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1、第十章 曲线积分与曲面积分1 对弧长的曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程若，则若，则注意：上限一定要大于下限1 计算下列对弧长的曲线积分（1），其中为圆周；解：法一：法二：，（2），其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； AB解：，其中，（或）故（3），其中为抛物线上介于与之间的一段弧；解：由，得（4），其中为摆线的一拱；解：（令）（5），其中为圆周；解：利用对称性，其中（6），其中为曲线，上相应于从0变到2的弧段；解：（7），其中为空间圆周： .解：由，得，令故。故2 螺旋形弹簧一圈的方程为： ，设它的线密度为，求：（1） 它关于轴
2、的转动惯量；（2）它的重心坐标.（1）（2）（分子采用分部积分法）=2 对坐标的曲线积分无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程1计算公式：若，（其中分别始点和终点对应的参数），则若，（其中分别始点和终点对应的参数），则注意：（1）对定向曲线才能说对坐标的曲线积；定向曲线的参数方程与未定向曲线的参数方程的不同： 定向曲线的参数表示为始点的参数到终点的参数而不管谁大谁小： 未定向曲线的参数方程的参数表示为不等式：（2）弧长的积分转化为定积分时定积分的上限一定要大于下限对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的上限一定是终点的参数，下限是始点的参数，而不管上限是否一定要大于下限2：两
3、类曲线积分的关系（1） 定向曲线的切向量及其方向余弦若当时切向量为：；方向余弦为当时切向量为：；方向余弦为类似可以推广到空间曲线。（2） 两类曲线积分的关系其中为定向曲线切向量的方向余弦注意：把第二类曲线积分转化为第一类曲线积分其关键是求出切向量。特别要注意始点参数与终点参数大小关系对切向量符号的影响。1 把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中为：（1）从点（0，0）沿抛物线到点（1，1）；解：，由，故在处切向量为，所以，所以（2）从点（0，0）沿上半圆周到点（1，1）.解：，由，故在处切向量为，所以，所以（或）法二，由，故切向量为，即所以，所以2 计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中
4、为抛物线上从点（0，0）到（2，4）的一段弧；解：由，得OAa（2），其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界曲线弧（按逆时针方向）；解：，其中，（注意此方程不是的极坐标方程，故不能说在极坐标系下的范围，事实上极坐标方程为，故在极坐标系下的范围为）故（3），为从点（1，0）到点（-1，0）的上半椭圆周；解：由，得（4），其中为圆周（按逆时针方向）；解：由，得（5），其中为椭圆周：，且从轴正方向看去，取顺时针方向；解：由 得，故（注意：易知，所以（6），其中是曲线：上由0到的一段弧.解：3计算，其中：（1）抛物线上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）
5、的直线段；（3）曲线上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧.解：（1）由，得（2）由，得（3）由，得4证明： 其中为平面上光滑曲线的长度.（提示：转化为对弧长的曲线积分）证明：其中是切向量的方向余弦，故满足。法二：证明：其中是切向量的方向余弦，故满足。设向量，则，故3 Green公式1 用曲线积分计算下列曲线所围平面图形的面积：（1）椭圆：；解：若：，则（2）星形线：，.解：若：，则2用格林公式计算下列曲线积分（1），其中为圆周，取逆时针方向；（2），其中为闭区域的正向边界.解：（1），又逆时针方向，设，所以（注意，为什么？）（2）所以（其中所以）3计算积分，其中为圆周（按逆时针方向）；解（1
6、）故当时，在所围的区域内有连续偏导，满足格林公式条件。（2）故当时，所围的区域含有点，故在区域有点没有连续偏导，不满足格林公式条件。不能直接用格林公式条件。做曲线（取得足够小保证含在所围区域）方向为逆时针，即。则曲线围成复连通区域且为的正向边界。故在复连通区域满足格林公式条件，故即（注之所以取曲线是方便计算，若取则计算麻烦）4证明下列曲线积分在面上与路径无关，并计算积分.（1）解：，所以单连通区域面有连续偏导，且A（1，2）C（3，4），所以曲线积分在面上与路径无关。B（3，2）法一：其中法二设：则得0，故（2）解：，所以单连通区域面有连续偏导，且A（1，0）C（2，1）B（2，0），所以曲线
7、积分在面上与路径无关。法一：其中法二设：，得0，所以，故=5用适当的方法计算下列曲线积分OBADA（1），其中为圆周上从点依逆时针方向到点的弧段；解：由 ，有其中，B（1，2）A（2，1）C（1，1）（2），其中为从点到点的直线段.解：由 ，有积分与路径无关，则其中，（注意：若应用积分与路径无关，则必须保证在添加的曲线与原曲线所围的区域是单连通的，和在区域有连续偏导数，如该题中区域就不能含原点）6解下列全微分方程（1）；解： ，在面有，得方程为全微分方程。法一，故O（0，0）B（x，y）A（x，0），得，即所以方程通解为法二，令其中所以方程通解为（2）.解：，在面有，得方程为全微分方程。法一，
8、故O（0，0）B（x，y）A（x，0），得，即所以方程通解为法二，令其中所以方程通解为7计算曲线积分，其中：（1）闭区域的正向边界；，则显然在内有连续偏导数，满足格林公式条件，故（2）圆周按逆时针方向；解：圆周所围区域含原点，故在其内没有连续偏导，数，不能用格林公式。直接计算，故(0, p)E(p,-p),B(-p,-p)A(- p, p),C(p, p),D（3）从点沿曲线到点的弧段.解：由，则积分路径无关，故：，其中，故： 8利用曲线积分与路径无关的条件，求待定参数或函数.（1）确定的值，使曲线积分与路径无关；解：，欲使曲线积分与路径无关当且仅当，即，即得（2）求可微函数，使曲线积分 在的
9、开区域内与积分路径无关.解：，积分与路径无关当且仅当，即，得，（这是以自变量为未知函数的一阶线性微分方程）又得9证明的充分必要条件为： 其中是单连通开域内的一条简单闭曲线，在内具有连续的二阶偏导数证明：对曲线积分，故的充分必要条件为，又，故的充分必要条件为， 即4 对面积的曲面积分1计算下列曲面积分（1），其中为抛物面在面上方的部分;解：则故（2），其中为锥面及平面所围成闭区域的边界曲面. 解：如图，其中，故=+=+（3），其中为锥面被柱面所截得的部分;解：则故（区域关于轴对称，函数，是关于奇函数）（4），其中为上半球面.解：，则故：3 计算曲面壳的质量，面密度.解：质量其中，则4 求密度为常
10、数的均匀半球壳对于Oz轴的转动惯量.解：在面上的投影区域：5对坐标的曲面积分计算联合形式法一：直接计算：则分别计算，（1） 计算时（）将曲面投影在面（且只能投影面，即使投影为曲线而非区域，此时）为区域，即根据方程解出：，并确定曲面是朝上还是朝下1计算下列对坐标的曲面积分（1），其中是柱面被平面及所截下的第一卦限内部分的前侧;解：（1）计算在面投影为0，故（2） 计算曲面朝投影为 故，前侧 故（令（3） 计算曲面朝投影为 故，右侧 故故=（2），其中是抛物面介于平面及之间的部分的下侧;yzx解：法一（直接计算）：计算，将投影到面为，朝下，故yZ=2计算将投影到面为，如图，其中，朝前，朝后，故（其
11、中令）故法二（投影面转换法）因为，：，朝下，所以（其中利用对称性：，由于：易知：，即）2把对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分：（1）：平面被柱面所截部分的下侧;解：曲面在处的法向量为，故：，故（注意对于非定向曲面可为，或，但对于定向曲面朝下则第三个分量应为负）（2）：抛物面被平面所截的部分的左侧.解：曲面在处的法向量为，故：，故（注意对于非定向曲面可为，或，但对于定向曲面朝做则第二个分量应为负）3计算曲面积分其中为连续函数，是平面在第四卦限内的上侧.解：由是平面在第四卦限内的上侧，故曲面在处的法向量为故，则（其中平面的面积为）5 计算，为锥面上满足，的那部分曲面的下侧.解：（采用投影面转换法
12、计算较为简单）由，有又为锥面：，朝下，6 Gauss公式与Stokes公式1利用高斯公式计算下列曲面积分.（1）其中是球面的外侧.解（本题中若写成是错误的，为什么？）2）其中为由曲面与所围立体的表面的外侧.解：（若采用先二后一的方法计算三重积分），其中（若采用柱坐标方法计算三重积分）2计算下列曲面积分：（1），是球面的上侧.解；作曲面，朝下。则其中（先二后一）由，朝下，有，故（2），为抛物面被平面所截下的部分的下侧.解；作曲面，朝上。则其中（用柱坐标）由，朝上有故（其中利用定积分的几何意义有）3：计算曲面积分其中为和所围曲面外侧.解：4设是连续可导函数，计算曲面积分其中为锥面与两球面及所围立体
13、表面的外侧.解：5利用斯托克斯公式计算下列曲线积分:（1），为圆周：，从z轴正向看去，取逆时针方向.解：原积分=（其中如图它是在球内的部分，朝上。）的法向量为，故（2），为椭圆，从z轴正向看去，取逆时针方向.解：原积分=（其中它是在圆柱内的部分，朝上）的法向量为，故原积分第十章 自测题1（1）求，其中为曲线，；解：（2）求，其中L为上半圆周，沿逆时针方向.解：，做直线段，则OA2a由有故2计算下列各题：（1），其中为界于与之间的柱面：.解：利用对称性有其中为在第一卦限部分如图（2）求其中为锥面的外侧.解：作曲面，朝上，则由，朝上有故（3）其中为曲面的上侧.解：作曲面，朝下，则由，朝下，有故=03求均匀曲面的质心的坐标.解：利用对称性，其中，故质心为