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1、 空间向量的引入为代数方法处理立体几空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而时，可用定量的计算代替定性的分析，从而回避了一些严谨的推理论证。求空间角与距回避了一些严谨的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角与距离的问题。量的办法解决空间角与距离的问题。教学目标 掌握向量解决立体几何问题的思想方法; 掌握向量与几何结合的各种解题技巧; 会
2、运用向量解决几何中的距离,二面角,线面角等的具体求法; 提高学生多种角度解决几何的能力.建立空间直角坐标系，解立体几何题建立空间直角坐标系，解立体几何题1 122330a ba ba bba112233,()ab ab abRba|112222/ababab一、常用公式：一、常用公式：1、求线段的长度：、求线段的长度：2 22 22 2z zy yx xA AB BA AB B212212212zzyyxx2、平行、平行3、垂直、垂直4、求、求P点到平面点到平面的距离：的距离：| |n n| | |n nP PMM| |d d，（，（N为垂足，为垂足，M为斜足，为斜足，n为平面为平面的法向量）
3、的法向量）5、求直线、求直线l与平面与平面所成的角：所成的角： | |n n| | | | P PMM| | |n nP PMM| | s si in n ，(lPM Mn为为的法向量的法向量)6、求两异面直线、求两异面直线AB与与CD的夹角：的夹角： |cosCDABCDAB7、求二面角的平面角、求二面角的平面角 :( 为二面角的两个面的法向量）为二面角的两个面的法向量）|cos2121nnnn1n2n8、求二面角的平面角、求二面角的平面角 : SS射影cos（射影面积法）（射影面积法）9、求法向量：、求法向量：找；找；求：设求：设ba, 为平面为平面内的任意两个向量，内的任意两个向量， )
4、,(zyxn 为为 的法向量的法向量 00nbna则由方程组则由方程组 可求得法向量可求得法向量n例一：例一：090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.CA1AB1B1C1D1F题型一：线线角题型一：线线角异面直线异面直线AB与与CD所成角：所成角： |cosCDABCDABA1AB1BC1C1D1Fxyz所以：所以：题型一：线线角题型一：线线角A1AB1B1C1D1F解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则 11CC (1,0,0), (
5、0,1,0),ABCxyzC) 1 ,21,21(),1 , 0 ,21(11DF) 1 ,21,21(,) 1 , 0 ,21(11DBFA10302345| 141|1111DBFADBFA11cos,AF BD |所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为1BD1AF1030例二例二： 在长方体在长方体 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMxyz(5,2,4),AM 1(0,8, 4),AD (0,0,0),A1(0,0,4),A
6、(0,8,0),D(5,2,4)M题型一：线线角题型一：线线角两线垂直两线垂直证明：如图建立坐标系，则证明：如图建立坐标系，则1.ADAM01DAMAa 例二例二已知正三棱柱的各棱长都为已知正三棱柱的各棱长都为1，是底，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且，面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。求证：。ABCABC MBCNCC 14CNCC ABMN NMACBCABb c 解解1：向量解法：向量解法 设设，则由已知条件和正三棱柱的性质，则由已知条件和正三棱柱的性质 ，得，得,ABaACbAAc .ABMN 你能建立直角坐标系解答本题吗？你能建立直角坐标系解答本题吗？)412121()(cb
7、acaNMBAcbcabaca214121|41|2122,21, 0, 1|bacbcacba0414121NMBA,412121cbaMANANMcbNAbaMAcaBA41),(21,NMACBCAB.ABMN 解解2：直角坐标法：直角坐标法 。 取取 由由已知条件和正三棱柱的性质，得已知条件和正三棱柱的性质，得 AM BC,如图建立坐标系如图建立坐标系m-xyz。则。则 ,GCB的中点),1 ,21, 0(),0 , 0 ,23(),41,21, 0(), 0 , 0 , 0(BANM) 1 ,21,23();41,21, 0(BANM041410141)21(21023 MNBAXY
8、ZG例例2 2已知正三棱柱的各棱长都为已知正三棱柱的各棱长都为1，是底，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且，面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。求证：。ABCABC MBCNCC 14CNCC ABMN 题型二：线面角题型二：线面角在长方体在长方体 中，中，ABCD1A1B1C1DMxyzADANM（2）求与平面所成的角.BCD1A1B1C1DMN|sin|nADnAD解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA由的法向量设平面),(zyxn 00nNAnMA03
9、40626zyzyx即例三：例三：1111ABCDABC D112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，51NA, 61AA, 8, 6ADAB例三：例三：题型二：线面角题型二：线面角在长方体在长方体 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，ABCD1A1B1C1DMNxyzADANM（2）求与平面所成的角.BCD1A1B1C1DMN51NA)34, 1 , 1 (n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD 又又ADANM与平面所成角的正弦值是34343, 61AA|sin|nDA
10、nDAABDCA1B1D1C1例四例四. .在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E为为DDDD1 1的中点，求证：的中点，求证：DBDB1 1/面面A A1 1C C1 1E EEF题型三：线面平行题型三：线面平行) 1 , 0 , 0(),2 , 2 , 0(),2 , 0 , 2(. 2,11ECAADxyzD则设证明：如图建立坐标系xyz).1 , 1 , 1 (),1, 0 , 2(),0 , 2 , 2(1111BDEACA则的法向量设平面),(11zyxnCEA00111nEAnCA02022zxyx即即)2, 1 , 1 (n解得, 021111nBDnBD./111ECA
11、DB平面题型四：二面角题型四：二面角ABCDS。所成的二面角的余弦值与面求面平面是一直角梯形，例五、如图，SBASCDADBCABSAABCDSAABCABCD,21, 1,900解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,),0 ,21, 0(DA( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,(0,0,1)S) 1,21, 0(),0 ,21, 1 (DSDC),0 ,21, 0(1DAnSBA的法向量易知，面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：设平面0202zyyx) 1 , 2 , 1 (2n解得：,36|,cos212121nnnnnn。是即所求
12、二面角的余弦值36xyz题型五：异面直线的距离题型五：异面直线的距离的距离。与的中点。求为中底面的侧棱已知：直三棱柱例101111,90, 2, 4. 6ABCEABEBCABCACABCAACBAABCzxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取取x=1,z则则y=-1,z=1,所以所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 2(,ACAC在两直线上各取点.332|1nACndBAEC的距离与EA1B1课后作业课后作业1.完成完成”优化探究优化探究”第四节第四节:A基础达标基础达标;2.完成完成”优化探究优化探究”第五节第五节:高考能力展示高考能力展示.