《空间解析几何》word版.doc

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1、第6章空间解析几何 177第6章 空间解析几何空间解析几何是学习多元函数微积分的基础，空间向量是研究空间解析几何最有效的工具，它本身在工程技术中有着广泛的应用本章将进一步研究空间向量，并以空间向量为工具讨论空间中的直线、平面、曲线与曲面为了更方便地讨论以上问题，我们还要学习有关向量代数的基本知识空间直角坐标系学时：学时目的要求：.理解空间直角坐标系是如何建立的以及如何确定空间点的坐标能熟练运用空间两点间距离公式及中点坐标公式为了确定直线上一点的位置，建立了数轴，用一个实数来确定该点的位置；为了确定平面上一点的位置，建立了平面直角坐标系，用两个有序的实数组来确定该点的位置；若想确定空间一点的位置

2、，就需要建立新的坐标系，可以想到自然用三个有序实数来决定其位置本节我们将通过空间直角坐标系，建立空间中的点与由三个实数组成的有序数组的关系，即空间中点与坐标之间的关系 空间直角坐标系过空间一点，作三条两两互相垂直的数轴，这样就构成了空间直角坐标系，记作（如图6-1）点称为坐标原点；三条轴统称为坐标轴，分别简称为横轴、纵轴和竖轴（竖轴也称为立轴）；每两个坐标轴所决定的平面称为坐标平面，我们分别把它们叫做平面，平面，平面；这三个平面将空间划分成八个部分，称为空间直角坐标系的八个卦限（如图6-2） 图6-1 图6-2在空间直角坐标系中，轴的方向一般我们都采用右手系，即以右手四指握拳方向沿轴正向到轴正

3、向握住轴，姆指伸开的方向为轴的正向（如图6-3） 空间点的直角坐标取定了空间直角坐标系后，就可建立空间的点与由三个实数组成的有序数组的一一对应关系设为空间中的任一点，过点分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与轴、轴和轴依次交于、三点，若这三点在轴、轴、轴上的坐标分别为，于是点就唯一确定了一个有序数组，则称该数组为点在空间直角坐标系中的坐标，如图6-4，分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标 图6-3 图6-4反之，若任意给定一个有序数组，在轴、轴、轴上分别取坐标为，的三个点、，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点，该点就是以有序数组为坐标的点，因此空间中的点就与有序数组之间

4、建立了一一对应的关系注 、这三点正好是过点作三个坐标轴的垂线的垂足例1 在空间直角坐标系中，画出点，图6-5解 根据点的坐标特征可知：点在轴上，点在平面上画点时，先在轴的正方向上取个单位的点，轴的正方向上取个单位的点，过这两点在平面上分别作轴与轴的平行线，交于点，过作的平行线，在直线上，点的上方取个单位便得到点(图6-5)例2 求点关于各坐标平面对称的点的坐标解 点关于平面对称的点的坐标为，关于平面对称的点的坐标为，关于平面对称的点的坐标为例3 求点到平面及轴的距离解 点到平面的距离即为点的竖坐标的绝对值，即点到平面的距离为过作平面，垂足为，过作轴，为垂足，如图6-6所示，由三垂线定理知轴，即

5、为点到轴的距离，在直角三角形中 图6-6 图6-7 空间两点间的距离设，为空间两点，则与之间的距离为 （6-1）事实上，过点和作垂直于平面的直线，分别交平面于点和，则 ，显然，点的坐标为，点的坐标为（如图6-7）由平面解析几何的两点间距离公式知，和的距离为：过点作平行于平面的平面，交直线于，则，因此的坐标为，且，在直角三角形中，所以点与间的距离为例4 设与为空间两点，求与两点间的距离解 由公式（6-1）可得与两点间的距离为例5 在轴上求与点和等距的点解 由于所求的点在轴上，因而点的坐标可设为，又由于，由公式（6-1），得从而解得，即所求的点为课堂练习：1讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标

6、的符号2在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？3在空间直角坐标系中，画出下列各点：；4求点关于各坐标平面对称的点的坐标5求点关于各坐标轴对称的点的坐标6求下列各对点间的距离：(1) 与；(2) 与7在坐标平面上求与三点、和等距的点8求点与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离6.2 向量的概念及运算学时：学时目的要求：1理解向量、单位向量、零向量、自由向量等相关概念，会表示向量。理解向量加法、向量减法的三角形法则及数与向量的乘法的意义、性质。理解向量的坐标表示，能熟练进行向量的代数运算 向量的基本概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后

7、，就可以用一个数来表示这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）通常我们用黑体小写字母，来表示向量，手写时写成；或用一个带箭头的线段（有向线段）来表示向量，称为向量的起点，称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向向量的大小称为向量的模，记作，模为的向量叫做单位向量，模为的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向不确定，可以是任意方向本书我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点

8、，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等的向量，记作，即向量在空间中平行移动后仍为相同的向量如图6-8中与向量大小相等，方向相反的向量叫做的负向量(或反向量)，记作平行于同一直线的一组向量称为平行向量，零向量与任一向量平行图6-86.2.2 向量的线性运算1向量的加法我们在物理学中知道，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们要类似地定义两个向量的加法定义6.1 对向量，从同一起点作有向线段、分别表示与，然后以、为邻边作平行四边形，则我们把从起点到顶点的向量称为向量与的和，记作 图6-9 图6-10这种求和方法称为平行四边形法则(如图6-9)由于向量可以平移，所以，若将向量平移，使其起点

9、与向量的终点重合，则以的起点为起点，的终点为终点的向量就是与的和(图6-10)，该法则称为三角形法则多个向量，如、首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和 (图6-11）对于任意向量，有以下运算法则：(1) (交换律)(2) (结合律)(3) (4) 2向量的减法定义6.2 向量与的负向量的和，称为向量与的差，即由向量减法的定义，我们从同一起点作有向线段，分别表示，则也就是说，若向量与的起点放在一起，则，的差向量就是以的终点为起点，以的终点为终点的向量（图6-12） 图6-11 图6-123数乘向量定义6.3 实数与向量的乘积是一个向量，记作，的模是的模的倍，即，且

10、当时，与同向；当时，与反向；当时，对于任意向量，以及任意实数，有以下运算法则：(1) (2) (3) 定理6.1 向量与非零向量平行的充分必要条件是存在一个实数，使得证明略向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，称为，的一个线性组合 向量在坐标轴上的投影设为空间中一点，过点作轴的垂线，垂足为，则称为点在轴上的投影若为空间直角坐标系中的一点，则在轴、轴、轴上的投影为、，如图6-13所示图6-13为空间一个向量，设点和在轴上的投影分别为与，则向量在轴上的投影是指投影向量的长冠以恰当正负号，当与轴同向时，投影取正号，当与轴反向时，投影取负号注 (1) 向量在轴上投影是标量(2) 设为空间

11、直角坐标系中的一个向量，点的坐标为，点的坐标为，显然，向量在三个坐标轴上的投影分别为，6.2.4 向量的坐标表示取空间直角坐标系，在轴、轴、轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作，它们称为坐标向量空间中任一向量，它都可以唯一地表示为数乘之和事实上，设，过、作坐标轴的投影，如图6-14所示由于与平行，与平行，与平行，所以，存在唯一的实数，使得，即 (6-2)图6-14我们把(6-2)式中系数组成的有序数组叫做向量的直角坐标，记为，向量的坐标确定了，向量也就确定了显然，(6-2)中的是向量分别在轴、轴、轴上的投影因此，在空间直角坐标系中的向量的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组

12、例1 在空间直角坐标系中设点，求向量及的直角坐标解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差所以向量的坐标为，向量的坐标为设为空间直角坐标系中的一点，则向量的坐标为，即向量的坐标与点的坐标相同，我们把起点在原点的向量叫做定位向量每个定位向量被它的终点所决定例2 设向量的直角坐标为，在空间直角坐标系中画出其定位向量图6-15解 要画出定位向量，只需找到向量的终点，而点坐标与向量的坐标相同，即(如图6-15)对应于坐标为的向量可以画出无数个，它们都可以通过其定位向量平移得到 用向量的坐标进行向量的线性运算引入向量的坐标以后，就可将向量的

13、运算转化为代数运算，计算起来比较方便首先，在有序数组组成的集合中，规定：两个有序数组与，如果满足，则称与相等，记作且规定加法、减法及数乘运算：(1) (2) (3) 下面，我们来研究如何利用向量的坐标进行向量的线性运算设在平面直角坐标系中，向量及，则由向量坐标定义有,因此；所以与的坐标分别为与也就是说，向量的和(差)向量的坐标等于它们的坐标的和(差)数乘向量的坐标等于数乘以的坐标容易证明：向量与平行的充要条件是其对应坐标成正比，即若某个分母为零时，我们约定相应的分子也为零课堂练习：1设为平行四边形，为其对角线的交点，用表示向量2求坐标向量的坐标3设在空间直角坐标系中有三点，求向量4设向量，求，

14、5已知向量与平行，求与的值6已知三个力，求它们的合力7已知两力，作用于同一点，问要用怎样的力才能使它们平衡？8求向量在三个坐标轴上投影6.3 向量的数量积与向量积学时：4学时目的要求：理解数量积与向量积的定义及运算性质，能进行数量积与向量积的代数运算。2理解两向量垂直与平行的充分必要条件。 两向量数量积的定义及性质在物理中我们知道，一质点在恒力的作用下，由点沿直线移到点，若力与位移向量的夹角为，则力所作的功为在实际生活中，我们会经常遇到由两个向量所决定的象这样的数量乘积由此，我们引入两向量的数量积的概念定义6.4 设，为空间中的两个向量，则数叫做向量与的数量积(也称内积或点积)，记作，读作“点

15、乘”即 （6-3）其中表示向量与的夹角，并且规定由向量数量积的定义易知：(1) ，因此 (6-4)(2) 对于两个非零向量，有 (6-5)(3) 对于两个非零向量，与垂直的充要条件是它们的数量积为零，即 （6-6)注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用数量积的运算满足如下运算性质：对于任意向量，及任意实数，有(1) 交换律：(2) 分配律：(3) 与数乘结合律：(4) 当且仅当时，等号成立下面仅证(3)证明 当时，式子两端都是，自然成立 时，所以因此同样可以证明故性质(3)成立注 由性质(2)与(3)可得推论：两个向量的线性组合的数量积可以按多项式相乘的法则展开例1 对坐

16、标向量，j，k，求， ，解 由坐标向量的特点及向量内积的定义得，例2 已知，求，解 由两向量的数量积定义有 ，因此 两向量数量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量，向量，即,则由于，所以 (6-7)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件，即设非零向量，向量，则 (6-8) (6-9) (6-10)例3 设向量与的直角坐标为与，求，解 ；，；，因此例4 在空间直角坐标系中，设三点，证明:是直角三角形证明 由题意可知，则，所以即是直角三角形6.3.3 两向量的向量积的定义及性质

17、在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述设一杠杆的一端固定，力作用于杠杆上的点处，与的夹角为，则杠杆在的作用下绕点转动，这时，可用力矩来描述力对的力矩是个向量，的大小为的方向与及都垂直，且，成右手系，如图6-16所示图6-16在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念定义6.5 设，为空间中的两个向量，若由，所决定的向量，其模为 (6-11)其方向与，均垂直且，成右手系，则向量叫做向量与的向量积(也称外积或叉积)记作，读作“叉乘”注 (1) 两向量与的向量积是一个向量，其模的几何意义是以，为邻边的平

18、行四边形的面积(2) 对两个非零向量与，与平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量 (6-12)向量积的运算满足如下性质：对任意向量，及任意实数，有(1) 反交换律：(2) 分配律: ，(3) 与数乘的结合律：下面仅证(1)证明 若与平行，则，结论成立； 若与不平行，由向量积定义，与的模相等，但方向相反，即所以性质(1)成立例5 对坐标向量，求，解 ， 向量积的直角坐标运算介绍向量积的直角坐标表示之前，先简单介绍一下二阶行列式与三阶行列式的有关内容把四个数排成形如的式子，叫做二阶行列式，其中的每个数叫做行列式的元素，且约定，上式等号右边称为二阶行列式的展开式把九个数排成形如的式子，叫做三

19、阶行列式，且约定，上式等号右边称为三阶行列式按第一行元素展开的展开式在空间直角坐标系下，设向量，向量，即，因为，则为了便于记忆，结合前面介绍的二阶行列式及三阶行列式有 (6-13)注 设两个非零向量，则，或若某个分母为零，则规定相应的分子为零例6 设向量，求的坐标解 因此的直角坐标为例7 在空间直角坐标系中，设向量，求同时垂直于向量与的单位向量解 设向量，则同时与，垂直而所以向量的坐标为再将单位化，得就是同时垂直于，的单位向量即与为所求的向量例8 在空间直角坐标系中，设点，求的面积解 由两向量积的模的几何意义知：以、为邻边的平行四边形的面积为，由于，因此，所以故的面积为课堂练习：1设，求，2设

20、向量，两两垂直，且，求向量的模及3证明：与垂直4在空间直角坐标系中，已知，求：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 5设向量，的直角坐标分别为和，若，求的值6在空间直角坐标系中，已知三点，求与的夹角7设向量，求8求同时垂直于向量和纵轴的单位向量9已知三角形的三个顶点，求的面积10已知力作用于杠杆上的点处，求此力关于杠杆上另一点的力矩6.4 平面方程学时：学时目的要求：理解平面的点法式方程和截距式方程，并能根据条件求平面的方程。2能根据平面方程判断平面间的关系、会求点到平面间的距离。 平面及其方程本节将利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将推导几种由不同条件所确定的平面的方

21、程1.平面的点法式方程若一个非零向量垂直于平面，则称向量为平面的一个法向量显然，若是平面的一个法向量，则 (为任意非零实数)都是的法向量由立体几何知识知道，过一个定点且垂直于一个非零向量有且只有一个平面下面推导平面的方程设为平面上的任一点，由于，因此由两向量垂直的充要条件，得而，所以由公式(6-10)可得 (6-14)由于平面上任意一点都满足方程(6-14)，而不在平面上的点都不满足方程(6-14)，因此方程(6-14)就是平面的方程由于方程(6-14)是给定点和法向量所确定的，因而称式(6-14)叫做平面的点法式方程例1 求通过点且垂直于向量的平面方程解 由于为所求平面的一个法向量，平面又过

22、点，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为，整理，得例2 求通过点且与平面平行的平面方程解 显然为所求平面的一个法向量，因此所求平面的方程为，即2.平面的截距式方程例3 求过三点， 的平面的方程解 所求平面的法向量必定同时垂直于与因此可取与的向量积为该平面的一个法向量即由于，因此即因此所求平面的方程为，化简得由于，将两边同除以，得该平面的方程为 (6-15)此例中的、三点为平面与三个坐标轴的交点，我们把这三个点中的坐标分量分别叫做该平面在轴，轴和轴上的截距，方程(6-15)称平面的截距式方程注 利用截距式方程，为画不过原点的平面图象提供了极为便利的方法：只需找出平面与各坐标轴

23、的交点，连结这三个点即为该平面，如图6-17所示图6-173.平面的一般式方程展开平面的点法式方程(6-14)，得，设，则 (不全为零) (6-16)即任意一个平面的方程都是的一次方程反过来，任意一个含有的一次方程(6-16)都表示一个平面事实上，设是满足方程(6-16)的一组解，则 (6-17)式(6-16)减去式(6-17)，得 (6-18)由(6-18)可决定一非零向量，它与向量垂直，其中，而为一固定点，为任一点因此平面(6-16)上任一点与的连线均与垂直，即方程(6-16)表示一个平面我们称方程(6-16)为平面的一般式方程其中为该平面的一个法向量例4 求过两点，且与轴平行的平面方程解

24、 要求出平面的方程，关键要找出平面所过的一个点以及平面的一个法向量由已知，所求平面的法向量同时与和轴垂直即法向量同时与和垂直因此，可取作为该平面的一个法向量所以为所求平面的一个法向量再由平面的点法式方程(6-14)得所求平面的方程为，整理得 两平面间的关系我们知道，两个平面之间的位置关系有三种：平行、重合和相交下面根据两个平面的方程来讨论它们之间的位置关系设有两个平面与，它们的方程为： (不同时为零)，： (不同时为零)，则它们的法向量分别为和(1) 两平面平行(2) 两平面重合(3) 两平面相交与不成比例当两平面相交时，把它们的夹角定义为其法向量的夹角，且规定即 (6-19)特别地，当时，则

25、，即反之亦然，所以 (6-20) 点到平面的距离在空间直角坐标系中，设点，平面：(不全为零)，可以证明点到平面的距离为 (6-21)例5 求点到平面：的距离解 由点到平面的距离公式得例6 求两个平行平面与间的距离解 在一个平面上任取一点，如取点，则点到另一平面的距离即为两平行平面间的距离所以课堂练习：1求过点且与平面平行的平面方程2求过点，且平行于向量的平面方程3求过轴和点的平面方程4求通过轴且垂直于平面平面方程5求过三点，的平面方程6求过点且在三个坐标轴的正方向上截得相等的线段的平面方程7指出下列平面对坐标轴位置的特点：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 8设平面与平面平行，试求

26、和的值9求平面与平面的夹角10计算距离：(1) 点到平面；(2) 原点到平面；(3) 平行平面与6.5 空间直线方程学时：2学时目的要求：（1）理解并会求直线的点向式、一般式方程。（2）能根据直线方程判断空间直线的位置关系，求出直线的夹角。（3）能根据直线方程判断空间直线与平面的位置关系。 空间直线的方程1.直线的点向式方程我们知道，一个点和一个方向可以确定一条直线，而方向可以用一个非零向量来表示因此，一个点和一个非零向量确定一条直线如果一个非零向量与直线平行，则称向量是直线的一个方向向量显然，若是直线的一个方向向量，则 (为任意非零实数)都是的方向向量在空间直角坐标系中，若是直线上的一个点，

27、为的一个方向向量，下面求直线的方程图6-18设为直线上的任一点，如图6-18，则，所以，存在一个实数，使得=而的坐标为，因此有消去，得 (6-22)称式(6-22)为直线的点向式方程其中是直线上一点的坐标，为直线的一个方向向量注 由于直线的方向向量，所以不全为零，但当有一个为零时，如时，(6-22)应理解为该直线与平面平行当有两个为零时，如时，式(6-22)应理解为该直线与轴平行例1 设直线过两点和，求直线的方程解 直线的一个方向向量为，则,由直线的点向式方程(6-22)可得的方程为例2 求过点且与两平面：和：都平行的直线方程解 所求的直线与与都平行，即与、的法向量、都垂直，其中，因此可用作为

28、直线的一个方向向量，即于是所求直线的方程为2.直线的一般式方程空间任一条直线都可看成是通过该直线的两个平面的交线，同时空间两个相交平面确定一条直线，所以将两个平面方程联立起来就代表空间直线的方程设两个平面的方程为 ：， ：，则 (6-23)表示一条直线，其中与不成比例称(6-23)为直线的一般式方程例3 将直线的一般式方程化为点向式方程解 先求直线上一点，不妨设，代入方程中得解之，得所以为直线上的一点再求直线的一个方向向量由于直线与两个平面的法向量、都垂直，其中，因此可用作为直线的一个方向向量，即于是，该直线的点向式方程为例4 求平面与平面相交的交线方程解 平面的方程为，因此，所求的交线方程为

29、 两直线间的关系1空间中两条直线位置关系的判定空间中两条直线的位置关系可以用两条直线的方程构成的方程组的解来确定设两条直线与的方程为：，方向向量，：，方向向量，由它们的方程构成的方程组 (6-24) 若方程组(6-24)有无穷组解，则与重合； 若方程组(6-24)只有一组解，则与相交，且方程组的解即为与的交点坐标； 若方程组(6-24)无解，且，即，则与平行； 若方程组(6-24)无解，且，则与异面直线2两直线的夹角两相交直线与所形成的4个角中，把不大于的那对对顶角叫做这两条直线的夹角若与的方向向量分别为，显然有 (6-25)注 (1) 若，规定与的夹角为0；(2) 对于异面直线，可把这两条直

30、线平移至相交状态，此时，它们的夹角称为异面直线的夹角；(3) 若例5 判断直线：与的位置关系解 容易知由、的方程联立得到的方程组无解，因此直线与不相交而的一个方向向量为，的一个方向向量为则与不平行因此与为异面直线 直线与平面的位置关系1直线与平面的位置关系的判定在空间中，直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交，它们的位置关系可以根据联立直线与平面的方程构成的方程组解的情况来判定设直线：，平面：，将其联立起来的方程组为 (6-26)(1) 若方程组(6-26)有无穷组解，则在内；(2) 若方程组(6-26)无解，则；(3) 若方程组(6-26)只有一组解，则与相

31、交，方程组的解即为与的交点坐标注 还可以根据直线的方向向量与平面的法向量的关系来判定直线与平面的位置关系若，即时，在内或；若，即与不垂直时，与相交例6 判断下列直线与平面的位置关系，若相交，求出交点坐标(1) ：，：；(2) ：，：；(3) ：，：解 (1) 设，则代入，得，即（无解）因此(2) 显然方程组有无穷组解，因此在内(3) 解方程组得，因此，与相交，且交点坐标为2直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影之间的夹角 ()，称为直线与平面的夹角若直线：，平面：，则直线的方向向量为，平面的法向量为，设直线与平面的法线之间的夹角为，则(如图6-19)所以， (6-27)特别地图6-19课堂练习

32、：1求通过点且垂直于平面的直线方程2求通过点与的直线方程3求过点平行于两平面和的直线方程4求平面与平面相交的交线方程5将直线的一般式方程化为点向式方程6将直线的点向式方程化为一般式方程7求过点且与直线平行的直线方程8求通过直线且与直线平行的平面方程9判断下列直线与平面的位置关系，若相交，求出交点坐标及其夹角：(1) ，；(2) ，；(3) 10设直线，平面，问、为何值时，直线与平面垂直？6.6 常见的曲面方程学时：2学时目的要求：（1）理解曲面方程的概念。（2）了解常见的二次曲面及其方程。前面介绍了平面的方程，了解到关于的一次方程为平面方程平面也称一次曲面本节介绍常见的二次曲面，即其方程是关于

33、的二次方程，包括球面、椭球面、双曲面、抛物面、某些柱面及旋转曲面 曲面与方程与平面解析几何中曲线与方程的定义相仿，可以定义空间曲面的方程定义6.6 如果曲面与方程满足(1) 曲面上每一点的坐标都满足方程；(2) 以满足方程的解为坐标的点都在曲面上则称方程为曲面的方程，而称曲面为此方程的图形空间中的曲线可以看作是两个曲面的交线，这时曲线上的点同时在两个曲面上，即曲线上的点的坐标同时满足两个曲面的方程，反之亦然定义6.7 设曲面的方程为，的方程为，则满足方程组的点的轨迹叫做曲线，该方程称为曲线的方程如：直线就是两个平面的交线，它的方程就是联立两个平面方程的方程组 常见的二次曲面1球面空间中与某个定

34、点的距离等于定长的点的轨迹为一个球面定点称为球心，定长称为球的半径设定点，定长为，设是球面上任一点，则，即，两边平方，得 (6-28)反之，若的坐标满足方程(6-28)，则总有，所以方程(6-28)为是以为球心，以半径的球面方程特别地，以坐标原点为球心，以半径的球面方程为 (6-29)2椭球面由方程 () (6-30)所确定的曲面称为椭球面，称为椭球面的半轴，方程(6-30)称为椭球面的标准方程下面讨论椭球面的性质及图象(1) 图形的范围由方程(6-30)显然有,即因此，椭球面在，这六个平面所围成的长方体内(2) 对称性以代替方程中的，方程不变，说明点和关于平面对称的点都在椭球面上，即椭球面关

35、于平面对称同理，椭球面也关于平面和平面对称以代替方程中，方程不变，说明椭球面关于轴对称，同理，椭球面也关于轴，轴对称以代替方程中的，方程不变，因此椭球面关于原点对称椭球面与三个坐标轴的六个交点，称为椭球面的顶点(3) 椭球面的截痕用平行于坐标平面的平面去截曲面，所得的交线称为该曲面的截痕图6-20用一组平行于平面的平面去截椭球面，截痕方程为这组截痕为椭圆，并且越大，椭圆越小，当时，截痕缩成两点(和；当时，即用平面去截椭球面，得到的截痕最大同样，用平行于平面和平面的平面去截椭球面能得到类似的结果综上，可以得到椭球面的形状如图6-20所示3双曲面双曲面由图形的特点分为单叶双曲面和双叶双曲面由方程

36、() (6-31)所确定的曲面称为单叶双曲面由方程 () (6-32)所确定的曲面称为双叶双曲面下面讨论单叶双曲面的图形显然，单叶双曲面关于各坐标轴、坐标平面及原点对称用一组平行于平面的平面去截它，截痕为椭圆，其方程为并且越大，椭圆越大用平面截曲面，得到一条实轴为轴的双曲线用平面截曲面，得到一条实轴为轴的双曲线因此，单叶双曲面的图形如图6-21所示注 方程和也都是单叶双曲面用同样的方法也可以得到双叶双曲面的图形用去截双叶双曲面，截痕方程为当时，无截痕；时，截痕为两点；当时，截痕为椭圆，且越大，椭圆越大用平面去截它，截痕是一条实轴为轴的双曲线用平面去截它，截痕是一条实轴为轴的双曲线因此，双叶双曲

37、面的图形如图6-22所示注 方程和也是双叶双曲面 图6-21 图6-224抛物面常见的抛物面有椭圆抛物面和双曲抛物面由方程 () (6-33)所确定的曲面称为椭圆抛物面由方程 () (6-34)所确定的曲面称为双曲抛物面用截痕法可得到它们的图形分别如图(6-23)与(6-24)所示注 双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面 图6-23 图6-245柱面用直线沿空间一条曲线平行移动所形成的曲面称为柱面动直线称为柱面的母线，定曲线称为柱面的准线，如图6-25所示常见的柱面有：圆柱面： (图6-26)椭圆柱面： (图6-27)双曲柱面： (6-28)抛物面： (图6-29)图6-25 图6-2

38、6图6-27 图6-28图6-29注 若曲面方程为，则它一定是母线平行于轴，准线为平面的一条曲线(在平面直角坐标系中的方程为)的柱面如圆柱面：，它就是以平面上的圆作为准线，以平行于轴的直线作为母线形成的柱面6旋转曲面一条平面曲线绕同一平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为旋转曲面曲线称为旋转曲面的母线，定直线称为旋转曲面的旋转轴，简称轴前面讲过的球面，圆柱面等都是旋转曲面例1 设母线在平面上，它的平面直角坐标方程为证明：绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为证明 设为旋转曲面上的任一点，并假定点是由曲线上的点绕轴旋转到一定角度而得到的(图6-30)因而，且点到轴的距离与到轴的距离相等而到轴的距离为，到轴的距离为，即