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1、概率论第四章节中心极限定理本讲稿第一页，共四十三页为何韩国射击队这么强？为何韩国射击队这么强？考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和和,这些因素包括这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面面(如外形、重量等如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象的误差以及射击时武器的振动、气象因素因素(如风速、风向、能见度、温度等如风速、风向、能见度、温度等)的作用的作用,所有这些不所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的同因素所引起的微
2、小误差是相互独立的,并且它们中每一个并且它们中每一个对总和产生的影响不大对总和产生的影响不大.问题问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的量相加而成的,研究其概率分布情况研究其概率分布情况.本讲稿第二页，共四十三页要点回顾要点回顾(1)正态分布的正态分布的定义定义(2)正态分布的分布函数正态分布的分布函数本讲稿第三页，共四十三页标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为(3)标准正态分布标准正态分布本讲稿第四页，共四十三页(4)(4)分位点的概念分位点的概念若
3、若 满足满足则称则称 为为X的上的上 分位点分位点(数数)。(5)正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差(6)(6)重要公式重要公式本讲稿第五页，共四十三页（7）正态分布的重要性质：两个或多个相互独立的正态分布正态分布的重要性质：两个或多个相互独立的正态分布的线性组合仍是正态分布的线性组合仍是正态分布即即 设设X1,X2,Xn相互独立相互独立,且且 i=1,2,n,则有则有特别地，特别地，设设X1,X2,Xn相互独立相互独立,且且X1,X2,Xn服从同一服从同一分布分布 ,是是X1,X2,Xn的算术平值，则的算术平值，则有有 本讲稿第六页，共四十三页 在现实中为什么很多数量指标都服从或在现实
4、中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布近似服从正态分布 研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综合影响研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综合影响研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综合影响研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综合影响而成而成而成而成,即即即即近似近似近似近似当当 时时,在什么情况下在什么情况下的极限分布是？的极限分布是？的极限分布是？的极限分布是？本讲稿第七页，共四十三页设设 是独立是独立r.vr.v列列,均值和方差都存在均值和方差都存在令令令令则则则则部分和标准化部分和标准化部分和标准化部分和标准化r.vr.vr.vr.v的极限分
5、布是否为的极限分布是否为一般地，答案是否定的一般地，答案是否定的！除非除非 服从正态分布，否则结论就不真服从正态分布，否则结论就不真.取取则则则称则称 服从中心极限定理服从中心极限定理若若 的分布函数的分布函数 对任意对任意 满足满足本讲稿第八页，共四十三页同分布的同分布的同分布的同分布的 r.v r.v 列，其数学期望和方差分别为列，其数学期望和方差分别为列，其数学期望和方差分别为列，其数学期望和方差分别为则则 服从中心极限定理服从中心极限定理的分布函数的分布函数 对任意对任意 满足满足设设 为独立为独立,即标准化即标准化即标准化即标准化r.vr.vr.vr.v本讲稿第九页，共四十三页对于均
6、值为对于均值为 方差方差 的独立同分布的的独立同分布的 r.vr.v 列列有有有有近似近似近似近似即或即或近似近似近似近似这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到在实际问题中在实际问题中,如果某数量指标满足如果某数量指标满足该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成则这个数量指标近似地服从正态分布则这个数量指标近似地服从正态分布突出的作用突出的作用突出的作用突
7、出的作用 本讲稿第十页，共四十三页服务时间服务时间 例例1 在一零售商店中，其结帐柜台为各顾客服务的时在一零售商店中，其结帐柜台为各顾客服务的时间（以分计）是相互独立同分布的随机变量，均值为间（以分计）是相互独立同分布的随机变量，均值为1.5，方差为，方差为 (1)求对求对100位顾客的总服务时间不多于小时位顾客的总服务时间不多于小时的概率的概率 (2)要求总的服务时间不超过小时的概率大于要求总的服务时间不超过小时的概率大于0.95，问至多能对几位顾客服务，问至多能对几位顾客服务本讲稿第十一页，共四十三页解解(1)(1)以以i i(i i=1,2,100)=1,2,100)记对第记对第i i对
8、顾客的服务时间对顾客的服务时间按题意要求概率为按题意要求概率为由于由于1 1,X,X2 2,X,X100100相互独立且服从相同的分布，相互独立且服从相同的分布，由中心极限定理得由中心极限定理得本讲稿第十二页，共四十三页(2)(2)设能对位顾客服务，以设能对位顾客服务，以i i(i=1,2,100)(i=1,2,100)记对记对第第i i对顾客的服务时间对顾客的服务时间按题意需要确定最大的按题意需要确定最大的，使，使由中心极限定理，当充分大时，上式可写成由中心极限定理，当充分大时，上式可写成因为正整数，故取因为正整数，故取3333即最多只能为即最多只能为3333个顾客服务，才能使总的服个顾客服
9、务，才能使总的服务时间不超过小时的概率大于务时间不超过小时的概率大于 0.95 0.95本讲稿第十三页，共四十三页应用1练习练习 炮火轰击敌方防御工事 100 次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为 2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.本讲稿第十四页，共四十三页例例2 2 售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X 是出售了100份报时过路人的数目，求 P(280 X 320).解解 令Xi 为售出了第 i 1 份报纸后到售出第i 份报纸时的过路人数,
10、i=1,2,100(几何分布)应用2本讲稿第十七页，共四十三页相互独立,由独立同分布中心极限定理,有本讲稿第十八页，共四十三页例例3 3 检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率为 0.5,求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.解解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒)设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,1900应用3本讲稿第十九页，共四十三页 XkP 10 200.5 0.5相互独立
11、同分布,本讲稿第二十页，共四十三页本讲稿第二十一页，共四十三页由独立同分布的中心极限定理由独立同分布的中心极限定理由独立同分布的中心极限定理由独立同分布的中心极限定理,有有有有设设 为服为服从从参数为参数为的的 二项分布二项分布r.vr.v列列,则则对任意对任意 有有其中其中为独立同分布的为独立同分布的(0-1)分布分布r.v,r.v,且且因二项分布产生于因二项分布产生于 重伯努利试验重伯努利试验,故故 可分解为可分解为 该该定定理理是是概概率率论论历历史史上上第第一一个个中中心心极极限限定定理理,由由棣棣莫莫弗弗于于17301730年给出年给出到到时的证明时的证明,几十年后经拉普拉斯推广几十
12、年后经拉普拉斯推广的一般情形的一般情形.本讲稿第二十二页，共四十三页对于一列二项分布对于一列二项分布r.v r.v ，有，有近似近似近似近似近似近似近似近似的图形为的图形为于是当于是当 充分大时，可以认为充分大时，可以认为 近似近似近似近似本讲稿第二十三页，共四十三页Ox-8-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8记记记记则则则则近似近似近似近似共共共共15151515层小钉层小钉层小钉层小钉小球碰第小球碰第小球碰第小球碰第 层钉后向右落下层钉后向右落下层钉后向右落下层钉后向右落下小球碰第小球碰第小球碰第小球碰第 层钉后向左落下层钉后向左落下层钉后向左落下层钉后
13、向左落下高尔顿高尔顿高尔顿高尔顿(Francis(Francis(Francis(Francis Galton,1822-1911)Galton,1822-1911)Galton,1822-1911)Galton,1822-1911)英国人类学家和气英国人类学家和气英国人类学家和气英国人类学家和气象学家象学家象学家象学家本讲稿第二十四页，共四十三页 将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验次试验,一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇纵摇角大于角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受了若船舶遭受了90 0
14、00次波浪冲击次波浪冲击,问其中问其中有有29 50030 500次纵摇角大于次纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的的次数为次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,例例4分布律为分布律为本讲稿第二十五页，共四十三页所求概率为所求概率为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理本讲稿第二十六页，共四十三页 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每人每年交每人每年交200元元.若老人在该年内死亡
15、若老人在该年内死亡,公司付给家属公司付给家属1万元万元.设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,练习练习保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率本讲稿第二十七页，共四十三页保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率本讲稿第二十八页，共四十三页例例5 5 某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为 r 千瓦.问供 电所至少要供给这个车间多少电力,才能以 99.9%的概率保证这个车间
16、不会因供电不足而影响生产？解解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，X 为开工的车床数,则 X B(200,0.6),X N(120,48)(近似)应用4由德莫佛德莫佛拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理,有本讲稿第二十九页，共四十三页问题转化为求 a,使反查标准正态函数分布表，得本讲稿第三十页，共四十三页令解得(千瓦)本讲稿第三十一页，共四十三页 对于一个学生而言对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变来参加家长会的家长人数是一个随机变量量.设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概率分别名家长来参加会议的概率分别为为0.05，0.8，0.
17、15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加会议的家设各学生参加会议的家长数相互独立长数相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数求参加会议的家长数 X 超过超过450的概率的概率;(2)求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解练习练习本讲稿第三十二页，共四十三页根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，本讲稿第三十三页，共四十三页本讲稿第三十四页，共四十三页由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,本讲稿第三十五页，共四十三页比较几个近似计算的结果比较几个近似计算的结果中心极限定理
18、二项分布(精确结果0.9590)Poisson 分布Chebyshev 不等式比较本讲稿第三十六页，共四十三页设设 是独立是独立r.v列列,它们具有数学期望和方差：它们具有数学期望和方差：若存在若存在 使得当使得当 时时,有有 近似近似近似近似则则 服从中心极限定理服从中心极限定理,即即李雅普诺夫条件李雅普诺夫条件李雅普诺夫条件李雅普诺夫条件本讲稿第三十七页，共四十三页总结总结三个中心极限定理三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理（推广）李雅普诺夫定理（推广）德莫佛拉普拉斯定理（特例）德莫佛拉普拉斯定理（特例）中心极限定理表明中心极限定理表明,在相当一般的条件下在相当一般的条件下,当当独立随机变量的个数增加时独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于正态其和的分布趋于正态分布分布.本讲稿第三十八页，共四十三页思路思路设计方案设计方案本讲稿第三十九页，共四十三页解解本讲稿第四十页，共四十三页本讲稿第四十一页，共四十三页从而从而所求概率为所求概率为本讲稿第四十二页，共四十三页作业P2377、16本讲稿第四十三页，共四十三页