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1、代数式的分类第1页，本讲稿共17页一、代数式的分类：一、代数式的分类：基本概念：基本概念：第2页，本讲稿共17页代数式：代数式：课标要求课标要求(有的放矢有的放矢)在在现现实实情情境境中中进进一一步步理理解解用用字字母母表表示示数数的的意义。意义。能能分分析析简简单单问问题题的的数数量量关关系系,并并用用代代数数式表示。式表示。能能解解释释一一些些简简单单代代数数式式的的实实际际背背景景或或几几何意义。何意义。会会求求代代数数式式的的值值；能能根根据据特特定定的的问问题题查查阅阅资资料料,找找到到所所需需要要的的公公式式,并并会会代代入入具具体体的的值值进行计算。进行计算。第3页，本讲稿共17
2、页整式与分式整式与分式 了了解解整整数数指指数数幂幂的的意意义义和和基基本本性性质质，会会用科学记数法表示数用科学记数法表示数(包括在计算器上表示包括在计算器上表示)。了了解解整整式式的的概概念念，会会进进行行简简单单的的整整式式加加减减运运算算；会会进进行行简简单单的的整整式式乘乘法法运运算算、(其其中中的的多多项项式式相乘仅指一次式相乘相乘仅指一次式相乘)。第4页，本讲稿共17页 会推导乘法公式：会推导乘法公式：(a十十b)(ab)a2b2；(a十十b)2a a2十十2ab2ab十十b b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。了解公式的几何背景，并能进行简单计算。会会用用提提公公因因式
3、式法法、公公式式法法(直直接接用用公公式式不不超超过过二次二次)进行因式分解进行因式分解(指数是正整数指数是正整数)。了解分式的概念，会利用分式的基本性质了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算。除运算。第5页，本讲稿共17页二、整式的概念二、整式的概念l都都是是数数与与字字母母的的积积的的代代数数式式叫叫做做单单项项式式,单单独独的的一一个个数数或或字母也是单项式字母也是单项式.l一一个个单单项项式式中中,所所有有字字母母的的指指数数和和叫叫做做这这个个单单项项式式的的次次数数,单独一个非单独一个非0数
4、的次数是数的次数是0.几个单项式的和叫做几个单项式的和叫做多项式多项式.l一一个个多多项项式式中中,次次数数最最高高的的项项的的次次数数,叫叫做做这这个个多多项项式式的的次次数数.l单项式和多项式统称单项式和多项式统称整式整式.单项式中数字因数叫做单项式中数字因数叫做单项式单项式的系数的系数.第6页，本讲稿共17页三、整式的运算三、整式的运算1.整式的加减运算法则及步骤整式的加减运算法则及步骤:(1)列式列式;(2)去括号去括号;(3)合并同类项合并同类项.2.整式的乘法：整式的乘法：(1)同底数幂相乘同底数幂相乘,底数不变底数不变,指数相加指数相加.即即aman=am+n(m.n都是正整数都
5、是正整数).(2)幂的乘方幂的乘方,底数不变底数不变,指数相乘指数相乘.即即(am)n=am n（m,n都是正整数）都是正整数）(3)积的乘方积的乘方,等于把积中每个因式分别乘方等于把积中每个因式分别乘方,再把幂相乘再把幂相乘.即即(ab)n=anbn(n是正整数是正整数)第7页，本讲稿共17页三、整式的运算三、整式的运算(4)(4)同底数幂相除，底数不变，指数相减同底数幂相除，底数不变，指数相减.a a m m aan n=a=am-n m-n(a0,m,n(a0,m,n是正整数是正整数,且且m mn).n).(5)(5)单项式乘以单项式的运算性质：单项式乘以单项式的运算性质：单项式与单项式
6、相乘单项式与单项式相乘,把它们的系数把它们的系数,相同字母的幂分相同字母的幂分别相乘别相乘,其余字母连同它的指数不变用为积的一个因式其余字母连同它的指数不变用为积的一个因式.n(6)(6)单项式与多项式相乘的运算性质单项式与多项式相乘的运算性质n单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式的每一项就是根据分配律用单项式的每一项去乘多项式的每一项去乘多项式的每一项,再把所得的积相加再把所得的积相加.(7)(7)多项式与多项式相乘的运算性质多项式与多项式相乘的运算性质n多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别去乘另一先用一个多项式的每一项分别去乘另一个多项式
7、的每一项个多项式的每一项,再把所得的积相加再把所得的积相加.第8页，本讲稿共17页四、乘法公式四、乘法公式(8)(8)平方差公式平方差公式:(a+b)(a-b)=a:(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2.两数和与这两数的差的积，等于它们的平方差两数和与这两数的差的积，等于它们的平方差.(9)(9)完全平方公式完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.两两数数和和(或或两两数数差差)的的平平方方等等于于它它们们的的平平方方和和加加上上(或或减减去去)它们积的它们积的2倍倍.(10)(10)特特二次乘法公式：二次乘法公式：(x+a)(x+b)=x(x+
8、a)(x+b)=x2 2+(a+b)x+ab.+(a+b)x+ab.（11)11)完全平方公式的推广：完全平方公式的推广：(a+b+c)(a+b+c)2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc+2ac.+2ab+2bc+2ac.(a+b)(a+b)3 3=a=a3 3+3a+3a2 2b+3abb+3ab2 2+b+b3 3.(a-b)(a-b)3 3=a=a3 3-3a-3a2 2b+3abb+3ab2 2-b-b3 3.第9页，本讲稿共17页五、五、0 0指数、负整数指数指数、负整数指数（1）a0=1(a0).即即 任何不等于任何不等于0的数的的数的0次幂都等于次幂都
9、等于1.a-p=(a0,p是正整数是正整数).即任何不等于即任何不等于0的数的的数的-p次幂等于这次幂等于这个数的个数的p次幂的倒数次幂的倒数.第10页，本讲稿共17页六、分解因式的概念六、分解因式的概念1.1.把一个多项式化成几个整式积的形式把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做这种变形叫做把这个多项式分解因式把这个多项式分解因式.l.分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法的关系:是是互为逆变形互为逆变形.从左到右是分解因式其特点是：由从左到右是分解因式其特点是：由和差和差形式（多项式）转形式（多项式）转化化成整式的成整式的积积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式的形式；从
10、右到左是整式乘法其特点是：由整式积积的形式转的形式转化化成成和差和差形式（多项式）形式（多项式）.2.2.注意注意:分解的结果一定是几个整式的乘积的形式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式,若有相同若有相同的因式的因式,则写成幂的形式则写成幂的形式.每一个因式要分解到不能分解为止每一个因式要分解到不能分解为止.分解因式分解因式 如：如：a2-b2 (a+b)(a-b)整式乘法整式乘法第11页，本讲稿共17页七、分解因式的方法七、分解因式的方法w1.多项式各项都含有的相同的因式多项式各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式各叫做这个多项式各项的项的公因式公因式多多项项式式公公因因式式的的构构成成：
11、各各项项系系数数的的最最大大公公约约数数,相相同同因式的最低次幂因式的最低次幂.w(1)提公因式法提公因式法:如果一个多项式的各项含有如果一个多项式的各项含有公因式公因式，那么就，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式的可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式的积的积的.这种分解因式的方法叫做这种分解因式的方法叫做提公因式法提公因式法.提公因式法分解因式与单项式乘多项式的关系提公因式法分解因式与单项式乘多项式的关系:()单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘 提公因式法提公因式法第12页，本讲稿共17页七、分解因式的方法七、分解因式的方法w(2)(2)运用运用公式公式法法
12、:平方差公式平方差公式:a:a2 2-b-b2 2(a+b)(a-b).(a+b)(a-b).w完全平方公式完全平方公式:a:a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2；a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2=(a-b)=(a-b)2 2；w(3)(3)十字相乘法十字相乘法:代数式代数式:a2+2ab+b2及及a22ab+b2叫做完全平方式叫做完全平方式:第13页，本讲稿共17页八、分式的概念八、分式的概念l其中其中,A叫做分式的分子叫做分式的分子,B叫做分式的分母。叫做分式的分母。2.整式和分式整式和分式统称统称有理式有理式.l整式和分式的区别在于：除式整式和分
13、式的区别在于：除式B B中是否含有字母中是否含有字母.l分式的隐含条件是：分式的分式的隐含条件是：分式的分母不等于分母不等于0.0.l分式的值为分式的值为0 0的条件是：分子为的条件是：分子为0 0且分母且分母不等于不等于0.0.l1.如果如果整式整式A除以除以整式整式B,可以表示成可以表示成 的形式的形式.且除式且除式B中含有字母中含有字母,那么称式子那么称式子 为为分式分式(fraction).第14页，本讲稿共17页九、分式的基本性质九、分式的基本性质w1.1.分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母：分式的分子与分母都都乘以乘以(或除以或除以)同同一个一个不不等于零的整式等于零的
14、整式,分式的值不变分式的值不变,用式子表示是：用式子表示是：2.2.约分与通分约分与通分约分与通分约分与通分w w(1)(1)最大公因式的构成最大公因式的构成最大公因式的构成最大公因式的构成:w w分子分母系数的最大公约数；分子分母系数的最大公约数；分子分母系数的最大公约数；分子分母系数的最大公约数；w w分子分母中相同因式的最低次幂分子分母中相同因式的最低次幂分子分母中相同因式的最低次幂分子分母中相同因式的最低次幂.w w(2)(2)最简公分母的构成最简公分母的构成最简公分母的构成最简公分母的构成:w w各分母系数的最小公倍数；各分母系数的最小公倍数；各分母系数的最小公倍数；各分母系数的最小
15、公倍数；w w各分母中所有不同因式的最高次幂各分母中所有不同因式的最高次幂各分母中所有不同因式的最高次幂各分母中所有不同因式的最高次幂.或(其中其中M是不等于零的整式是不等于零的整式)第15页，本讲稿共17页十、分式的运算十、分式的运算w1.1.分式分式的乘除法法则的乘除法法则:w(1)(1)两个两个分式相乘分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母把分母相乘的积作为积的分母;w(2)(2)两个两个分式相除分式相除,把除式的分子分母颠倒位置后把除式的分子分母颠倒位置后,再再与被除式相乘与被除式相乘.w(3)(3)分式乘方分式乘方:w把分子分母各自
16、乘方把分子分母各自乘方.第16页，本讲稿共17页十、分式的运算十、分式的运算(4)(4)分式加减法分式加减法分式加减法分式加减法法则法则法则法则w w同分母同分母同分母同分母分式加减法的法则分式加减法的法则分式加减法的法则分式加减法的法则:分母不变分母不变分母不变分母不变,分子相加减分子相加减分子相加减分子相加减.w w异分母异分母异分母异分母分式加减法的法则分式加减法的法则分式加减法的法则分式加减法的法则:先通分先通分先通分先通分,把异分母分式化为同把异分母分式化为同把异分母分式化为同把异分母分式化为同分母分式分母分式分母分式分母分式.w w(5)(5)分式运算的原则分式运算的原则分式运算的原则分式运算的原则:w w凡遇多项式凡遇多项式凡遇多项式凡遇多项式,先分解因式先分解因式先分解因式先分解因式,再约分或通分再约分或通分再约分或通分再约分或通分;w w结果化成最简分式结果化成最简分式结果化成最简分式结果化成最简分式.第17页，本讲稿共17页