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1、概率论期望方差中心极限本讲稿第一页，共七十五页 分布函数能完整地描述分布函数能完整地描述r.v.的统计特性的统计特性,但实但实际应用中并不都需要知道分布函数际应用中并不都需要知道分布函数,而只需知道而只需知道r.v.的某些特征的某些特征.如如:判断棉花质量时判断棉花质量时,既看纤维的平均长度既看纤维的平均长度,又要看纤又要看纤维长度与平均长度的偏离程度。平均长度越长维长度与平均长度的偏离程度。平均长度越长,偏离偏离程度越小程度越小,质量就越好质量就越好;考察一射手的水平考察一射手的水平,既要看既要看平均环数平均环数是否高是否高,还要看还要看他弹着点的范围是否小他弹着点的范围是否小,即即数据的波
2、动数据的波动是否小是否小.可见可见,与与r.v.有关的某些数值有关的某些数值,虽不能完整地描述虽不能完整地描述 r.v.,但但能清晰地描述能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征在某些方面的重要特征,这些数字特征这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义在理论和实践上都具有重要意义.本讲稿第二页，共七十五页4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望例例1 某一班级有某一班级有N个学生个学生,进行数学期终考试进行数学期终考试,成成绩统计如下绩统计如下:学生成绩学生成绩X得得X分的人数分的人数N1N2NkPN1/NN2/NNk/N求全班数学的平均成绩求全班数学的平均成绩.(其中其中N1+N2+Nk
3、=N)一、数学期望的定义一、数学期望的定义1.离散型离散型r.v.数学期望的定义数学期望的定义本讲稿第三页，共七十五页 由此可以看出由此可以看出,随机变量的均值是这个随机变量取得一随机变量的均值是这个随机变量取得一切可能数值与相应概率乘积的总和切可能数值与相应概率乘积的总和,也是以相应的概率为也是以相应的概率为权重的加权平均权重的加权平均.定义定义1.设设 X 为离散为离散 r.v.其分布为其分布为 若无穷级数若无穷级数 绝对收敛绝对收敛,则称其和为则称其和为 X 的的数学期望，数学期望，记作记作 E(X),即即本讲稿第四页，共七十五页解解 设设X 为获奖的数值为获奖的数值,则则X 的分布律为
4、的分布律为例例2 在有奖销售彩票活动中在有奖销售彩票活动中,每张彩票面值每张彩票面值2元元,一千万一千万张设有一等奖张设有一等奖20名名,奖金奖金20万或红旗轿车；二等奖万或红旗轿车；二等奖1000名名,奖金奖金3000元或元或25寸彩电；三等奖寸彩电；三等奖2000名名,奖金奖金1000元或洗衣机；四等奖元或洗衣机；四等奖100万名万名,奖金奖金2元元,问买一张彩票获问买一张彩票获奖奖(收益收益)的数学期望是多少？的数学期望是多少？X021000300020,0000P 1-10011/100000000 100/1000 2/10000 1/1000020/10000000EX=20000
5、020/10000000+30001/10000 +10002/10000+2100/1000=1.1000本讲稿第五页，共七十五页(1)分别化验每个人的血分别化验每个人的血,共需化验共需化验 n 次；次；(2)分组化验分组化验,k 个人的血混在一起化验个人的血混在一起化验,若若结果为阴性结果为阴性,则只需化验一次则只需化验一次;若为阳性若为阳性,则则对对 k 个人的血逐个化验个人的血逐个化验,找出有病者找出有病者,此时此时 k 个人的血需化验个人的血需化验 k+1 次次.设每人血液化验呈阳性的概率为设每人血液化验呈阳性的概率为 p,且且每人化验结果是相互独立的每人化验结果是相互独立的.试说明
6、选择哪试说明选择哪一方案较经济一方案较经济.例例3 为普查某种疾病为普查某种疾病,n 个人需验血个人需验血.验血方案验血方案有如下两种：有如下两种：本讲稿第六页，共七十五页解解 只须计算方案只须计算方案(2)所需化验次数的期望所需化验次数的期望.为简单计为简单计,不妨设不妨设 n 是是 k 的倍数，共分成的倍数，共分成 n/k 组组.设第设第 i 组需化验的次数为组需化验的次数为X i,则则Xi P 1 k+1本讲稿第七页，共七十五页若若则则E(X)n例如例如,当当 时时,选择方案选择方案(2)较经济较经济.本讲稿第八页，共七十五页例例4 4 X B(n,p),求求 E(X).解解特例特例 若
7、若Y B(1,p)(两点分布两点分布),则则 E(Y)=p=np=np本讲稿第九页，共七十五页例例5 5 X P(),求求 E(X).例例6 6 甲乙两个射手的技术统计如下：甲乙两个射手的技术统计如下：P甲甲X8 9 100.3 0.1 0.6P乙乙Y8 9 100.2 0.5 0.3甲、乙两个射手谁的水平高？甲、乙两个射手谁的水平高？本讲稿第十页，共七十五页设连续设连续 r.v.X 的的 d.f.为为f(x)若广义积分若广义积分绝对收敛绝对收敛,则称此积分为则称此积分为 X 的数学期望的数学期望,记作记作 E(X),即即数学期望的本质数学期望的本质加权平均加权平均,它是一个数它是一个数,不是
8、不是r.v.定义定义2、连续型、连续型r.v.数学期望数学期望本讲稿第十一页，共七十五页例例7 XU(a,b),求求E(X).例例8 X服从指数分布服从指数分布,求求E(X).本讲稿第十二页，共七十五页例例9 9 X N(,2),求 E(X).解解概率积分概率积分注注本讲稿第十三页，共七十五页常见常见 r.v.的数学期望的数学期望分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pB(n,p)npP()本讲稿第十四页，共七十五页分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布Exp()N(,2)本讲稿第十五页，共七十五页注注 不是所有的不是所有的 r
9、.v.都有数学期望都有数学期望例如：柯西例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为分布的密度函数为但但发散发散它的数学期望不存在它的数学期望不存在!本讲稿第十六页，共七十五页解解:求随机变量求随机变量Y=X2的数学期望的数学期望XPk-1 0 1YPk1 0 二、二、r.v.函数函数Y=g(X)的数学期望的数学期望本讲稿第十七页，共七十五页q 设离散设离散 r.v.X 的概率分布为的概率分布为 若无穷级数若无穷级数绝对收敛，则绝对收敛，则绝对收敛绝对收敛,则则q 设连续设连续 r.v.的的 p.d.f.为为f(x),若广义积分若广义积分注：注：若若g(x)=x,则根据定理则根据定理1，有，有这
10、与定义是一致的。这与定义是一致的。定理定理1.本讲稿第十八页，共七十五页1.E(C)=C2.E(aX)=a E(X)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)4.当当X,Y 独立时，独立时，E(X Y)=E(X)E(Y).常数常数线性性质线性性质三、数学期望的性质三、数学期望的性质逆命题不成立，即逆命题不成立，即若若E(X Y)=E(X)E(Y)，X,Y 不一定独立不一定独立本讲稿第十九页，共七十五页证证2:设设Xf(x),则则证证3:设设(X,Y)f(x,y)本讲稿第二十页，共七十五页证证4:设设(X,Y)f(x,y)，X,Y 独立独立本讲稿第二十一页，共七十五页本讲稿第二十二页，共七十五页应用应
11、用1 据统计据统计65岁的人在岁的人在10年内正常死亡的概率为年内正常死亡的概率为解解0.98,因事故死亡概率为因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事保险公司开办老人事故死亡保险故死亡保险,参加者需交纳保险费参加者需交纳保险费100元元.若若10 年内年内因事故死亡公司赔偿因事故死亡公司赔偿a 元元,应如何定应如何定 a,才能使公司才能使公司可期望获益可期望获益;若有若有1000人投保人投保,公司期望总获益多少公司期望总获益多少?设设Xi 表示公司从第表示公司从第 i 个投保者身上所得个投保者身上所得的收益的收益,i=11000.则则Xi 0.98 0.02100 100本讲稿第二十三页
12、，共七十五页由由题设题设 公司每笔赔偿小于公司每笔赔偿小于5000元元,能使公司获益能使公司获益.公司期望总收益为公司期望总收益为若公司每笔赔偿若公司每笔赔偿3000元元,能使公司期望能使公司期望总获益总获益40000元元.本讲稿第二十四页，共七十五页应应用用2 2 市市场场上上对对某某种种产产品品每每年年需需求求量量为为 X 吨吨，X U 2000,4000,每每出出售售一一吨吨可可赚赚3万万元元,售售不不出出去去，则则每每吨吨需需仓仓库库保保管管费费1万万元元，问问应应该该生生产产这这中中商商品品多多少少吨吨,才才能能使平均利润最大？使平均利润最大？解解设每年生产设每年生产 y 吨的利润为
13、吨的利润为 Y 显然，显然，2000 y 4000本讲稿第二十五页，共七十五页本讲稿第二十六页，共七十五页显然显然，故故 y=3500 时时,E(Y)最大最大,E(Y)=8250万元万元本讲稿第二十七页，共七十五页应用应用3 3 设由自动线加工的某种零件的内径设由自动线加工的某种零件的内径 X(mm)N(,1).已知销售每个零件的利润已知销售每个零件的利润T(元元)与销售零件的内径与销售零件的内径 X 有如下的关系：有如下的关系：问平均直径问平均直径 为何值时为何值时,销售一个零件的平均利润最销售一个零件的平均利润最大？大？本讲稿第二十八页，共七十五页解解本讲稿第二十九页，共七十五页即即可以验
14、证，可以验证，零件的平均利润最大零件的平均利润最大.故故时时,销售一个销售一个本讲稿第三十页，共七十五页几个重要的几个重要的 r.v.函数的数学期望函数的数学期望 X 的的 k 阶原点矩阶原点矩 X 的的 k 阶绝对原点矩阶绝对原点矩 X 的的 k 阶中心矩阶中心矩 X 的的 方差方差附录附录本讲稿第三十一页，共七十五页 X,Y 的的 k+l 阶混合原点矩阶混合原点矩 X,Y 的的 k+l 阶混合中心矩阶混合中心矩 X,Y 的的 二阶原点矩二阶原点矩 X,Y 的的二阶混合中心矩二阶混合中心矩 X,Y 的协方差的协方差 X,Y 的的相关系数相关系数本讲稿第三十二页，共七十五页作业：作业：P814
15、，5，7，9，10本讲稿第三十三页，共七十五页概率积分概率积分因为：因为：返回本讲稿第三十四页，共七十五页方方差差本讲稿第三十五页，共七十五页 随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均水平水平,是随机变量的一个重要的数字特征是随机变量的一个重要的数字特征.但在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.如某零件真实长度为如某零件真实长度为a,现用甲、乙两台仪器各测现用甲、乙两台仪器各测量量10次次,将测量结果将测量结果X 用坐标上的点表示如图：用坐标上的点表示如图：哪台仪器哪台仪器好一些好一些?乙仪器测量结果乙仪器测量结果
16、甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的均测量结果的均值都是值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近本讲稿第三十六页，共七十五页又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其发炮弹，其落点距目标的位置如图：落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙较好乙较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.本讲稿第三十七页，共七十五页 为此需引进另一个数字特征为此需引进另一个数字特征,用它来度量随机用它来度量随机变
17、量取值在其中心附近的离散程度变量取值在其中心附近的离散程度.这就是我们这一讲要介绍的这就是我们这一讲要介绍的方差方差引例引例 甲、乙两射手各发甲、乙两射手各发6 发子弹发子弹,击中的环数分击中的环数分别为：别为：甲甲 10,7,9,8,10,6,乙乙 8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的问哪一个射手的技术较好？技术较好？本讲稿第三十八页，共七十五页再比较稳定程度再比较稳定程度甲甲:乙乙:乙比甲技术稳定，故乙技术较好乙比甲技术稳定，故乙技术较好.解解 首先比较平均环数首先比较平均环数甲甲=8.3,乙乙=8.3甲甲 10,7,9,8,10,6,乙乙 8,7,10,9,8,8,本讲稿第三十九页，
18、共七十五页进一步比较平均偏离平均值的程度进一步比较平均偏离平均值的程度甲甲乙乙 E X-E(X)2本讲稿第四十页，共七十五页若若E X-E(X)2 存在存在,则称其为随机则称其为随机称称为为 X 的的均方差均方差或或标准差标准差.定义定义 即即 D(X)=E X-E(X)2 变量变量 X 的的方差方差,记为记为D(X)或或 Var(X)两者量纲相同两者量纲相同 D(X)描述描述 r.v.X 的取值偏离平均值的取值偏离平均值 的平均偏离程度的平均偏离程度 数数4.2 方差方差一、方差的定义一、方差的定义本讲稿第四十一页，共七十五页若若 X 为离散型为离散型 r.v.，分布律为，分布律为若若 X
19、为连续型为连续型r.v.,概率密度为概率密度为 f(x)计算方差的常用公式：计算方差的常用公式：证证:r.v.X的取值为的取值为xi,PX=xi=1/n本讲稿第四十二页，共七十五页2.EX的取值相当于物理学上作一条直线，使所有的点的取值相当于物理学上作一条直线，使所有的点均匀分布在直线的两边均匀分布在直线的两边;1.方差方差非负，即非负，即DX 0；x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 xn 1 2 3 4 5 6 7 n EX3.DX的取值相当于平均误差；的取值相当于平均误差；4.DX=0的充分必要条件为的充分必要条件为r.v.X 的取值为常数的取值为常数.本讲稿第四十三页，共七十五页本
20、讲稿第四十四页，共七十五页1.D(c)=02.D(cX)=c2D(X)D(c1X+c2)=c12D(X)3.特别地，若特别地，若X,Y 相互独立，则相互独立，则二、方差的性质二、方差的性质本讲稿第四十五页，共七十五页推论推论:若若X1,Xn相互独立相互独立,a1,a2,an,b为常为常数数.则则若若X,Y 相互独立相互独立4.对任意常数对任意常数C,D(X)E(X C)2,当且仅当当且仅当C=E(X)时等号成立时等号成立q D(X)=0 P(X=E(X)=1称为称为X 依概率依概率 1 等于常数等于常数 E(X)本讲稿第四十七页，共七十五页1.二项分布二项分布B(n,p)：二、几个重要二、几个
21、重要r.v.的方差的方差设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则服从两点分布服从两点分布的随机变量的随机变量,其其方差为方差为pq本讲稿第四十九页，共七十五页2.泊松分布P()：本讲稿第五十页，共七十五页3.均匀分布U(a,b)：本讲稿第五十一页，共七十五页5.正态分布N(,2)本讲稿第五十二页，共七十五页常见随机变量的方差常见随机变量的方差分布分布方差方差概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()本讲稿第五十三页，共七十五页分布分布方差方差概率密度概率密度区间区间(a,b)上上的均匀分布的均匀分
22、布Exp()N(,2)本讲稿第五十四页，共七十五页则则正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，独立独立，ci为常数，为常数，q 本讲稿第五十五页，共七十五页例例4 4 已知已知 X 服从正态分布服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1 2 X,求求Y 的密度函数的密度函数.解解 在已知某些分布类型时在已知某些分布类型时,若知道其期若知道其期望和方差望和方差,便常能确定分布便常能确定分布.本讲稿第五十六页，共七十五页标准化随机变量标准化随机变量设随机变量 X 的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称为 X 的标准化随机变量.显然，本讲
23、稿第五十七页，共七十五页例例8 8 已知已知X的的d.f.为为其中其中 A,B 是常数，且是常数，且 E(X)=0.5.(1)求求A,B;(2)设设Y=X 2,求求E(Y),D(Y)解解(1)本讲稿第五十八页，共七十五页(2)本讲稿第五十九页，共七十五页作业：作业：P8713，14，16，18本讲稿第六十页，共七十五页5.2 中心极限定理中心极限定理 在客观实际中有许多在客观实际中有许多随机变量随机变量，它们是由，它们是由大量相互独立的随机因素的综合效应所形成的，大量相互独立的随机因素的综合效应所形成的，而其中的每一个单个因素在总的效应中所起的而其中的每一个单个因素在总的效应中所起的作用都是微
24、小的。这类随机变量往往作用都是微小的。这类随机变量往往近似地服近似地服从正态分布从正态分布。在概率论中，论证随机变量和的。在概率论中，论证随机变量和的极限分布是正态分布的一系列定理统称为极限分布是正态分布的一系列定理统称为中心中心极限定理极限定理。下面介绍常用的三个中心极限定理。下面介绍常用的三个中心极限定理。本讲稿第六十一页，共七十五页定理定理1(同分布同分布的中心极限定理的中心极限定理列维列维-林德伯格定林德伯格定理理)设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相互独立同分布相互独立同分布且具有且具有有限的数学期望有限的数学期望 和方差和方差 ,则随机变量则随机变量的分布函数的分布函数Fn(x
25、)对任意对任意 x，满足，满足注注:本讲稿第六十二页，共七十五页作为作为定理定理 1 的推广的推广，我们有下面的定理，我们有下面的定理 定理定理2 （李雅普诺夫定理）设随机变量（李雅普诺夫定理）设随机变量X1,X2,Xn,相互独立相互独立，且具有有限的数，且具有有限的数学期望和方差：学期望和方差：若每个若每个Xi 对总和对总和Xi影响不大，影响不大，记记的分布函数的分布函数 对任意的对任意的 x，满足，满足则随机变量则随机变量本讲稿第六十三页，共七十五页 定理定理 2表明表明,不论各个随机变量不论各个随机变量 具有怎样的具有怎样的分布分布,只要满足定理只要满足定理2 条件条件,它们的和它们的和
26、 当当 n 很大时很大时,就近似地服从正态分布就近似地服从正态分布 在很多问题中在很多问题中,所考虑的随机变量都可表示成所考虑的随机变量都可表示成若干独立的随机变量之和若干独立的随机变量之和.它们往往近似地服从它们往往近似地服从正态分布正态分布.在后面将学的数理统计中在后面将学的数理统计中,我们会看到我们会看到,中心极限定理是大样本统计推断的理论基础。中心极限定理是大样本统计推断的理论基础。作为作为定理定理 1 的特殊情况的特殊情况，我们给出下面的定理，我们给出下面的定理本讲稿第六十四页，共七十五页 定理定理3 （德莫佛（德莫佛拉普拉斯定理）设随机拉普拉斯定理）设随机 证证 X可可以以看看作作
27、n个个相相互互独独立立,服服从从相相同同(0-1)分分布布的的随机变量随机变量 X1,X2,Xn 之和之和:X=X1+X2+Xn 其中其中由于由于则定理则定理1中的中的 化为化为 ，故由定理故由定理 1 可得上述结论。可得上述结论。变量变量X服从二项分布服从二项分布B(n,p),则有则有本讲稿第六十五页，共七十五页 定理定理3 表明表明,当当n充分大时充分大时,二项分布二项分布B(n,p)可近似可近似地用正态分布地用正态分布N(np,)来代替来代替.下面举两个关于中心极限定理的应用的例子。下面举两个关于中心极限定理的应用的例子。因此因此,当当XB(n,p),且且n充分大时充分大时,有有(其中其
28、中q=1-p)本讲稿第六十六页，共七十五页解解 设一袋味精净重设一袋味精净重Xi克克,一箱味精的净重为一箱味精的净重为X 克克,则则例例1:用机器包装味精用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量每袋味精净重为随机变量,期望值期望值为为100克克,标准差为标准差为10克克,一箱内装有一箱内装有400袋味精袋味精,求一求一箱味精净重大于箱味精净重大于40500克的概率克的概率.本讲稿第六十七页，共七十五页例例2 对敌阵地集中射击对敌阵地集中射击,每次集中射击的命中数的概率每次集中射击的命中数的概率分布相同分布相同,数学期望为数学期望为2,方差为方差为1,求集中射击求集中射击100 次有次有180颗到
29、颗到 220颗炮弹命中目标的概率颗炮弹命中目标的概率.解解:设设Xi为第为第i次集中射击时的命中数次集中射击时的命中数,X为为100次射击时总的命中数次射击时总的命中数,则则(1)X1,X2,X100独立同分布独立同分布(2)(3)本讲稿第六十八页，共七十五页例例3 某单位有某单位有240台电话机台电话机,每台电话机约有每台电话机约有5%的时间要使用外线通话的时间要使用外线通话,设各电话机使用设各电话机使用外线是相互独立的外线是相互独立的,问这个单位需要按装多少问这个单位需要按装多少条外线才能以条外线才能以99%以上的概率保证每台电话以上的概率保证每台电话机需要外线时不占线。机需要外线时不占线
30、。解解 将每台电话机是否使用外线看作一次独立试将每台电话机是否使用外线看作一次独立试验验,240台电话机是否使用外线看作台电话机是否使用外线看作240次贝努利次贝努利试验试验.设设X为同时使用外线的电话机台数为同时使用外线的电话机台数,m为需安装的外线条数为需安装的外线条数,则则XB(240,0.05)，m满足满足本讲稿第六十九页，共七十五页查表可得查表可得:故故故取故取 m=17本讲稿第七十页，共七十五页例例4 设电路供电网中有设电路供电网中有10000盏灯盏灯,夜晚每一盏灯夜晚每一盏灯开着的概率都是开着的概率都是0.7，假定各灯开、关是相互独立的，假定各灯开、关是相互独立的，计算同时开着的
31、灯数在计算同时开着的灯数在68007200之间的概率之间的概率.解解 设同时开着的灯数为设同时开着的灯数为X,则则本讲稿第七十一页，共七十五页作业：作业：P1024，7本讲稿第七十二页，共七十五页 例例 设一货轮在某海区航行，已知每遭设一货轮在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于受一次波浪的冲击，纵摇角度大于 的概率的概率为为 。若货轮在航行中遭受了。若货轮在航行中遭受了90000 次波次波浪冲击，问其中有浪冲击，问其中有 29500 至至 30500 次纵摇角次纵摇角度大于度大于 的概率是多少？的概率是多少？解解 可将货轮每遭受一次波浪冲击看作是一次可将货轮每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并认为实验是独立的。在试验，并认为实验是独立的。在 90000次波浪冲击次波浪冲击中，纵摇角度大于中，纵摇角度大于6的次数记为的次数记为X，本讲稿第七十三页，共七十五页所求概率为所求概率为显然，要直接计算是困难的。可以利用德莫显然，要直接计算是困难的。可以利用德莫的二项分布，其分布列为的二项分布，其分布列为佛佛拉普拉斯定理来求它的近似值。即有拉普拉斯定理来求它的近似值。即有则则 X 为一随机变量，它服从为一随机变量，它服从本讲稿第七十四页，共七十五页将将 代入有代入有本讲稿第七十五页，共七十五页