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1、第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green公式及其应用1利用Green公式，计算下列曲线积分：(1) ，其中为正向圆周；解：由Green公式，得，其中为。(2) ，其中为以及为顶点的三角形负向边界；解：由Green公式，得。*(3) ，其中为的上半圆周从点到点及的上半圆周从点到点连成的弧；解：连直线段AB，使L与围成的区域为D，由Green公式，得*(4) ，其中为正向圆周.解：因为，。作足够小的圆周:,取逆时针方向，记与围成的闭区域为，由Green公式，得，故2计算下列对坐标的曲线积分： ，其中为曲线上由点到点的一段弧；解：，故积分与路径无关，取经x轴到点的一条路径， 从而原式=。*3设
2、函数具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线，有.证明：，记L围成的闭区域为D, 由Green公式，得.第四节 对面积的曲面积分1填空题：(1) 设为球面，则 ；(2) 面密度的光滑曲面的质量 .2计算下列对面积的曲面积分：(1) ，其中为平面在第一卦限的部分；解：，(2) ，其中为的部分；解：，*(3) ，其中为围成四面体的整个边界.解：， 其中，。第七节 Stokes公式 *环流量与旋度1利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1) ，为面内圆周逆时针方向；解：取为平面的下侧被围成的部分，D为在面上的投影区域。 由Stokes公式，得(2) ，为平面在第一卦限部分三角形的边界，从轴正向看去是逆
3、时针方向；解：取为平面的上侧被围成的部分，的单位法向量。 由Stokes公式，得第十一章 综合练习题1填空题：(1) 已知为椭圆，其周长为，则 12a ；(2)已知为直线上从点到点的直线段，则 1 ；(3)设是以点,为顶点的三角形正向边界，则 0 ；(4)曲线积分与路径无关，则可微函数应满足条件 ；*(5)设为平面在第一卦限的部分，取上侧，则 0 .2求下列曲线积分：(1) ，其中为球面被平面所截得的圆周；解：在的方程中，由于x, y, z循环对称，故，于是*(2) ，其中是以为圆心，为半径的正向圆周；解：，。作足够小的椭圆，取顺时针方向，由格林公式，得。 所以*3在过点和的曲线族中，求一条曲
4、线，使该曲线从到积分的值最小.解：令，则 。 所以 所以得驻点。又，故在取得最小值，从而为。*4设曲线积分与路径无关, 其中具有连续的导数, 且,计算.解：，由于积分与路径无关，所以，即，从而。 由，知，所以。 于是。5 计算下列曲面积分：(1) ，其中为圆柱面介于与之间的部分；解：在的方程中，由于x与y循环对称，故，于是*(2) ，其中为下半球面的上侧；解：设平面，取下侧。和围成的下半球体为。由格林公式得：近三年考研真题（2013年）1. 设 , , , 为四条逆时针方向的平面曲线，记，则（ ）（A） (B) (C) （D）（2012年）2. 设，则（2011年）3. 设L是柱面方程与平面的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分（2011年）4. 已知L是第一象限中从点（0，0）沿圆周到点（2，0），再沿圆周到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分。 近三年考研真题解析（2013年）1. 解析： 由格林公式：，在内，因此。而在在外，因此。可得。（利用极坐标分别计算出和）（2012年）2. 解析： 由曲面积分的计算公式可知：， 其中， 故原式=。（2011年）3. 解析：由斯托克斯公式得：（2011年）4. 解析： 设圆为, 圆为，所补的直线为，由格林公式得：原式