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1、向量的坐标表示及其运算、向量的数量积基本概念总结：一、 向量的坐标表示及其运算向量是既有大小又有方向的量。在平面内可用带箭头的线段来表示，线段长表示大小，箭头表示方向。两个向量可以根据平行四边形法则，三角形法则进行加，减运算，这始终是几何法。为了使向量运算代数化，数形结合，我们在平面内建立直角坐标系后，可以把其放置于坐标系中考虑。平面内任意的向量都可以把它的起点移到坐标原点，平移后的向量与原向量相同。所以我们称所有始点为原点的向量为位置向量，这样就能将向量的位置确定下来，通过点的坐标，将向量的几何运算转化为代数运算，即坐标运算。平面内任意的向量都唯一对应着与它相等的位置向量，位置向量由位置向量
2、的终点确定。每一个位置向量的终点与平面内的点是一一对应的。1）把与X轴正半轴同方向的单位向量记作，把与Y轴正半轴同方向的单位向量记作见图则即它们的系数恰为向量的终点A的坐标，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作2）有了向量的坐标，向量的运算可转化为向量的坐标运算设（1）；（2）；（3）3）设点P和Q的坐标分别为和，则，则如图4） 已知P是直线上的点，且（为任意实数，且），的坐标分别为，求点P的坐标。解：由，可知因为，所以我们把这个公式叫做线段的定比分点公式。（1）当时，点P在之间；当时，点P在或的延长线上。（2），则。的正负由与的方向确定，当与的方向相同时，；当与的方向相反时，。（3）特别地，
3、当时，P为线段的中点，有中点公式二、向量的数量积1）对于两个非零向量和，如果以为原点，作，那么射线与的夹角叫做和的夹角，的取值范围是，当时，和方向相同，当时，和方向相反，当时，和方向垂直，记为。如果两个非零向量与的夹角为，我们称为向量和的数量积，记为即；如果向量和有一个是零向量，我们规定。（1）两个向量的数量积一定是一个数量，而不是向量；（2）在形式上，不可以写成或（3）由定义：（当且仅当时，取等号）（这里向量与的夹角是）2）根据向量的数量积的定义，可知两个非零向量与的夹角满足（1）两个向量与垂直的充要条件是（2）向量的数量积有：（1）（3）；（4）3）设；两个向量与垂直的充要条件是，即。三、
4、平面向量的分解定理：如果、是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数、，使。应用举例：1、 已知：且满足，求的坐标。解：设已知，得则，即2如图，已知平面上三点的坐标分别为，求点的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。解：当平行四边形为时，得；当平行四边形为时，得当平行四边形为时，得CBAOYXD2CBAOYXD1CBAOYXD33已知，且平行，求的值。解：，由平行，得即解得。4已知三点点（1）为何值时，点在正比例函数图象上？（2）设点在第三象限，求的取值范围。解：设P点的坐标为，则由知。又,，,。(2)因为点在第三象限，所以5如图，已知点线段上三等分点依次为，求
5、点的坐标以及所成的比。_P_1_P_2_B_A_Y_X_O解：设则，由定比分点公式得：由可得解得：；同理由解得。解（续）：方法一：几何法，确定长度比与方向。方法二：代数法，由可得解得：；同理由解得。6在，则下列推导不正确的是（ ）CBAbacD（A）若则为钝角三角形；（B）若则为直角三角形（C）若则为等腰三角形（D）若，则为正三角形解：对于（A），的夹角对应于三角形的外角，所以（A）正确；（B）显然也是正确的；对于（C），由可得，即，由平行四边形法则，（如图），所以BD垂直平分AC，所以BA=BC，为等腰三角形，（C）也是正确的。对于（D），成立，但不能确定为正三角形，故选取（D）7已知都是非
6、零向量，且与互相垂直，与互相垂直，求的夹角。yxAk+2Ak+1Ak8在直角坐标平面上的一列点，简记为. 若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列. 若为点列，且点在点的右上方. 任取其中连续三点，则的形状为( )（A）锐角三角形; (B) 直角三角形;(C) 钝角三角形; (D) 不确定解:在中， . 点在点的右上方， 为点列， ，则. 为钝角， 为钝角三角形.所以选取(C)OMCBA9.在中, 为中线上的一个动点,若,试求的最小值解：设，则， 为中线上的动点，故， ， ，最小值是210（1）已知非零向量，其中且与的夹角为，当为何值时，取最小值。解：设则当时，取最小
7、值。所以当时，取最小值。（2）非零向量为已知向量，当取最小值时，求实数的值；求证：与互相垂直。解：设则当取最小值时，时，取最小值。（2）因为，所以故与互相垂直。11已知与的夹角为，能否找到常数，使且，若存在，试求出的值；若不存在，试说明理由。解：假设存在满足条件的实数，使，则，即得，整理：，所以存在，使。12（2007高考题）如图，在四边形中，DCAB试求的值。解：且，则有，又，则延长到，使连，则是等腰直角三角形，=13给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,试求的最大值。解法一：设 ，即解法二：设，过点C作CD/OB,交OA所在的直线与D，作CE/OA,交OA所在的直线与E。由正弦定理，补充例题例14 在中，已知，若长为的线段以点为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.解法一:（分析）虽然题目中没有给出坐标系，但可以构造对应的坐标系，然后把问题转化到点坐标间的运算来完成。xyCQABP以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设，则。且，设点的坐标为，则，,， ,.故当,即 (与方向相同)时, 最大,最大值为 解法二：,=0.= -,=-,=-,=(-)(-)=-+ = -a2-+= -a2-(-)= -a2+ 故当cos=1,即=0 (与方向相同)时, 最大,最大值为0.