:每天套餐的最大产量。每天套餐的最大产量。每天套餐的最大产量。每天套餐的最大产量。第26页，本讲稿共37页分析uu设设pi,j,kpi,j,k表表示示前前i i条条生生产产线线生生产产j j个个汉汉堡堡，k k个个薯薯条条的的情况下最多可生产饮料的个数。情况下最多可生产饮料的个数。uu用用ri,j,kri,j,k表表示示第第i i条条生生产产线线生生产产j j个个汉汉堡堡，k k个个薯薯条条的的情况下最多可生产饮料的个数。情况下最多可生产饮料的个数。uu状态转移方程如下：状态转移方程如下：pi,j,k=Maxpi-1,j1,k1+ri,j-j1,k-k1pi,j,k=Max
23、pi-1,j1,k1+ri,j-j1,k-k1uu约约束条件：束条件：(0=j1=j=100,0=k1=k=100,(0=j1=j=100,0=k1=k=100,&(&(j-j1)*p1+(k-k1)*p2=Ti)j-j1)*p1+(k-k1)*p2=Ti)ri,j-j1,k-k1=(Ti-(j-j1)*p1+(k-k1)*p2)ri,j-j1,k-k1=(Ti-(j-j1)*p1+(k-k1)*p2)div div p3 p3;uu此算法的时间复杂度为此算法的时间复杂度为O(N*100O(N*1004 4),),第27页，本讲稿共37页优化uu在在本本题题中中，可可以以在在动动态态规规划划方
24、方法法中中加加入入了了贪贪心心算算法法思思想想：即即首首先先计计算算出出每每天天生生产产套套数数的的上上限限值值（由由A,B,CA,B,C计计算算，即即minmin100 100 div div A A，100 100 div div B B，100 100 div div c c），接接着着，用用贪贪心心法法计计算算出出这这N N条条流流水水线线可可以以生生产产的的套套数数，并并与与上上限限比比较较，大大于于则则输输出出上上限限值值并并退退出出，否否则则再再调调用用动动态态规规划划；同同时时，在在运运行行动动态态规规划划的的过过程程中中，也也可可以以每每完完成成一一阶阶段段工工作作便便与与上
25、上限限值值进进行行比比较较，这这样样以以来来，便便可可望望在在动动态态规规划完成前提前结束程序。其算法设计为：划完成前提前结束程序。其算法设计为：uuS1S1：读入数据。：读入数据。uuS2S2：贪心求上限并计算出一可行解，判断是否需进行下一步。：贪心求上限并计算出一可行解，判断是否需进行下一步。uuS3S3：动态规划求解。：动态规划求解。uuS4S4：输出。：输出。第28页，本讲稿共37页贪心优化uu显然，对每条流水线，我们没有必要将对每个时刻都进行动态规划，可以拿出大部分时间进行成套生产，剩下一些时间进行动态规划uu这样，显然可以极大的减少动态规划的状态总数，从而节约动态规划的计算时间。第
26、29页，本讲稿共37页例7：Hoteluu有有N N个男人，个男人，MM个女人，其中有个女人，其中有C C对夫妇要住房。现在对夫妇要住房。现在有有P P个房子。每个房子有个费用个房子。每个房子有个费用CiCi和床位和床位BiBi。住房有。住房有以下要求以下要求:uu1.1.每个房子住的人数不能超过每个房子住的人数不能超过BiBiuu2.2.一个房间住了夫妇，不能再住其他人。一个房间住了夫妇，不能再住其他人。uu3.3.不考虑夫妇情况下：一个房间住了男人后，不能再住女不考虑夫妇情况下：一个房间住了男人后，不能再住女人。对女人也是一样。人。对女人也是一样。uu问最少的费用。问最少的费用。(n500
27、,m500,P500,Bi=5)(n500,m500,P500,Bisize,lsize)(ksize,lsize)，那么肯定，那么肯定uu无论如何无论如何Ci/BiCi/Bi最小的那些房间肯定会被选到。最小的那些房间肯定会被选到。uu于是我们可以贪心在于是我们可以贪心在ksize,lsizeksize,lsize的时候，给他们的时候，给他们安排安排Ci/BiCi/Bi最小的房间。最小的房间。uu然后再进行动态规划。然后再进行动态规划。uu由于由于Bi=5.Bi=5.所以所以size=20size=20就够了。就够了。uu这样时间复杂度就很低了。这样时间复杂度就很低了。第33页，本讲稿共37页
28、方法4：利用恰当的数据结构存储状态，减少状态查找时间uu例例6 6、LOSTCITYLOSTCITYuu现给出一张单词表、特定的语法规则和一篇文章：现给出一张单词表、特定的语法规则和一篇文章：uu文章和单词表中只含文章和单词表中只含2626个小写英文字母个小写英文字母a az z。uu单词表中的单词只有名词，动词和辅词这三种词性，且相同词性的单词单词表中的单词只有名词，动词和辅词这三种词性，且相同词性的单词互不相同。单词的个数不超过互不相同。单词的个数不超过10001000，单词的长度均不超过，单词的长度均不超过2020。uu语法规则可简述为：名词短语：任意个辅词前缀接上一个名语法规则可简述为
29、：名词短语：任意个辅词前缀接上一个名词；动词短语：任意个辅词前缀接上一个动词；句子：以名词；动词短语：任意个辅词前缀接上一个动词；句子：以名词短语开头，名词短语与动词短语相间连接而成。词短语开头，名词短语与动词短语相间连接而成。uu文章的长度不超过文章的长度不超过5k5k。且已知文章是由有限个句子组成的，句子。且已知文章是由有限个句子组成的，句子只包含有限个单词。只包含有限个单词。uu编程将这篇文章划分成最少的句子，在此前提之下，要求划分出的编程将这篇文章划分成最少的句子，在此前提之下，要求划分出的单词数最少。单词数最少。第34页，本讲稿共37页输入输入1111n.tablen.tablen.
30、baleinen.baleinea.sillya.sillyn.snoopyn.snoopyn.sillysnoopyn.sillysnoopyv.isv.isv.isnotv.isnotn.kickn.kickv.kickv.kicka.biga.bigv.cryv.crysillysnoopyisnotbigtablebaleinekicksnoopysillycry.sillysnoopyisnotbigtablebaleinekicksnoopysillycry.输出对应的划分为：输出对应的划分为：sillysnoopysillysnoopyn n isnot isnotv v big
31、 biga a table tablen n.baleinebaleinen n kick kickv v snoopy snoopyn n silly sillya a cry cryn n.如果用下面的划分如果用下面的划分(则多一个单词则多一个单词)：sillysillya a snoopy snoopyn n isnot isnotv v big biga a table tablen n.baleinebaleinen n kick kickv v snoopy snoopyn n silly sillya a cry cryv v.第35页，本讲稿共37页我们分别用v,u,a表示动词
32、，名词和辅词，给出的文章用L1.M表示，则状态表示描述为：F(v,i)：表示将L的前i个字符划分为以动词结尾（当iM时，可带任意个辅词后缀）的最优分解方案下划分的句子数与单词数；F(u,i)：表示将L的前i个字符划分为以名词结尾（当iM时，可带任意个辅词后缀）的最优分解方案下划分的句子数与单词数。状态转移方程为：F(v,i)=minF(u,j)+(0,1)，L(j+1.i)为动词；F(v,j)+(0,1)，L(j+1.i)为辅词，iM；F(u,i)=minF(u,j)+(1,1),L(j+1.i)为名词；F(v,j)+(0,1),L(j+1.i)为名词；F(u,j)+(0,1),L(j+1.i
33、)为辅词，iM；边界条件：F(v,0)=(1,0)；F(u,0)=(,)；问题的解为：minF(v,M),F(u,M)；第36页，本讲稿共37页顺序查找顺序查找二分查找二分查找哈希表哈希表检索树检索树算法的时间算法的时间复杂度复杂度O(20*M*N)O(20*M*N)O(20*M*O(20*M*loglog2 2N)N)O(20*M)O(20*M)O(M)O(M)最坏情况下最坏情况下的比较次数的比较次数10108 810106 610105 55*105*103 3Input.009Input.009超时超时1.27s1.27s0.32s0.32s0.05s0.05sInput.010Input.010超时超时1.33s1.33s0.33s0.33s0.05s0.05s采用不同的方法查找字符串的比较：设单词表的规模为N（N的最大值为1000）设文章的长度为M（M的最大值为5000）第37页，本讲稿共37页