《定积分概念导入ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分概念导入ppt课件.ppt（46页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回曲边梯形的面积曲边梯形的面积oxy上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回我们学过如何求梯形、长方形、三角形等我们学过如何求梯形、长方形、三角形等的面积的面积, , 这些图形都是由直线段围成的这些图形都是由直线段围成的. .那那么么, , 如何求曲线围成的平面图形的面积呢如何求曲线围成的平面图形的面积呢? ?这就是定积分要解决的问题。这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会本
2、概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。定积分的思想及其应用价值。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 已知一个物体以每秒已知一个物体以每秒vo米的初速度米的初速度做匀加速运动，加速度为做匀加速运动，加速度为a米米/秒秒2.思考思考: :请你写出这个物体在请你写出这个物体在t秒时的位移秒时的位移s与时间与时间t的的函数关系函数关系s=f(t)，和速度，和速度v与时间与时间t的函数关系的函数关系v=g(t).你能说出这两个函数之间的关系吗你能说出这两个函数之间的关系吗?s=v0t+(1/2)at2v=v0+a t)()(tvts 位移位移s对时间的导函数是速度时间
3、函数对时间的导函数是速度时间函数上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回问题：问题：如图，阴影部分类似于一个梯形如图，阴影部分类似于一个梯形,但有但有一边是曲线一边是曲线y=f(x)的一段的一段, 我们把由直线我们把由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线和曲线y=f(x)所围成的图形称所围成的图形称为曲边梯形如何计算这个曲边梯形的面积为曲边梯形如何计算这个曲边梯形的面积?abf(a)yxf(b)oDCBA上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 y = f(x)bax yOA A1用一个矩形的面积用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A.如何求曲边
4、梯形如何求曲边梯形的面积的面积?得得A1能再精确一点吗能再精确一点吗?上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面近似代替曲边梯形的面积积A， 得得 y = f(x)bax yO如何求曲边梯形如何求曲边梯形的面积的面积?A1A2能再精确一点吗能再精确一点吗?上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的近似代替曲边梯形的面积面积A， 得得 y = f(x)bax yO如何求曲边梯形如何求曲边梯形的面积的面积?A1A2A3A4能再精确一点
5、吗能再精确一点吗?上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近. . 如何求曲边梯形如何求曲边梯形的面积的面积?达到无限接近。达到无限接近。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回oxy 曲边梯形的面积上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 n1n2nknnxy2xy O
6、n1n2nknnxOy2xy 无限分割逼近方法无限分割逼近方法小于逼近小于逼近大于逼近大于逼近不足近似值不足近似值过剩近似值过剩近似值上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回分割越细，面积的近似值就越精确。当分分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积S。“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程曲边梯形的面积曲边梯形的面积 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代替后求和。然后用矩形面积代替后求和。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回O1xyyx
7、2(1)分割分割1nin(2)近似代替近似代替(3)求和求和(4)取极限取极限i-1n区间长度：区间长度：x= =区间高：区间高：h=小矩形面积：小矩形面积：S=1ifn 第第i i个小区间个小区间1ifn 1n 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直、直线线x=1和和x轴所围成的曲轴所围成的曲边梯形的面积。边梯形的面积。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 有理由相信，分有理由相信，分点越来越密时，即分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲面积和的极限
8、即为曲边形的面积。边形的面积。(1)分割分割 (2)近似代替近似代替 把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积作为整个曲边形面积S S的近似值。的近似值。 (4)取极限取极限 (3)求和求和定积分的概念定积分的概念曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，abxyoi ix1x1 ix1 nxiiixfA )( 为高的小矩形面积为为高的小矩形面积为为底，为底，以以)(,1iiifxx 内插入若干在区间,ba,1210bxxxxxann个分点，个小区间,1iixxnba分成把区间,;1iiixxx长度为,1iixx在每个小区间，上任取一点iiniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为
9、曲边梯形面积的近似值为iniixxfA)(lim1012,max,(0)nxxxxx 当分割无限加细 即小区间的最大长度趋近于零时，曲边梯形面积为曲边梯形面积为12max,nxxxx 记被积函数被积表达式积分变量积积分分区区间间,ba积分上限积分下限积分和01( )lim( )nbiiaxif x dxfx Sbaf (x)dx； 按定积分的定义，有按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线由连续曲线y f(x) (f(x) 0) ，直线，直线x a、x b及及x轴轴所围成的曲边梯形的面积为所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度设物体运动的速度v v(t)，则此物体在时间区间，则此物体
10、在时间区间a, b内运动的距离内运动的距离s为为( );baSv t dt (3) 设物体在变力设物体在变力F F(r)的方向上有位移的方向上有位移r，则，则F在在位移区间位移区间a, b内所做的功内所做的功W为为( ).baWF r dr注意：注意：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf
11、在区间在区间,ba上上可积可积.( (二二) )、定积分的几何意义、定积分的几何意义：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。 如果在区间a,b上，函数f(x)连续，且恒有f(x)0，那么定积分 表示由曲线y=f(x)，直线x=a、x=b b与，x轴和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。( )baf x dx 当当f(x) 0时，由时，由y f (x)、x a、x b 与与 x 轴所围成的轴所围成的曲边梯形位于曲边梯形位于 x 轴的下方，轴的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x
12、) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义定积分的几何意义：积分 b ba af f ( (x x) )dxdx 在几何上表在几何上表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 S S2222定积分的几何意义：定积分的几何意义： 在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).50(24)xdx计算定积分-465OxyAB50(24)945xdx102的值：计算例xdx
13、解：由定积分几何意义 可知112110 xdx1 10 0 x xy yy=xy=x21 变式练习：计算 的值。 解：由几何意义可得 222142222dxx2224dxx2 22 2-2-20 0y yx x422yx 例1 用定积分表示下列阴影部分面积。 （1） （2） 解（1）由图可知 （2）由图可知212dxxS1121dxxS0 0 1 12 22xy x xy y1 11 1-1-10 0y yx x122yxab yf (x)Ox y( )yg x探究探究: :根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的如何用定积分表示图中阴影部分的面积面积?ab y
14、f (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x12( )( )bbaaSSSf x dxg x dx2( )baSg x dx( )( )bbaaf x dxg x dx思考：的几何意义是什么？三三. . 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf badx)x(fk由定积分的定义可知，定积分有以下性质：由定积分的定义可知，定积分有以下性质：三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(f
15、dx)x(f 性质性质3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f思考：思考：从定积分的几从定积分的几何意义解释性质何意义解释性质ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 cOx y29422212213103,356,37,415,412dxxdxxdxxdxx已知例2132412203)23()3(6)2(31dxxxdxxdxx）求（3033023030,481,9,29,3dxxdxxxdxdx已知30333023)151
16、2218()2()8634() 1 (dxxxxdxxxx求上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2.2.微积分基本定理微积分基本定理( (一一) )上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1、如果函数f（x）在a，b上连续且f（x）0时，那么：定积分 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。badxxf)( 2、定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。badxxf)(1S2S3S321SSSdxxfba )(复习：复习：2、定积分的几何意义是什么？、定积分的几何意义是什么？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回, 0)( xf baAdxxf
17、)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值4321)(AAAAdxxfba 说明：说明：1A2A3A4A上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三三. . 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf badx)x(fk 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x
18、(f上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回题型题型2：定积分的几何意义的应用定积分的几何意义的应用dxxxdxdxxxdxdxxdxxdxxdxx4343220220213212103102ln_ln)4(sin_sin)3(_)2(_) 1 (不计算定积分的值，将下列各题中积分的值用适不计算定积分的值，将下列各题中积分的值用适当的符号连接起来当的符号连接起来上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1.1.由定积分的定义可以计算由定积分的定义可以计算 , ,但但比较麻烦比较麻烦( (四步曲四步曲),),有没有更加简便有效的有没有更加简便有效的方法求定积分呢方法求定积分呢?
19、?12013x dx 引入引入上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回微积分基本定理：微积分基本定理：设函数设函数f f( (x x) )在区间在区间 a,ba,b 上连续，并且上连续，并且F(xF(x) )f(xf(x) )， 则则baaFbFxxf)()(d)(这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).).()()(d )( aFbFxFxxfbaba或记作(F(x)叫做f(x)的原函数, f(x)就是F(x)的导函数
20、)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回说明：说明：牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积只要求出被积函数函数 f f( (x x) )的一个原函数的一个原函数F F( (x x) )，然后，然后计算原函数计算原函数在区间在区间 a,ba,b 上的增量上的增量F F( (b b) )F F( (a a) )即可即可. .该公式把该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。计算定积分归结为求原函数的问题。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回不定积不定积分基本公式分基本公式(
21、C)=0(sinx)=cosxC.d0 xC.sindcosxxx(cosx)= sinxC.1n1d1nnxxx(xn+1)= (n+1)xnC.cosdsinxxx(ex)= exC.dxxexe(lnx)=x1C.lnd1xxx上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1 1 计算下列定积分计算下列定积分 2 21 11 1(1)dx(1)dxx x解解（）（）1 1(lnx) =(lnx) =x xlnlnbab bb ba aa a1 1公公式式1: dx =lnx|1: dx =lnx|x x3 31 1(2) 2xdx(2) 2xdx3221|3183 32 21 1(
22、2) 2xdx = x(2) 2xdx = x2 21 1=lnx| =ln2-ln1=ln2=lnx| =ln2-ln1=ln22 21 11 1dxdxx x( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a找出找出f(x)的原的原函数是关健函数是关健上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 练习：练习： 1 10 01 10 01 13 30 02 23 3-1-1(1) 1dx = _(1) 1dx = _(2) xdx = _(2) xdx = _(3) x dx = _(3) x dx = _(4)x dx = _(4)x dx = _nxn+1n+1b bb
23、 ba aa ax x公公式式2: dx =|2: dx =|n+1n+111/21/415/4上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例计算下列定积分例计算下列定积分 原式原式33221111()dxdxdxdxxx333322221111=3x3x=3x3x解解:3 32 22 21 11 1(3x -)dx(3x -)dxx x211)xx 3232(x ) = 3x , (x ) = 3x , (3311176(31 )()313x3 333 331111= x |= x |( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页
24、返回返回 练习：练习： _(1)xe1 12 20 02 22 21 12 22 2-1-12 21 1(1) (-3t +2)dt(1) (-3t +2)dt1 1(2) (x+) dx = _(2) (x+) dx = _x x(3) (3x +2x-1) dx = _(3) (3x +2x-1) dx = _(4)dx = _(4)dx = _29/619e2-e+1上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回45上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回微积分基本公式微积分基本公式)()()(aFbFdxxfba 小结小结b bb ba aa a1 1公公式式1 1: : d dx x = = l ln nx x| |x x牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系关系nxn n+ +1 1b bb ba aa ax x公公式式2 2: : d dx x = =| |n n + +1 1