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1、4 解析函数与调和函数的关系一、概念与结论1.定义与定理 设具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程：则称为调和函数。若还有调和函数，与满足柯西黎曼方程，则相互称其为共轭调和函数。定理 解析函数的实部和虚部皆为调和函数，但反之不然。证明 设解析，且，又，又解析，故二阶偏导连续，从而，。同理可证。反之，如，易见满足Laplace方程，但是，处处不解析。例1 若都是区域内的调和函数，且满足柯西黎曼方程：，则在区域内A.是解析函数 B.不是解析函数 C.不一定是解析函数 D.不一定是连续函数解 A.正确。，是解析的充要条件。2.主要题型调和函数的正问题和反问题；对给定调和函数，求满足条件：，的共轭调和
2、函数，构成解析函数。二、应用举例例2 证明：为调和函数，并求其共轭及其构成的解析函数。证明 ，为调和函数； 令，又有从而，；即为所求。注：令，得到的关于变量的表达式。例3 求常数，使得为调和函数，并求解析函数使。解 ，又，依题设，对，；从而，令，又由，于是，从而，又 ，即。第四章 级数1 复数项级数一、数项级数1.复数项数列的极限定义1 对复数列及常数，：对。定理1 设，则。证明 由函数极限存在定理立得。同时注意到，在极限存在时，有：.例1 设有复数列，计算。解 。2.复数项级数定义2 称为复数项无穷级数，简称级数，其中前项和：称为级数的部分和，且级数收敛，并令级数。定义3 设级数收敛。若级数
3、收敛，则称级数绝对收敛；若级数发散，则称级数不绝对收敛或条件收敛.定理2 级数（绝对）收敛级数，同时（绝对）收敛。证明（略）。并容易证明：性质1（必要条件） 若级数收敛，则。性质2（充分条件） 若级数收敛，则级数收敛。例2 判断下列级数的收敛性，是否绝对收敛？；。解 ，从而由级数收敛的必要条件知，原级数发散。，显然实部和虚部级数为交错级数，收敛，故原级数收敛；但是，发散，从而，原级数不绝对收敛或条件收敛；收敛，从而由级数收敛的充分条件知，原级数收敛且绝对收敛。二、函数项级数1.概念定义4 设复函数列，有共同的定义域，则称为复函数项无穷级数，简称级数，其中前项和：称为级数的部分和。对某点，若，则
4、称级数在点收敛且。收敛点的全体称为级数的收敛域，在收敛域内，对，称为级数的和函数。例3 证明：。证明 ，易知，当时，；而当时，级数发散。2.幂级数及其收敛性定义5 称特殊的具体函数项级数或为幂级数。对于后者，若令，则。故下面主要讨论前者（标准幂级数）。 y z0 x z1 z1z0O定理 若当时，收敛，则对的一切，必绝对收敛；反之，若当时，发散，则对的一切，发散。注：定理几何意义如图：三、幂级数的收敛半径与收敛圆1.概念由定理知，的收敛情况必居下列情形之一：对任意正实数都收敛在复平面上处处绝对收敛；除原点外，对任意正实数都发散在复平面上除外，处处发散；存在正实数，对，收敛，但对，发散。从而，当
5、时，幂级数收敛且绝对收敛；当时，幂级数发散。此时，该正实数称为幂级数的收敛半径，以原点为心，为半径的圆：称为幂级数的收敛圆，其边界称为幂级数的收敛圆周，记为。显然，在，绝对收敛；在，发散收敛半径为幂级数的重要指标。特别地，规定：；。2.求收敛半径定理3 对幂级数，若或，则特别地，规定：时，；时，例4 求下列幂级数的收敛半径或收敛圆：；。解 ；令，。于是，时，收敛，即原级数的收敛圆为。四、幂级数的运算性质1.代数运算设，取，则对，；，其中。设，在内，解析且，则在内，。例5 将展成的幂级数，并指出收敛圆和收敛半径。解 ，从而，当时，。其收敛圆为，收敛半径。2.分析运算设，则在内，幂级数的和函数解析；可逐项微分：；可逐项积分：。