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1、平面区域问题1 平面区域的确定11 不等式的区域我们把满足不等式F(x，y)0的点(x，y)的集合称为不等式F(x，y)0的区域对于不等式F(x，y)0，如果方程F(x，y)=0确定平面内一实曲线，则曲线把平面分成若干个区域G1，G2，在每一个区域内任取一点，坐标满足F(x，y)0的区域的并集，即为原不等式的区域为方便起见，我们常选取一些简单的特殊点(如坐标原点等)来计算F(x，y)的值例如，求x22y21的区域先画出x2=2y21的曲线(图1)，然后用原点(0，0)代入原不等式，不能成立，再取(2，0)代入原不等式，能成立故x22y21所表示区域为双曲线“内部”(含焦点部分)12 不等式组的
2、区域我们把同时满足若干个不等式的点的集合叫做这些不等式构成的不等式组的区域不等式组的区域是不等式中每一个不等式区域的交集为方便起见，我们也可以通过用特殊点法求出每一个小区域内有关式子的符号，来判断不等式组的区域例如，求不等式(yx1)(2xy3)0所表示的区域首先作出两直线yx1=0与2xy30的图象(图2)，它们将平面分成四个部分为确定(yx1)(2xy3)0的区域，可以用两种方法不等式yx10可化为yx1，表示直线yx1=0的“上方”；同样，2xy30表示直线2xy3=0的“下方”所以不等式组(1)表示的区域为图2中的区域，不等式组(2)表示区域故本题所表示的区域为将、两部分合并而成的区域
3、方法2：分别在四个区域内选取特殊点，如区域内选点(4，4)，区域内选点(0，0)，区域内选点(0，2)，区域内选点(2，0)，分别代入检验，以确定符合条件的区域范围对于含有复数的不等式组，可结合复数几何意义来确定平面区域集合A=z|z1|1表示以(1，0)为圆心，以1为半径的圆内区域(含圆)，B图3中的阴影部分(含曲线和线段OA1，但不含线段OB)学生解题时，常将AB表示为第一象限内的弓形区域部分，而忽视了下半圆区域的存在2 平面区域问题例举21 平面区域的单纯性题型这类问题是只需根据题意作出所要求的平面区域范围，便可直接求解的单纯性问题例1 已知三个集合M，N，P，M(x，y)| |x|y|
4、1，N=(x，y)|求集合M，N，P三者的关系解 如图4，集合M表示四边形ABCD内部，集合N表示椭圆内区域，集合解 作直线l13x2y20，l2x4y4=0；l32xy60(图5)在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域(如图5中三角形内区域)此三角形区域内的整数点为(2，1)，(1，0)，(2，0)，(1，1)，(2，1)，(3，1)，即原不等式组的整数解22 含参变量的平面区域问题对于这类问题，可首先设法消去已知曲线方程中的变量，得到仅含参变量的方程或不等式，再转化为21类问题求解b所满足的条件，并求出点(a，b)的存在范围解 方程(1)与(2)的曲线是直线和椭圆在xoy坐标系中第一象限的
5、部分(图6)方程组有两相异解，即曲线(1)，(2)在第一象限有两个不同的交点以y=1x代入(2)中，得(ab)x22bxb1=0=4b24(ab)(b1)0，即abab0a，b所满足的条件是abab0(a1，b1)不等式(a1)(b1)1(a1，b1)表示位于双曲线(a1)(b1)=1的“外部”且满足a1，b1的点所构成区域图7中的阴影部分，就是点(a，b)的存在范围例4 设a，b是两个实数，A(x，y)|xn，y=nab，nZ，B=(x，y)|xm，y=3m215，mZ，C=(x，y)|x2y2144是平面xoy内的点的集合，讨论是否存在a和b，使(2)(a，b)C同时成立(1985年高考试
6、题)解 A=(x，y)|x=n，y=nab，nZ为直线y=axb(其中a，b为参数)上横坐标取整数的点，B=(x，y)|x=m，y=3m215，mZ为抛物线y=3x2+15=a212b1800， (1)为了进一步研究，可以在直角坐标系中画出不等式a212b1800的区域，再例5 已知方程x2pxq0有两实数根和，且221，求p和q的范围解 建立直角坐标系，适合p24q0的p，q的值是图9中阴影部分(含曲线)的点的坐标因为22=1，即()22=1所以p22q1而适合等式p2=2q1的p和q的值为抛物线p22q1上点的坐标，由图9可知，所求p和q的范围即为抛物线p22q1上A，B两点间的一段弧上的
7、点的坐标的集合解此类问题时，要注意隐含条件的挖掘(如本题中，是二次方程两个实根，即判别式“p24q0”)忽视了此条件，可能会导致变量取值范围的扩大23 利用图形区域，求变量组合式的范围对于这类问题，可首先求出满足题设条件的平面区域，然后就求其最大值的式子x2y构造几何意义，从几何角度上给出解答例7 在坐标平面内有两个区域M和N，M是由y0，yx和y2x这个不等式组确定，N是随t变化的区域，它由不等式txt1所确定，t的取值范围是0t1设函数z13x6y，其中x，y满足(x，y)MN，求z的最大值解 首先作出区域M如图11(1)中的阴影部分(含边界)所示，区域N是坐标平面内带形区域(含边界)，如
8、图11(2)中的阴影部分所示因为0t1，所以MN的区域不固定，但MN区域的全体即为区域1326026若根据题意构造出的平面区域是可变化的，则应就它的变动情况进行分类，然后才能如例7那样作出讨论例8 已知函数f(x)=ax2c满足4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的范围建立直角坐标系(图12)，横坐标表示为a，纵坐标表示为c，则不等式组表示区域为平行四边形EFGH区域(图12中的阴影部分含边界)现作直线系9acm，m表示直线系在c轴上的截距，当直线系通过E(0，1)与G(3，7)时，m取得最小值与最大值，即20m119ac20这是一道有一定难度的关于二元一次不等式组表示区域的最大(小)值题学生解题错误较多，例如将双联不等式组当作方程解出a与c的取值范围(双联不等式)，然后求9ac的范围，使求解区域扩大了，而若作出区域，直接在给定区域内讨论9ac的范围，便可避免扩大范围的错误以上列举了平面区域问题的三种基本类型，中学数学中所见到的主要就是这些类型其他有关平面区域问题，也大都可以转化为以上类型予以解决所以理解并掌握这三种基本类型题的解题方法与解题规律，是解决平面区域问题的关键