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1、基本积分表基本积分表是常数是常数);第一换元法第一换元法分部积分公式分部积分公式4.如何计算定积分和应用定如何计算定积分和应用定积分积分?前一章讨论了已知一个函数的导数前一章讨论了已知一个函数的导数,如何求原如何求原来的函数来的函数,这样一个积分学的基本问题这样一个积分学的基本问题不定积分不定积分.这一章将讨论积分学的另一个基本问题这一章将讨论积分学的另一个基本问题定积分定积分.1.什么是定积分什么是定积分?2.定积分有哪些性质定积分有哪些性质?3.定积分与不定积分有何关系定积分与不定积分有何关系?本章的主要问题有本章的主要问题有:第六章第六章 定积分定积分第六章第六章 定积分定积分6.1 定
2、积分的概念与性质定积分的概念与性质 微积分基本定理微积分基本定理定积分与不定积分的定积分与不定积分的关系关系 定积分计算方法定积分计算方法 定积分的应用定积分的应用 广义积分初步广义积分初步6.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质一、定积分概念的引入一、定积分概念的引入-曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形曲边梯形的概念的概念:由连续曲线由连续曲线 y=f(x)，直线直线 x=a，直线直线 x=b以及以及x轴围成的平面图形轴围成的平面图形AabB叫叫曲边梯形曲边梯形.yxO aby=f(x)当当y=(x)0 时时,曲边曲边梯形梯形AabB的面积怎么求呢的面积怎么求呢?问题问题:若若f f(
3、x x)=c)=c；则为矩形面积则为矩形面积s=c(b-a)直线图形直线图形-三角形三角形,矩形矩形,梯形梯形;特殊曲线图形特殊曲线图形-圆圆,扇形扇形;AB但但y=f(x)一般不为常数，一般不为常数，yxO aby=f(x)因因(x)连续连续,从而在从而在a,b的一个小区间上的一个小区间上,当当x 0时时,y0,x x+xy 故可将此区间的高故可将此区间的高近似看为一个常量近似看为一个常量,从而此区间对应的小窄曲边梯形从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH的面积近似等于小窄矩形的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积的面积.CHFED 因而因而,如果把区间如果把区间a,b任意地划分为任意地划分为n
4、个小区间个小区间,并并在每一个区间上任取一点在每一个区间上任取一点,再以该点的高来近似代替该小再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边梯形的高区间上窄曲边梯形的高,从而每个窄曲边梯形就可近似地从而每个窄曲边梯形就可近似地视为一个小窄矩形视为一个小窄矩形,而且全部窄矩形的面积之和也可作而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值.yxO aby=f(x)x x+xyCHFED 要想得精确值要想得精确值,只需区间只需区间a,b的分法无限细密的分法无限细密(即每个小即每个小区间的长度区间的长度x 0)时时,全部窄全部窄矩形的面积之和的极限一定是矩形的面积之和的极限一定是曲
5、边梯形面积的精确值曲边梯形面积的精确值.从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:其长度记为其长度记为过各分点作过各分点作 x 轴的垂线，轴的垂线，将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形.其面积记为其面积记为于是，大的曲边梯形的面积于是，大的曲边梯形的面积A为为I.分割分割(或化整为零或化整为零)任意划分任意划分(如右图如右图)用分点用分点将区间将区间a,b任意地划分为任意地划分为n个小区间个小区间oxyy=(x).II.近似求和（以直代曲）近似求和（以直代曲）-任意取点任意取点近似：近似：近似：近似：每个小曲边梯形面积用小矩形面积近
6、似计算：每个小曲边梯形面积用小矩形面积近似计算：在每个小区间在每个小区间上任取一点上任取一点 以以 为高、以小区间为高、以小区间 的长度为底的长度为底则该窄矩形的面积则该窄矩形的面积作窄矩形作窄矩形.近似等于近似等于 ,即即oxyy=(x)oxyy=(x).显然，显然，A的近似值与的近似值与a,b的分法及的分法及 的取法有关的取法有关.III.取极限取极限对上述和式取极限得曲边梯形的面积：对上述和式取极限得曲边梯形的面积：定积分定积分xyOaby=f(x)记各小区间的最大长度为记各小区间的最大长度为当分点数当分点数n无限增大且各小区间的最大长度无限增大且各小区间的最大长度 二、定积分的定义二、
7、定积分的定义定义定义 设设(x)在在a,b上有定义上有定义,点点 在每个小区间在每个小区间将区间将区间a,b任意地划分为任意地划分为n个小区间个小区间;每个小区间的长度为每个小区间的长度为作和式作和式若当若当 时时,有确定的极限值有确定的极限值 I,且且 I 与区间与区间a,b的的分法和分法和 的取法无关的取法无关,则称函数则称函数(x)在区间在区间a,b上可积上可积,并称此极限值并称此极限值I 为为(x)在区间在区间a,b上的定积分上的定积分,记记为为即即上任取一点上任取一点定积分的记号我们将函数我们将函数f(x)在在a,b上的定积分记为：上的定积分记为：积积分分分分变变量量量量被被被被积积
8、函数函数函数函数积积分下限分下限分下限分下限积积分上限分上限分上限分上限其中其中其中其中-积分符号积分符号积分符号积分符号-被积函数被积函数被积函数被积函数-积分变量积分变量积分变量积分变量-被积表达式被积表达式被积表达式被积表达式-积分下积分下积分下积分下限限限限-积分上限积分上限积分上限积分上限-积分区间积分区间积分区间积分区间注注:f(x)在在a,b上定积分存在上定积分存在,亦称亦称f(x)在在a,b上可积。上可积。-积分和积分和积分和积分和关于定积分定义的说明 定积分是一种特殊的和式定积分是一种特殊的和式(黎曼和黎曼和)的极限的极限,其结果是其结果是一个数值一个数值.不定积分是一组函数
9、，但两者有联系不定积分是一组函数，但两者有联系.的分割方法和的分割方法和 每个小区间上点每个小区间上点 i取法无关取法无关.因此因此,在计算在计算 定积分只与被积函数定积分只与被积函数 f(x)和积分区间和积分区间a,b有关有关,与区间与区间某些定积分时某些定积分时,可选择特殊的区间分法可选择特殊的区间分法,如等分；选择特殊如等分；选择特殊的点的点 i，如区间端点，如区间端点.定积分与积分变量的记号无关，即定积分与积分变量的记号无关，即通常定积分的积分下限小于积分上限通常定积分的积分下限小于积分上限,即即a b时时,oxyy=(x).设设a b 规定：规定：无界函数不可积无界函数不可积;若若
10、f(x)在在a,b上无界上无界,则则 f(x)在在a,b上不可积上不可积;证明：因为证明：因为 f(x)在在a,b上无界上无界,所以对所以对a,b的任何的任何一种分割一种分割,至少存在某个子区间（不失一般性至少存在某个子区间（不失一般性,设存在一设存在一个子区间）个子区间）使得使得f(x)在在 上无界上无界,而在其而在其余区间上均有界余区间上均有界,即即从而从而 f(x)在在a,b上不可积上不可积;闭区间上有有限个闭区间上有有限个间断点的有界函数一定可积间断点的有界函数一定可积.闭区间上的连续函数一定可积。闭区间上的连续函数一定可积。若若 f(x)在在a,b上可积上可积,则则 f(x)在在a,
11、b上有界上有界;例例 利用定积分定义计算定积分利用定积分定义计算定积分可将区间可将区间0,4 特殊分割并特殊取点特殊分割并特殊取点.解解 因因(x)=2x+3 在在 0,4 上连续上连续,故它在故它在0,4上可积上可积,从从而而不妨将区间不妨将区间0,4 n 等分等分,且相且相应应的分点的分点为为取右端点为取右端点为 04 例：例：将和式的极限将和式的极限表示成定积分。表示成定积分。解：解：例例 将和式的极限将和式的极限表示成定积分。表示成定积分。解：解：三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义 若在区间若在区间a,b上上 f(x)0,则则若在区间若在区间a,b上上 f(x)0,则则一般地，一
12、般地，f(x)在区间在区间a,b上可积上可积且有正有负时且有正有负时,则则从而该曲边梯形如右图所示从而该曲边梯形如右图所示,四、定积分的性质四、定积分的性质性质性质性质性质1 1：分析：被积函数是什么？该定积分的几何意义？分析：被积函数是什么？该定积分的几何意义？分析：被积函数是什么？该定积分的几何意义？分析：被积函数是什么？该定积分的几何意义？（假设所讨论函数都可积）（假设所讨论函数都可积）性质性质性质性质2 2(和、差的运算性质和、差的运算性质和、差的运算性质和、差的运算性质)性质性质性质性质3 3(数乘的运算性质数乘的运算性质数乘的运算性质数乘的运算性质)性质性质性质性质4 4(区间可加
13、性区间可加性区间可加性区间可加性)若若若若a a,b b,c c为任意常数为任意常数为任意常数为任意常数,则则则则应用于分段函数应用于分段函数及定积分证明及定积分证明性质性质性质性质2,32,3主要应用于定积分的计算主要应用于定积分的计算主要应用于定积分的计算主要应用于定积分的计算.性质性质5(比较性质比较性质)在区间在区间a,b上上,若若f(x)g(x),则则例：例：比较定积分比较定积分用于比较两个用于比较两个定积分的大小定积分的大小与与的大小的大小.解：解：因为在因为在上，上，所以所以故由定积分比较性质有故由定积分比较性质有性质性质性质性质6 6设设 f(x)在在a,b上连续上连续,f(x
14、)0,且且 f(x)不恒等于不恒等于0，则有则有用于判断定积分值的符号用于判断定积分值的符号性质性质性质性质7.(7.(估值定理估值定理估值定理估值定理)若对任意若对任意x a,b,恒有恒有A f(x)B,则有则有例：例：估计积分估计积分 的范围的范围.解：解：用于估计定积分值的范围用于估计定积分值的范围例：例：估计积分估计积分 的范围的范围.解：解：性质性质性质性质8 8(简单积分中值定理简单积分中值定理简单积分中值定理简单积分中值定理)f(x)在在a,b上连续上连续,则至少则至少存在一点存在一点 a,b,使得使得曲边梯形曲边梯形面积面积矩形面积矩形面积证明：因为证明：因为f(x)在在a,b
15、上连续上连续,所以所以f(x)在在a,b上存在上存在最大值最大值M和最小值和最小值m，即，即由介值定理得由介值定理得,至少存在一点至少存在一点 a,b,使得使得积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：在区间在区间a,b上至少存在一点上至少存在一点,使得使得以区间以区间a,b为底边为底边,以曲线以曲线y=f(x)为为曲边的曲边梯形面积等于高为曲边的曲边梯形面积等于高为f()的同底矩形面积。的同底矩形面积。概念：概念：概念：概念：f(x)在区间在区间a,b上的平均值为上的平均值为它是有限个数的它是有限个数的它是有限个数的它是有限个数的平均值概
16、念的推广平均值概念的推广.因为因为因为因为等分等分 利用积分中值定理可以证明方程根的存在性，适合某种利用积分中值定理可以证明方程根的存在性，适合某种条件条件 的存在性及不等式，有时可与微分中值定理综合运的存在性及不等式，有时可与微分中值定理综合运用解决问题用解决问题.例：例：设设f(x)在在0,1上连续，上连续，(0,1)内可导内可导,且且证明在证明在(0,1)内至少存在一点内至少存在一点使得使得证：证：由积分中值定理知：由积分中值定理知：至少存在一点至少存在一点由已知条件，得：由已知条件，得：所以所以f(x)在在上满足上满足Rolle中值定理，中值定理，所以至少存在一点所以至少存在一点例：例：设设f(x)可导可导,且且解：解：由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使作业：作业：pp208:1(3)(5),2(1)(4).