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1、一、一、扭转基本概念扭转基本概念第三章第三章 扭扭 转转对称扳手拧紧镙帽对称扳手拧紧镙帽工程中承受扭转变形的构件工程中承受扭转变形的构件传动轴传动轴汽车传动轴汽车传动轴扭扭 转转MM受力特征受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。纵向线倾斜一个角度纵向线倾斜一个角度，称为，称为剪切角剪切角(或或称剪应变称剪应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动转动，称为，称为扭转角扭转角。扭扭 转转/扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算变形特征变形特征：外力偶矩与功率和转速的关系外力偶矩与功率和转速的关系功率功率功功时
2、间时间力偶矩力偶矩角位移角位移角速度角速度每分钟每分钟的转数的转数扭扭 转转/扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算P:kWn:r/min二、轴受扭时的内力计算二、轴受扭时的内力计算已知圆轴受外力偶矩作已知圆轴受外力偶矩作用，匀速转动。则用，匀速转动。则用截面法求内力：用截面法求内力：扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算扭矩扭矩扭矩符号扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致，为正；反之为负外法线的指向一致，为正；反之为负。扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算nn（+）nn（-）扭扭 转转/杆受扭
3、时的内力计算杆受扭时的内力计算截面截面2-2上的内力：上的内力：（+）扭矩图扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。（-）扭矩图扭矩图扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算例题例题3-1 图示传动轴上，经由图示传动轴上，经由A轮输入功率轮输入功率10kW，经经由由B、C、D轮输出功率分别为轮输出功率分别为2、3、5kW。轴的转速轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置轮的位置更换放置是否合理？更换放置是否合理？ACBD扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算IIIIIIIIIIII经由经由A、
4、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为轮传递的外力偶矩分别为解：解：扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算ACBDIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算ACBDIIIIIIIIIIIIACBD（-）扭矩图扭矩图（+）（在（在CA段和段和AD段）段）扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算IIIIIIIIIIII绘出扭矩图：绘出扭矩图：将将A、D轮的位置更换，则轮的位置更换，则ACBD扭矩图扭矩图（-）（AD段）段）因此将因此将A、D轮的位置更换不合理。轮的位置更换不合理。扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算薄壁圆
5、筒横截面上的剪应力分布薄壁圆筒横截面上的剪应力分布三、纯剪切三、纯剪切r薄壁圆筒薄壁圆筒:横截面半径远大于其厚度横截面半径远大于其厚度薄壁圆筒扭转时的实验现象薄壁圆筒扭转时的实验现象纯剪切的概念纯剪切的概念TT实验现象：实验现象：1.纵向线倾斜了相同的微小角度纵向线倾斜了相同的微小角度 ，方格斜歪成了菱形。，方格斜歪成了菱形。2.圆周线没有发生改变，绕轴线发生了相对转动，距离不圆周线没有发生改变，绕轴线发生了相对转动，距离不变，变，大小不变大小不变。，称，称单元体单元体取出微元体，当取出微元体，当 ，且，且dx、dy都很小时，都很小时，视为正六面体视为正六面体 单元体左右两个侧面产生错动单元体
6、左右两个侧面产生错动，称，称剪切变形剪切变形 为剪应变为剪应变,此时必有剪应力此时必有剪应力 。分析现象分析现象1方格斜歪成了菱形方格斜歪成了菱形*薄壁圆筒截面上的剪应力薄壁圆筒截面上的剪应力纯剪切的概念纯剪切的概念dxdydz 剪应力互等定理：剪应力互等定理：二个相互垂直的截二个相互垂直的截面上，剪应力同时存在。大小相等，面上，剪应力同时存在。大小相等，方向都垂直于公共交线；要么同时背方向都垂直于公共交线；要么同时背离交线，要么同时指向交线。离交线，要么同时指向交线。圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形，圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形，大小不变，绕轴线产生相对转动。大小不变，绕轴线产生相对
7、转动。横截面上不存在正应力。横截面上不存在正应力。纯剪切的概念纯剪切的概念薄壁圆筒横截面薄壁圆筒横截面上的剪应力分布上的剪应力分布T 分析现象分析现象2思考：思考：由应力概念由应力概念TT认为剪应力沿圆周方向均匀分布。认为剪应力沿圆周方向均匀分布。（各点切应变相等）（各点切应变相等）认为剪应力沿直径方向均匀分布。认为剪应力沿直径方向均匀分布。（壁很薄）（壁很薄）纯剪切的概念纯剪切的概念纯剪切纯剪切若单元体各个面上只承受剪应力而没有正应力。若单元体各个面上只承受剪应力而没有正应力。纯剪切纯剪切*剪切虎克定律剪切虎克定律其中其中G是材料的是材料的剪切弹性模量剪切弹性模量。实验证明实验证明：当剪应力
8、不超过：当剪应力不超过材料的比例极限材料的比例极限 时，剪时，剪应力应力 与剪应变与剪应变 成正比。成正比。单位：单位：Mpa、Gpa.且且 纯剪切的概念纯剪切的概念1 1、实验观察、实验观察扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形横截面上存在剪应力横截面上存在剪应力,不存在正应力不存在正应力.平面假设平面假设圆轴的横截面变形后保持为平面，圆轴右端截面圆轴的横截面变形后保持为平面，圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。上所绘的径向线保持直线。TT圆轴扭转时横截面上的剪应力分布圆轴扭转时横截面上的剪应力分布理论分析理论分析(1)几何分析几何分析dx扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形
9、圆轴扭转时的应力和变形TTT式中式中 表示扭转角表示扭转角沿轴长的变化率称为沿轴长的变化率称为单位单位扭转角扭转角，在同一截面上，在同一截面上，=常数。常数。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形在半径为在半径为 的层面上的层面上（小变形条件下）（小变形条件下）(2)物理条件物理条件剪切胡克定律剪切胡克定律扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形T(3)静力平衡条件静力平衡条件(单位扭转角单位扭转角,单位：单位：rad/m)称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、尺寸有关。尺寸有关。扭扭 转转/圆轴扭
10、转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形T在扭矩相同的条件下，在扭矩相同的条件下，因此因此 表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。（横截面上剪应（横截面上剪应力的计算公式。）力的计算公式。）式中式中 称为称为抗扭截面模量抗扭截面模量。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形D=2R(4)公式中几何量公式中几何量 与与 的计算。的计算。a、实心圆截面实心圆截面因此因此而而dA扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形b、空心圆截面空心圆截面Dd式中式中而而扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形例例3-1
11、 3-1 内外径分别为内外径分别为20mm20mm和和40mm40mm的空心圆截面的空心圆截面轴，受扭矩轴，受扭矩T=1kNmT=1kNm作用，计算横截面上作用，计算横截面上A A点的点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。解：解：圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形例例3-23-2 实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的截面的最大剪应力是原来的 倍？圆轴的扭转角倍？圆轴的扭转角是原来的是原来的 倍？倍？816 例例3-33-3 水平面上的直角拐，水平面上的直角拐，ABAB段为圆轴，直段为圆轴，直
12、径为径为 d d，在端点在端点C C受铅垂力受铅垂力P P作用，材料的剪作用，材料的剪切弹性模量为切弹性模量为G G，不计不计BCBC段变形。求段变形。求C C点的铅点的铅垂位移。垂位移。解：解：例例3-4 3-4 圆截面橡胶棒的直径圆截面橡胶棒的直径d=40mm,d=40mm,受扭后受扭后,原来表面原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由上的圆周线和纵向线间夹角由 9090变为变为 8888。如杆。如杆长长 l=300mm=300mm，试求两端截面间的扭转角；如果材料的试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量剪变模量G=2.7MPaG=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆试求杆横截面上最大
13、剪应力和杆端的外力偶矩。端的外力偶矩。解：由解：由受扭圆轴失效的标志：受扭圆轴失效的标志：塑性材料塑性材料：首先发生屈服，在试样表面出现螺旋线，最后沿横截：首先发生屈服，在试样表面出现螺旋线，最后沿横截 面被剪断。面被剪断。脆性材料脆性材料：变形很小，在与轴线约成：变形很小，在与轴线约成45的面上断裂。的面上断裂。圆轴的强度条件为圆轴的强度条件为式中式中（u为为扭转极限应力许用剪应扭转极限应力许用剪应力力,n为安全系数）为安全系数）扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件（一）强度条件（一）强度条件四、圆轴的强度条件和刚度条件四、圆轴的强度条件和刚度条件（二）刚度条件（二）
14、刚度条件或或 的数值按照对机器的要求决定：的数值按照对机器的要求决定：精密机器的轴：精密机器的轴：一般传动轴：一般传动轴：精度要求不高的轴：精度要求不高的轴：扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件解：解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：例例3-5 某汽车传动轴，用某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为使用时最大扭矩为Mmax=1500 N.m,试校核此轴的强度。已知试校核此轴的强度。已知=60MPa。若此轴改为实心若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当
15、，则实心轴的直径轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径D1 为为？扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件所以此轴安全。所以此轴安全。若此轴改为实心轴，而若此轴改为实心轴，而式中式中解得：解得：扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件轴的最大剪应力轴的最大剪应力实心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为空心轴的横截面面积为空心轴的横截面面积为空心轴与实心轴的重量之比：空心轴与实心轴的重量之比：因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。约材料、比较经济。扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条
16、件圆轴的强度条件和刚度条件采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。根据应力分布规律根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；从截面的几何性质分析，从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数必大于实心轴，扭转截面系数Wt也比较大，强度和刚度均可提高；也比较大，强度和刚度均可提高；扭扭 转转/圆轴的强度条件和
17、刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件AllBCd例例3-6 图示等截面圆轴，已知图示等截面圆轴，已知d=90mm,l=50cm,。轴的材料为钢，轴的材料为钢，G=80GPa,求求（1）轴的最大剪应力；）轴的最大剪应力；（2）截面）截面B和截面和截面C的扭转角；的扭转角；（3）若要求）若要求BC段的扭转角与段的扭转角与AB段的相等，则在段的相等，则在BC段钻孔段钻孔 的孔径的孔径d应为多大？应为多大？（+）（-）扭矩图扭矩图解：解：(1)轴的最大剪应轴的最大剪应力力作扭矩图：作扭矩图：AllBCd2211因此因此扭扭 转转/圆轴的强度条件和
18、刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件（2）B、C截面扭转角截面扭转角截面截面B：扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件AllBCd2211截面截面C扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件AllBCd2211（3）BC段孔径段孔径d由由得得解得：解得：扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件AllBCd例例3-7 图示圆截面杆图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为左端固定，承受一集度为t的的均布力偶矩作用。试导出计算截面均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。的扭转角公式。Lt xdx解：解：取微段作为研究对象。取微段作为研究对象
19、。Tx(x)Tx(x)+dTx L-xtTx(x)由平衡条件由平衡条件,横截面上的扭矩为：横截面上的扭矩为：微段两端截面的相对扭转角为：微段两端截面的相对扭转角为：AB扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件求出扭矩求出扭矩因此因此扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件LtAB五、扭转的静不定问题五、扭转的静不定问题例例3-8 3-8 两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆ABAB，在截面在截面C C受外力偶矩受外力偶矩m m作用，试求杆两端的支座反力偶作用，试求杆两端的支座反力偶矩。矩。解：解：静力平衡方程为：静力平衡方程为：变形协调条件为：变
20、形协调条件为：即：即：例例3-9 一组合杆由实心杆一组合杆由实心杆1和空心管和空心管2结合在一起所组成（端面结合在一起所组成（端面焊接），杆和管的材料相同。剪切模量为焊接），杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外试求组合杆承受外力偶矩力偶矩M以后，杆和管内的最大剪应力。以后，杆和管内的最大剪应力。12T12解：解：（1 1）静力学关系）静力学关系（2）变形协调条件）变形协调条件扭扭 转转/扭转的静不定问题扭转的静不定问题（3）物理关系：）物理关系：代入变形协调方程，得补充方程代入变形协调方程，得补充方程（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得）补充方程与静力平衡方程联立，解得扭扭 转转/扭转的静不定问题扭转的静不定问题T12（5）最大剪应力）最大剪应力杆杆1 1：管管2 2：扭扭 转转/扭转的静不定问题扭转的静不定问题T12静不定问题的解法：静不定问题的解法：（1）建立静力平衡方程；）建立静力平衡方程；（2）由变形协调条件建立变形协调方程；）由变形协调条件建立变形协调方程；（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：，代入变形协调方程，得到补充方程；代入变形协调方程，得到补充方程；（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反力偶或扭矩。力偶或扭矩。翘翘曲曲