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1、经典法经典法:直流电源、动态电路、时域直流电源、动态电路、时域 响应响应微分方程微分方程相量法相量法:正弦电源正弦电源、动态电路、稳态分析，、动态电路、稳态分析，频域分析法频域分析法代数方程代数方程前言前言1 第六、七章对直流激励下动态电路分析时第六、七章对直流激励下动态电路分析时采用的是经典法，即在时域内列解描述直流激采用的是经典法，即在时域内列解描述直流激励下动态电路的微分方程。第八十一章讨论励下动态电路的微分方程。第八十一章讨论动态电路的正弦稳态分析，即正弦量激励下的动态电路的正弦稳态分析，即正弦量激励下的动态电路分析，采用的是动态电路分析，采用的是频域分析法频域分析法。而。而相量相量法
2、法是频域内线性动态电路正弦稳态分析的一种是频域内线性动态电路正弦稳态分析的一种简便而有效地方法。简便而有效地方法。前言前言2第八章第八章 相量法相量法8.1 8.1 复数复数8.2 8.2 正弦量正弦量8.3 8.3 相量法的基础相量法的基础8.4 8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式3正弦量的三要素正弦量的三要素重点：重点：相量法相量法电路定律的相量形式电路定律的相量形式元件的元件的VCR关系关系4基本概念基本概念按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示大小和方向都不随时间而改变，用大写字母
3、表示U,I.随时间变化的量随时间变化的量,每个时刻值称为瞬时值每个时刻值称为瞬时值 u(t),i(t)tOi(t)tt0i(t0)O5 大小、方向随时间做周期变化的电流大小、方向随时间做周期变化的电流(电压电压)称为周期电流称为周期电流(电压电压)工程上往往以频率区分电路：工频工程上往往以频率区分电路：工频 50 Hz中频中频 400-2000Hz高频电路高频电路交交变变电电流流：在在一一个个周周期期内内平平均均值值为为零零的的周周期期电电流流,称称为为交交变电流。即变电流。即tiTtiO6桥桥正弦量正弦量复数复数相量相量相量分析法相量分析法 正弦量的表示相量法正弦量的表示相量法以上分析可知，
4、一个复数具有两个要素：模和幅角（实部与虚以上分析可知，一个复数具有两个要素：模和幅角（实部与虚部）部）如如而正弦量而正弦量 具有三要素，那么怎样用复数去表示具有三要素，那么怎样用复数去表示正弦量呢？正弦量呢？71.1.复数的表示形式复数的表示形式FbReImao|F|代数式代数式指数式指数式极坐标式极坐标式三角函数式三角函数式8.1 8.1 复数复数8几种表示法的关系：几种表示法的关系：或或2.2.复数运算复数运算加减运算加减运算 采用代数式采用代数式FbReImao|F|9则则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)若若 F1=a1+jb1，F2=a2+jb2图解法图解法F1F2ReImoF
5、1+F2-F2F1ReImoF1-F2F1+F2F2-F2F1ReImoF210乘除运算乘除运算 采用极坐标式采用极坐标式若若 F1=|F1|1 ，F2=|F2|2则则:模相乘模相乘角相加角相加模相除模相除角相减角相减11例例1 解解例例2解解12旋转因子旋转因子复数复数 ej=cos+jsin =1F ejFReIm0F ej旋转因子旋转因子13 +j,j,-1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。特殊特殊旋转因子旋转因子ReIm0注意148.2 8.2 正弦量正弦量1.1.正弦量正弦量l瞬时值表达式瞬时值表达式i(t)=Imcos(t+y)ti0Tl周期周期T 和频率和频率f频率频率f
6、：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期T：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位：赫单位：赫(兹兹)Hz单位：秒单位：秒s正弦量为周期函数正弦量为周期函数 f(t)=f(t+kT)波形波形15l正弦电流电路正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。1.1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。占有十分重要的地位。l研究正弦电路的意义研究正弦电路的意义正弦函数是周期函数，其加、减、求导、
7、正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；积分运算后仍是同频率的正弦函数；正弦信号容易产生、传送和使用。正弦信号容易产生、传送和使用。优点162.2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。号可以分解为按正弦规律变化的分量。对正弦电路的分析研究具有重要的理对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。论价值和实际意义。结论171.幅幅值值(amplitude)(振振幅幅、最最大大值值)Im：反反映映正正弦弦量量变变化化幅幅度度的的大小。大小。2.角频率角频率(angular frequenc
8、y)w：tiO/T二二.正弦量的正弦量的三要素三要素：i(t)=Imcos(w t+y)称为正弦量的相位称为正弦量的相位(相角相角)。角频率。角频率是正弦量的相位随是正弦量的相位随时间变化的角速度。即：时间变化的角速度。即：随时间变化的角度随时间变化的角度(w t+y)反映相位随时间变化的快慢反映相位随时间变化的快慢。角频率w 周期T频率frad/s ，弧度弧度/秒秒Hz，赫，赫(兹兹)s，秒，秒183.初相位初相位(initial phase angle)：在：在t=0时刻的相位，简称初相，时刻的相位，简称初相，反映了正弦量的计时起点。反映了正弦量的计时起点。单位用弧度或度表示，单位用弧度或
9、度表示，。对任一正弦量，初相允对任一正弦量，初相允许任意指定，计时起点不同，许任意指定，计时起点不同，初相位不同。但对于一个电初相位不同。但对于一个电路中的许多相关的正弦量，路中的许多相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的它们只能相对于一个共同的计时零点确定各自的相位。计时零点确定各自的相位。正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据。正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据。正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频正弦量正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频正弦量的代数和等运算，其结果仍为一个的代数和等运算，其结果仍为一个同频率同频率的正弦量。的正弦量。wtiOi1i2i319例
10、例已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图，103rad/s，1.1.写出写出 i(t)表达式；表达式；2.2.求最大值发生的时间求最大值发生的时间t1 1tio10050t1解解由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧20三三.相位差相位差(phase difference)：两个同频率正弦量相位之差。：两个同频率正弦量相位之差。则则 相位差相位差 ，u 超超前前i,角角，或或i 滞滞后后 u,角角(u 比比 i 先先到到达达最最大大值值)；，i 超前超前 u,角，或角，或u 滞后滞后i,角角(i 比比 u 先到达最先到达最大值大值)。从从波波形形图图上上看看相相位位差差可
11、可取取变变化化趋趋势势相相同同点点来看。来看。tu,iu iO规定：规定：21：同相：同相：(180o)：反相：反相：特例：特例：tu,iu iO tu,iu iO：正交：正交 tu,iu iO22例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。解解不能比较相位差不能比较相位差两个正弦量两个正弦量进行相位比进行相位比较时应满足较时应满足同频率、同同频率、同函数、同符函数、同符号，且在主号，且在主值范围比较。值范围比较。结论23 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量其大小工程上采用有效值来量。其大小工程上采用有效值来量。电流
12、有效值电流有效值定义为：定义为：瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。物物理理意意义义：周周期期性性电电流流 i 流流过过电电阻阻 R，在在一一周周期期T 内内吸吸收收的的电电能能，等等于于一一直直流流电电流流I 流流过过R,在在时时间间T 内内吸吸收收的电能，则称电流的电能，则称电流 I 为周期性电流为周期性电流 i 的有效值。的有效值。有效值也称均方根值有效值也称均方根值(root-mean-square，简记为，简记为 rms。)1.有效值有效值(effective value)定义定义四四.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电
13、压的有效值24同样，可定义同样，可定义电压有效值电压有效值：l周期电流、电压有效值定义周期电流、电压有效值定义R直流直流IR交流交流 i物物理理意意义义均方根值均方根值252.正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值26同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V；U=380V，Um 537V。1、工工程程上上说说的的正正弦弦电电压压、电电流流一一般般指指有有效效值值，如如设设备备铭铭牌牌额额定定值值、电电网网的的电电压压等等级级等等。但但绝绝缘缘水水平平、耐耐
14、压压值值指指的的是是最最大大值值。因因此此，在在考考虑虑电电器器设设备备的的耐耐压压水水平平时时应应按按最最大大值值考虑。考虑。2、测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。、测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。3、区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。、区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。i(t)Im I,u(t)Um U,注意278.3 8.3 相量法的基础相量法的基础1.1.问题的提出问题的提出电路方程是微分方程：电路方程是微分方程：两个正弦量的相加：如两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：方程运算：RLC+-uCiLu+-28i1i1+i2 i3i
15、2角频率角频率 同同频频的的正正弦弦量量相相加加仍仍得得到到同同频频的的正正弦弦量量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用所以，只需确定初相位和有效值。因此采用正弦量正弦量复数复数I1I2I3有效值有效值 1 2 3初相位初相位变换的思想变换的思想 tu,ii1 i2oi3结论29 在线性电路中，如果激励是正弦量，电路中的各支路在线性电路中，如果激励是正弦量，电路中的各支路电压和支路电流的稳态响应将是同频正弦量；如果电路中电压和支路电流的稳态响应将是同频正弦量；如果电路中有多个激励且为同频率的正弦量，则电路的全部稳态响应有多个激励且为同频率的正弦量，则电路的全部稳态响应都将是都将是同一频率同
16、一频率的正弦量。因此在求解正弦量激励下的电的正弦量。因此在求解正弦量激励下的电路稳态相应时，只需确定响应的路稳态相应时，只需确定响应的最大值最大值(或有效值或有效值)和和初相初相位。而复数向量也是一个大小位。而复数向量也是一个大小(模模)、一个、一个幅角幅角，因此，我，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。量的计算，使计算变得较简单。相量法相量法的实质就是用的实质就是用复数向量去表示正弦量复数向量去表示正弦量，为了把，为了把这样一个能表示正弦量的复数向量和一般的复数向量区别，这样一个能表示正弦量的
17、复数向量和一般的复数向量区别，把它叫做把它叫做相量相量。相量法是正弦电路稳态分析的一种有效方法。相量法是正弦电路稳态分析的一种有效方法。30一一.正弦量的相量表示正弦量的相量表示相量也可用正弦量的振辐定义：相量也可用正弦量的振辐定义：二二.相量的正弦量表示相量的正弦量表示已知正弦量相量正变换反变换31 相量与复数有联系，也有区别。形式同复数，运算也虽相量与复数有联系，也有区别。形式同复数，运算也虽然相同然相同.但是含义不同相量用复数做数学工具去分析正弦电但是含义不同相量用复数做数学工具去分析正弦电路稳态。路稳态。有关系有关系隐含了隐含了t 而复数而复数没关系了。没关系了。故故 正弦量和相量间的
18、相互表示，实质上是一种正弦量和相量间的相互表示，实质上是一种数学变换数学变换，并不是说相量就等于正弦量或正弦量就等于相量。并不是说相量就等于正弦量或正弦量就等于相量。32 相量图相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：不同频率的相量不能画在一张向量图上。不同频率的相量不能画在一张向量图上。+j+1O相量图是把相量在复平面上表示出来的图形。相量图是把相量在复平面上表示出来的图形。三、正弦量和相量关系三、正弦量和相量关系33进一步，可以写成：进一步，可以写成：（相量）（相量）（旋转因子）（旋转因子）故故C-旋转相量旋转相量有了以上概念，对于有了以上概念，
19、对于sin形式的正弦量可得形式的正弦量可得的几何意义。的几何意义。iO+j+1O (a)(b)对于对于cos形式的正弦量可得形式的正弦量可得图示为图示为sin形式的正弦量形式的正弦量34例例1.解解：例例2.试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解：已知已知试用相量表示试用相量表示i,u.35四四.用相量表示正弦量运算用相量表示正弦量运算1.同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。i1 i2=i3这实际上是一种数学变换思想这实际上是一种数学变换思想36同同频频正正弦弦量量的的加加
20、、减减运运算算可可借借助助相相量量图图进进行行。相相量量图图在在正正弦弦稳稳态态分分析析中中有有重重要要作作用用，尤其适用于定性分析。尤其适用于定性分析。y1y2ReIm例例求:u(t)=u1(t)+u2(t)解：372.正弦量的微分正弦量的微分3.正弦量的积分正弦量的积分38同频正弦量的代数和，同频正弦量的代数和，正弦量乘以常数，正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，正弦量的微分、积分，其结果仍为一个其结果仍为一个同频率同频率的正弦量。的正弦量。已知正弦量和相量正弦量和相量.相量法相量法(复数向量复数向量).39同频率正弦量的代数和，微分，积分同频率正弦量的代数和，微分，积分-相量形式相量形式
21、.40 在在线性线性电路中，如果电路中，如果激励是正弦量激励是正弦量，电路中的各支路，电路中的各支路电压和支路电流的电压和支路电流的稳态响应将是稳态响应将是同频率同频率正弦量正弦量；如果电路中有多个激励且为同频率的正弦量，则电路如果电路中有多个激励且为同频率的正弦量，则电路的全部稳态响应都将是同一频率的正弦量。的全部稳态响应都将是同一频率的正弦量。因此在求解正弦量激励下的电路稳态响应时，只需确因此在求解正弦量激励下的电路稳态响应时，只需确定响应的最大值定响应的最大值(或有效值或有效值)和初相位。而复数向量可用一和初相位。而复数向量可用一个模长个模长(大小大小)、一个幅角表示。、一个幅角表示。因
22、此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。线性电路满足叠加定理和齐性定理线性电路满足叠加定理和齐性定理.41五五.用相量法求解线性电路的正弦稳态响应用相量法求解线性电路的正弦稳态响应(稳态解、特解稳态解、特解)例例Ri(t)u(t)L+-解：解：用相量法求用相量法求求：求：RL串联电路的稳串联电路的稳 态响应。态响应。42一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程Ri(t)u(t)L+-qR L解：解：时域求时域求 t+u=t+i+q q i=u-q qq q =a
23、rctan (L/R)/R)43小结小结1.将将正正弦弦量量与与相相量量建建立立起起对对应应关关系系实实际际上上是是一一种种数数学变换思想，由时域变换到频域：学变换思想，由时域变换到频域：正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域正弦波形图正弦波形图相量图相量图时时域域：在在变变量量是是时时间间函函数数条条件件下下研研究究网网络络，以以时时间间为为自变量分析电路。自变量分析电路。频域：变量经过适当数学变换，在频率函数条件下研频域：变量经过适当数学变换，在频率函数条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。究网络，以频率为自变量分析电路。2.相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于
24、激励为同频正弦量的非时变线性电路。N线性线性N线性线性w1w2非非线性线性w不适用不适用443.3.相相量量法法可可以以用用来来求求强强制制分分量量是是正正弦弦量量的的任任意意常常系系数数线线性性微微分分方方程程的的特特解解，即即可可用用来来分分析析正正弦弦稳稳态态电电路路。通通过过相相量量法法使使常常系系数数线线性性微微分分方方程程的的正正弦弦稳稳态态求求解解问问题题变变换换为为复复数数的的代代数数方方程程求求解解问问题题（从从求求微微分分方方程程变变换换为为求求代代数数方方程程），使使计计算算大大为为简简化化，同同时时正正弦弦稳稳态态电电路路物物理理概概念念更加突出。更加突出。458.4
25、8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式一一.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式流入某一节点的所有电流用相量表示时仍满足流入某一节点的所有电流用相量表示时仍满足KCL KCL；任一回路所有支路电压用用相量表示时仍满足任一回路所有支路电压用用相量表示时仍满足KVLKVL。二二.电阻、电感和电容电阻、电感和电容VCRVCR关系的相量形式关系的相量形式1.1.电阻电阻相量形式：相量形式：时域形式：时域形式：u uR R(t t)i i(t t)R R+-R R+-46 t iOuR u=i电阻电压与电阻电流同相电阻电压与电阻电流同相2.电感电感i(t)uL(t)L+-j L+-相量形式
26、：相量形式：时域形式：时域形式：i t iOuL电感电压超前电感电流电感电压超前电感电流/2473.电容电容iC(t)u(t)C+-+-时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：u t iCOu电容电压滞后电容电流电容电压滞后电容电流/2484、受控源、受控源对受控源，电压与电流关系直接改写为相量形式，对受控源，电压与电流关系直接改写为相量形式，关系式与时域中电路完全相同。关系式与时域中电路完全相同。ik=0+-+-ukujij+-+-49二、二、VCR关系：关系：一、一、KCL KVL.R+-j L+-+-i u u=i50元件相量关系有效值关系相位关系RLC51例：（例：（8-5）已知）已知求其他电流表的读数。求其他电流表的读数。+-j LR设依据KCL，有所求电流表的读数表A:7.07A;表A4:5A;52例例2已知电流表读数：已知电流表读数：A18A6AA2A1A0Z1Z2A2A0?I0max=?A0解解53例例3解解相量模型相量模型+_15Wu4H0.02Fij20W-j10W+_15W54j20W-j10W+_15W55复习、用相量表示正弦量的运算复习、用相量表示正弦量的运算1.同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减.2.正弦量的微分正弦量的微分.563.正弦量的积分正弦量的积分.57作业作业8-3、8-4、8-7、8-10、8-13、8-15、8-1858