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1、利用空间向量解立体几何问题1、线面垂直别解：本题还可以证明向量A1C与平面DBE的法向量平行11.（2009安徽卷理）如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大小；（向量法）以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量，则由得令，得，同理，可求得平面ADF的法向量。 由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。14.（2009江西卷文）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：
2、平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离解：方法（一）：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是与平面所成的角，且 所求角为（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，平面于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中，所以为中点，则O点到平面ABM的距离等于。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量，由可
3、得：，令，则，即.设所求角为，则，所求角的大小为. （3）设所求距离为，由，得：25.（2009全国卷文）(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，。 （I）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。（同理18） （）设，则，由题得，即解之个方程组得即所以是侧棱的中点。 法2：设，则又故，即，解得，所以是侧棱的中点。（）由（）得，又，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即， 二面角的大小。线面角1.线面角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和平面的夹角）.如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所
4、成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角.直线和平面所成的角的取值范围为，斜线和平面所成角的取值范围为.4.二面角：二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面.一个平面垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线分别是射线，为垂足，则叫做二面角的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值范围为.(1)定义法(垂面法)：过二面角内的一点作棱的垂面，垂面与二个半平面的交线形成所求平面角.(2)等价定义法：在二面角的棱上取一点(中
5、点等特殊点) ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.(3)三垂线法：先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角.(4)射影面积法：利用面积射影公式其中为平面角的大小，特点在于不需要画出平面角，也不需要找出棱，尤其适用于没有画出棱的二面角问题. (3)法向量法：建立空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量，利用公式求出平面角或其补角的余弦值，再数形结合确定二面角的大小1、正方体中求二面角A1-BD-C1的大小45异面直线成角（1）异面直线、所成的角：在空间中任取一点O，过点O分别引，则，所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。两条异面直线所成
6、角的范围：。求法：把两条异面直线中的一条放入一个平面，另一条与这个平面有交点，过这个交点在平面内作第一条的平行线，则这两条直线所成的角为两条异面直线所成的角。然后解三角形得到。运用向量：在直线上取两点A、B，在直线上取两点C、D，若直线与的夹角为，则。例3、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，ABDC,ACBD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PBPD.求异面直接PD与BC所成角的余弦值；解法一：平面， ，又，由平面几何知识得：（）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，四边形是等腰梯形，又，四边形是平行四边形。，是的中点，
7、且，又，为直角三角形，在中，由余弦定理得故异面直线PD与所成的角的余弦值为解法二： 平面， ，又，由平面几何知识得：以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，（）， ， 。若与所成的角为，则。故直线与所成的角的余弦值为（2）直线与平面角：斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影所成的锐角。直线与平面所成角的范围为：。求法：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用三棱锥体积等量来求出斜线上一点到平面的距离。运用向量：设是平面的法向量，A、B是直线上的点，如
8、果直线与平面所成的角为，则。例4、（07湖北理）如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=，VDC=。当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；解：（）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，ADBCVxyz设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，则由得可取，又，于是，又，即直线与平面所成角的取值范围为（3）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形，叫二面角。二面角的范围为。求二面角大小： 找出二面角的平面角，然后利用解三角形来求出。利用面积射影定理。运用向量：从相交棱上一点（或两点）出发，找与相交棱方向向量垂直的两个向量、，则、这两个向量所成的角的大小等于二面角的大小。ABCDEA1B1C1例5（06年全国）如图，在直三棱柱中，ABBC，D、E分别为BB1、AC1的中点设AA1ACAB，求二面角A1ADC1的大小解：（）如图，建立直角坐标系Oxyz，其中原点O为AC的中点ABCDEA1B1C1Ozxy设，则，设分的比为，则，而，由，所以，;又，。由， ，知，即二面角A1ADC1的大小为。